K12学习九年级圆基础知识点圆讲义.docx

1、K12学习九年级圆基础知识点圆讲义九年级圆基础知识点-(圆讲义)一对一授课教案板块一：圆的有关概念 一、圆的定义：1. 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径2 圆的表示方法：通常用符号表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O”，读作“圆O” 3 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆. 注意：同圆或等圆的半径相等 二、弦和弧 1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦 2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等

2、于半径的2倍 3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距AB，读作弧AB 4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以A、B为端点的圆弧记作 5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆 7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧 8. 弓形：弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形 三、圆心角和圆周角 1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1的圆心角，我们也称这样的弧为1的弧圆心角的度数和它所对的弧的度数相等2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角

3、 3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论2：半圆所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等 板块二：圆的对称性与垂径定理 一、圆的对称性1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是经过圆

4、心的任意一条直线 2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合 二、垂径定理1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧2. 推论1： 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 3. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等 练习题；1.判断：直径是弦，是圆中最长的弦。半圆是弧，弧是半圆。等圆是半径相等的圆。 等弧是弧长相等的弧。半径相等的两个半圆是等弧。等弧的长度相等。

5、2P为O内与O不重合的一点，则下列说法正确的是1A点P到O上任一点的距离都小于O的半径 BO上有两点到点P的距离等于O的半径 CO上有两点到点P的距离最小 DO上有两点到点P的距离最大 3以已知点O为圆心作圆，可以作A1个 A1个B2个 B2个C3个 C3个D无数个 D无数个4以已知点O为圆心，已知线段a为半径作圆，可以作5、如下图，(1)若点O为O的圆心，则线段_是圆O的半径；线段_是圆O的弦，其中最长的弦是_；_是劣弧；_是半圆 (2)若A=40，则ABO=_，C=_，ABC=_5一点和O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这圆的半径是cm 6圆上各点到圆心的距离都等于，到圆心的距

6、离等于半径的点都在 7如图，点C在以AB为直径的半圆上，BAC=20，BOC等于A20 B30C40 D508、如图，在O中，弦AB=8cm，OCAB于C，OC=3cm，求O的半径长9如图1，如果AB为O的直径，弦CDAB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是BD CBAC=BADDACAD ACE=DEBBCACOCBEDOAMBAOPDBAODCEBEACFODB (1)(2)(3)10如图2，O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是A4 B6C7D811如图3，在O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是DPO=PD AABCDBAOB=4A

7、CDCADBD中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_ 12如图4，AB为O直径，E是BC13P为O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_；最长弦长为_14如图13l，在O中，已知A CBCDB60 ，AC3，则ABC的周长是_.15如果两个圆心角相等，那么 A这两个圆心角所对的弦相等;B这两个圆心角所对的弧相等 C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D以上说法都不对16如图137，A、B、C是O上的三点，BAC=302则BOC的大小是 A60B45 C30D15三、综合题1、如图，O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，DEB=30，求弦CD长

8、DBEAOC3、已知：如图，AB是O的直径，CD是O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，E=18，求C及AOC的度数 板块三：点与圆的位置关系 一、点与圆的位置关系点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定设O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：点在圆外dr；点在圆上dr；点在圆内dr. 如下表所示：位置关系 rO图形 P定义 性质及判定 点在圆外 点在圆的外部 dr点P在O的外部. 点在圆上 rOP点在圆周上 dr点P在O的圆周上. 点在圆内 rOP点在圆的内部 dr点P在O的内部.二、确定圆的条件 1. 圆的确定

9、确定一个圆有两个基本条件：圆心，确定圆的位置；半径，确定圆的大小只有当圆心和半径都确定时，远才能确定 2. 过已知点作圆经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数3个经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A、B的圆，这样的圆也有无数个 过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；若A、B、C三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个过nn4个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心 3.

10、定理：不在同一直线上的三点确定一个圆注意：“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； “确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在” 板块四：直线和圆的位置关系 一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 rdOl直线与圆没有公共点. 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点. 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线. dr直线l与O相离 相切 rdOldr直线l与O相切 相交 rdOdr直线l与O相交 l从另一个角度，直线和圆的位置关

11、系还可以如下表示：直线和圆的位置关系 公共点个数 圆心到直线的距离d与半径r的关系 公共点名称 直线名称 相交 相切 2 dr 1 dr 相离 0 dr 无 无 交点 割线 切点 切线二、切线的性质及判定 1. 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 2. 切线的判定定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 3. 切线长和切线长定理： 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做

12、这点到圆的切线长 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 三、三角形内切圆1. 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外4切三角形2. 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形1、 如图，ABC中，ABAC，O是BC的中点，以O为圆心的圆与AB相切于点D。求证：AC是O的切线。ADCDBOCAOB2、 如图，已知AB是O的直径，BC是和O相切于点B的切线，过O上A点的直线ADOC，若OA2且ADOC6，则CD 。3、 如图ABC中A90，以AB为直径的O交BC于D，E为AC边中点，求证：DE是O的切线。8 如图，在ABC中ACB90，D是AB的中点，以DC为直径的O交ABC的三边，交点分别是G，F，E点GE，CD的交点为M，且ME46， MD:CO2:5求证：GEFA B 求O的直径CD的长G F D M O C E A5