K12学习九年级圆基础知识点圆讲义.docx
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K12学习九年级圆基础知识点圆讲义
九年级圆基础知识点--（圆讲义）
一对一授课教案
板块一：
圆的有关概念一、圆的定义：
1.描述性定义：
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫
做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．
2圆的表示方法：
通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“⊙O”，读作“圆O”．3同圆、同心圆、等圆：
圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆.注意：
同圆或等圆的半径相等．二、弦和弧1.弦：
连结圆上任意两点的线段叫做弦．2.直径：
经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．3.弦心距：
从圆心到弦的距离叫做弦心距．
AB，读作弧AB．4.弧：
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的圆弧记作5.等弧：
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
6.半圆：
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．7.优弧、劣弧：
大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．8.弓形：
弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．三、圆心角和圆周角1.圆心角：
顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1的圆心角，我们也称这样的弧
为1的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
2.圆周角：
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．3.圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． 推论2：
半圆所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径．
推论3：
如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
4.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对
的弦的弦心距相等．
推论：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应
的其余各组量分别相等．板块二：
圆的对称性与垂径定理一、圆的对称性
1.圆的轴对称性：
圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线．2.圆的中心对称性：
圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
3.圆的旋转对称性：
圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合．二、垂径定理
1.垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2.推论1：
⑴平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ⑵弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．3.推论2：
圆的两条平行弦所夹的弧相等．练习题；
1.判断：
直径是弦，是圆中最长的弦。
半圆是弧，弧是半圆。
等圆是半径相等的圆。
等弧是弧长相等的弧。
半径相等的两个半圆是等弧。
等弧的长度相等。
2．P为⊙O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是
1
A．点P到⊙O上任一点的距离都小于⊙O的半径B．⊙O上有两点到点P的距离等于⊙O的半径C．⊙O上有两点到点P的距离最小 D．⊙O上有两点到点P的距离最大3．以已知点O为圆心作圆，可以作
A．1个A．1个
B．2个B．2个
C．3个C．3个
D．无数个D．无数个
4．以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作
5、如下图，
（1）若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；
线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆．
（2）若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．
5．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是 cm．6．圆上各点到圆心的距离都等于 ，到圆心的距离等于半径的点都在 ．7．如图，点C在以AB为直径的半圆上，∠BAC=20°，∠BOC等于
A．20°B．30°
C．40°D．50°
8、如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O的半径长．
9．如图1，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是．
BDC．∠BAC=∠BAD D．AC>ADA．CE=DE B．BCACOCBEDOAMBAOPDBAODCEBEACFODB
（1）
（2） （3）
10．如图2，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是
A．4B．6 C．7 D．8
11．如图3，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是
D．PO=PDA．AB⊥CD B．∠AOB=4∠ACD C．ADBD中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____．12．如图4，AB为⊙O直径，E是BC13．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为_______．
○
14如图1－3－l，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60，AC＝3，则△ABC的周长是____________.
15．如果两个圆心角相等，那么A．这两个圆心角所对的弦相等;B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D．以上说法都不对
16如图1－3－7，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°
2
则∠BOC的大小是A．60
○
B．45C．30
○○
D．15
○
三、综合题
1、如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．
DBEAO
C
3、已知：
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，∠E=18°，求∠C及∠AOC的
度数．板块三：
点与圆的位置关系一、点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有：
点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：
点在圆外dr；点在圆上dr；点在圆内dr.如下表所示：
位置关系rO图形P定义性质及判定点在圆外点在圆的外部dr点P在⊙O的外部.点在圆上rOP点在圆周上dr点P在⊙O的圆周上.点在圆内rOP点在圆的内部dr点P在⊙O的内部.
二、确定圆的条件1.圆的确定
确定一个圆有两个基本条件：
①圆心，确定圆的位置；②半径，确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时，远才能确定．2.过已知点作圆
⑴经过点A的圆：
以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数
3
个．
⑵经过两点A、B的圆：
以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A、B的圆，这样的圆也有无数个．⑶过三点的圆：
若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．
⑷过nn4个点的圆：
只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心．3.定理：
不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：
⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．板块四：
直线和圆的位置关系一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系图形定义性质及判定相离rdOl直线与圆没有公共点.直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点.直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线.dr直线l与⊙O相离相切rdOldr直线l与⊙O相切相交rdOdr直线l与⊙O相交l
从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：
直线和圆的位置关系公共点个数圆心到直线的距离d与半径r的关系公共点名称直线名称相交相切2dr1dr相离0dr无无交点割线切点切线
二、切线的性质及判定1.切线的性质：
定理：
圆的切线垂直于过切点的半径．
推论1：
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．2.切线的判定
定义法：
和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：
和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3.切线长和切线长定理：
⑴切线长：
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
⑵切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．三、三角形内切圆
1.定义：
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外
4
切三角形．
2.多边形内切圆：
和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．
1、如图，ABC中，ABAC，O是BC的中点，以O为圆心的圆与AB相切于点D。
求证：
AC是O的切线。
ADCDBOCAOB
2、如图，已知AB是O的直径，BC是和O相切于点B的切线，过O上A点的直线AD∥OC，若OA2且
ADOC6，则CD 。
3、如图⊿ABC中∠A＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点，求证：
DE是⊙O的切线。
8如图，在△ABC中ACB90，D是AB的中点，以DC为直径的O交
△ABC的三边，交点分别是G，F，E点．GE，CD的交点为M，且ME46，MD:
CO2:
5．
求证：
GEFA．B求O的直径CD的长．
GFDMOCEA
5
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