立体几何中的平行与垂直_精品文档.doc
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(一)线面平行、面面平行的判定与性质
一、基础热身
1.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面BA1C1和直线AC的位置关系是()
A.AC∥平面BA1C1B.AC与平面BA1C1相交
C.AC平面BA1C1D.上述答案均不正确
2.以下说法(其中a,b表示直线,a表示平面)
①若a∥b,bÌa,则a∥a ②若a∥a,b∥a,则a∥b
③若a∥b,b∥a,则a∥a ④若a∥a,bÌa,则a∥b
其中正确说法的个数是().
A.0个 B.1个C.2个 D.3个
3.已知是两条不重合的直线,是三个两两不重合的平面,下列命题:
①若∥,,且,,则
②若,,则且
③若
④若
其中的真命题是()
A.①③B.①④C.②④D.③④
二、知识要点
(一)直线与平面平行的判断方法有两种
1.根据定义:
直线和平面没有公共点,则直线和平面平行.
2.判定定理:
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
(线线平行则线面平行)
图形表示为:
符号表示为:
(二)平面与平面平行的判定
判定定理:
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
(线面平行则面面平行)
图形表示为:
符号表示为:
(三)线面平行的性质定理:
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
(线面平行则线线平行)
图形表示为:
符号表示为:
//,
(四)面面平行的性质定理:
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。
图形表示如右:
符号表示为:
三、典例分析
例1、在正方体中,E为的中点,试判断与平面AEC的位置关系,说明理由。
例2、已知四边形ABCD是矩形,M、N分别是AB、PC的中点.求证:
MN∥平面PAD。
D
C
B
M
A
N
P
A
B
D
E
F
G
P
例3、如图,四棱锥中,底面为正方形,E,F,G分别为PC、PD、BC的中点。
求证:
平面//平面。
C
四、练习巩固
1、如图,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点。
求证:
PC//平面BDQ
2、如图,在四棱锥中,底面为正方形,E\F分别为的中点.
求证:
平面;.
3、如图,在直三棱柱中,,,点是的中点。
求证:
。
五、方法总结
1、证明线线平行的常用方法:
三角形中位线;平行四边形对边;平行线的传递性。
2、证明线面平行关键的是证明线线平行,证明线面平行的关键是先证明线面平行。
六、课后作业
1、如图,已知正三棱柱ABC—A1B1C1的每条棱长均为a,M为棱A1C1上的动点.当M在何处时,BC1//平面MB1A,并证明;
2、如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是、边长为的菱形,又,且PD=CD,点M、N分别是棱AD、PC的中点.
(1)证明:
DN//平面PMB;
(二)线面垂直、面面垂直的判定与性质
一、基础热身:
1.直线直线平面,则与的位置关系是()
A.B.//C.D.或//
2.已知直线及平面,下列命题中的假命题是()
A.若//,//,则//B.若⊥,//,则⊥
C.若⊥,//,则⊥D.若//,‖,则//
3.给定下列四个命题,其中,为真命题的是()
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;
②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;
③垂直于同一直线的两条直线相互平行;.
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.
A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④
二、知识要点
(一)直线与平面垂直的判定:
判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
(线线垂直则线面垂直)
图形表示为:
符号表示为:
.
(二)平面与平面垂直的判定:
判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
(线面垂直则面面垂直)
图形表示为:
符号表示为:
(三)直线与平面垂直的性质:
性质定理:
垂直于同一个平面的两条直线平行。
图形表示为:
符号表示为:
(四)平面与平面垂直的性质:
性质定理:
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
图形表示为:
符号表示为:
三、典例分析
_
D
_
C
_
B
_
A
_
P
例1.如图,四棱锥的底面是边长为1的正方形,。
求证:
平面;
例2.如图,是圆柱的母线,是圆柱底面圆的直径,是底面圆周上异于的任意一点,求证:
平面;
例3.三棱锥S-ABC中,OA=OB,O为BC中点,SO⊥平面ABC,E为SC中点,F为AB中点.
(1)求证:
OE∥平面SAB;
(2)求证:
平面SOF⊥平面SAB.
四、巩固练习
C
D
B
A
P
E
F
1.如图,已知ABCD是矩形,,E、F分别是线段AB、BC的中点,面ABCD.
(1)证明:
PF⊥FD;
(2)在PA上是否存在点G,使得EG∥平面PFD.
2.如图,四棱锥中,底面,,,,,是的中点.
(1)求证:
;
(2)求证:
面;
3.已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是、边长为的菱形,又,且PD=CD,点M、N分别是棱AD、PC的中点.
(1)证明:
DN//平面PMB(作业回顾);
(2)证明:
平面PMB平面PAD;
(3)求点A到平面PMB的距离.
4.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且AD=PD=2MA.
(1)求证:
平面EFG⊥平面PDC;
(2)求三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比.
五、方法总结
1、线线垂直常用方法:
勾股定理逆定理;等腰三角形三线合一;线面垂直性质。
2、证明线面垂直的关键是先证线线垂直,证明面面垂直的关键是先证线面垂直。
六、高考链接
1.如图,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,AB∥EF,矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直,且,.
(1)求证:
平面;
(2)设FC的中点为M,求证:
∥平面;
(3)求三棱锥F-CBE的体积.
(一)线面平行、面面平行的判定与性质答案
一、基础热身:
AAD
三、典例分析:
例1、答:
BD1与平面AEC平行,下面给出证明:
证明:
连结AC、BD相交于O,连结OE
例2、证明:
∵N是PC的中点,取PD的中点E,连结AE、EN,则
例3、证明:
四、巩固练习:
1.同例1,
2.证明:
∵F是SC的中点,取SD的中点G,连结FG、GA,则
3.证明:
连结BC1、B1C相交于E,连结DE,在直三棱柱中,
六、课后作业:
1.答:
当M为A1C1的中点时,BC1//平面MB1A1.下面给出证明:
连结A1B、AB1相交于N,连结MN,在正三棱柱中,
2.证明:
(1)
(2)
(3)
∴EC是下底面圆的直径
设AB=BC=,在ABE中,BE=,
在BCE中,,即
∴,从而
∴
3.证明:
(1)∵N是PC的中点,取PB的中点E,连结ME、NE,则
(2)
(3)PD⊥底面ABCD,DM底面ABCDPD⊥DM,
在Rt⊿PDM中,
BM⊥平面PAD,PM平面PADBM⊥PM,
设点A到平面PMB的距离为,由得
∴==
(二)线面垂直、面面垂直的判定与性质答案
一、基础热身:
DDD
三、典例分析:
例1.证明:
PA=1,AD=1,PD=PA2+AD2=PD2∠PAD=Rt∠PA⊥AD
又PA⊥CD,AD∩CD=D
∴PA⊥平面ABCD
例2.证明:
例3.证明:
(1)O、E分别是BC、SC的中点OE//SB
SB平面SAB,OE平面SAB
∴OE//平面SAB
(2)
四、巩固练习:
1.证明:
(1)F是矩形ABCD的边BC的中点,故BF=CF=2
在Rt⊿ABF中,AF2=AB2+BF2=22+22=8,同理DF2=8
∴AF2+DF2=AD2∠AFD=Rt∠AF⊥DF
又平面ABCD,DF平面ABCD,PA⊥DF
这里AF∩PA=A
∴DF⊥平面PAF
∵PF平面PAF
∴PF⊥FD
(2)答:
在PA上存在点G,,使得EG∥平面PFD.
证明:
分别取PA、PD的中点M、N,连结BM、MN、NF,则
又故平行四边形BMNFBM//FN
∵E为AB为中点,取AM的中点G,连结EG,则EG//BM
∴EG//FN
EG平面PFD,BM平面PFD
∴EG//平面PFD
2.证明:
(1)∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥CD,又AC⊥CD,PA∩AC=A,
故CD⊥平面PAC.
又AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.
(2)由题意:
AB⊥AD,
∴AB⊥平面PAD,从而AB⊥PD.
又AB=BC,且∠ABC=60°,
∴AC=AB,从而AC=PA.
又E为PC之中点,∴AE⊥PC.
由
(1)知:
AE⊥CD,∴AE⊥平面PCD,从而AE⊥PD.
又AB∩AE=A,
故PD⊥平面ABE.
3.同
(一)课后作业3
4.证明:
(1)
(2)不妨设,则
六、高考链接
【解析】
(1)侧视图同正视图,如下图所示.
(2)该安全标识墩的体积为:
(3)如图,连结EG,HF及BD,EG与HF相交于O,连结PO.
由正四棱锥的性质可知,平面EFGH,
又平面PEG
又平面PEG;