数值分析实验题和程序报告.docx
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数值分析实验题和程序报告
数值分析实验题和程序
实验2.1多项式插值的振荡现象
问题提出：
考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。
显然
Lagrange插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。
我们自然关
心插值多项的次数增加时，Ln（x）是否也更加靠近被逼近的函数。
Runge
给出的一个例子是极著名并富有启发性的。
设区间［-1,1］上函数
1
f（x）2
1+25x
实验内容：
考虑区间［-1,1］的一个等距划分，分点为
2i
Xj=-1•,i=0,1,2,…,n
n
则拉格朗日插值多项式为
li（x）
1
2
125xi
其中，h（x）,i=0,1,2,…,n是n次Lagrange插值基函数。
实验要求：
（1）选择不断增大的分点数目n=2,3，…画出原函数f（x）及插值多项式函数Ln（x）在［-1,1］上的图像，比较并分析实验结果。
（2）选择其他的函数，例如定义在区间［-5,5］上的函数
x
h（x）=,g（x）=arctanx
1+x
重复上述的实验，看其结果如何。
1、实验MATLAB程序
functioncharpt2_1
%数值实验2.1:
多项式插值的震荡现象
%输入：
函数式选择，插值节点数
%输出：
拟合函数及原函数的图形
promps={'选择实验函数，若选f（x），输入f，若选h（x），输入h,若选g（x），输
入g：
'};
result=inputdlg（promps,'charpt2_1',1,{'f'}）;
Nb_f=char（result）;
if（Nb_f~='f'&Nb_f~='h'&Nb_f~='g'）
errordlg（'实验函数选择错误！
'）;return;
end
result=inputdlg（{'请输入第一幅图插值节点数N>=2：
'},'charpt2_1',1,{'2'}）;
Nd0=str2num（char（result））;
if（Nd0<2）
errordlg（'节点数输入错误！
'）;return;
end
result=inputdlg（{'请输入两幅图间插值节点数差值D：
'},'charpt2_1',1,{'1'}）;
D=str2num（char（result））;
switchNb_f
case'f'
f=inline（'1./（1+25*x.A2）'）;a=-1;b=1;
case'h'
f=inline（'x./（1+x.A4）'）;a=-5;b=5;
case'g'
f=inline（'atan（x）'）;a=-5;b=5;
end
fori=1:
6
Nd=Nd0+（i-1）.*D;
x0=linspace（a,b,Nd+1）;y0=feval（f,x0）;
x=a:
0.01:
b;
y=Lagrange（x0,y0,x）;
subplot（2,3,i）;
plot（x0,y0,'*'）;
holdon;
fplot（f,[a,b],'k'）;
holdon;
plot（x,y,'b--'）;
s1='x（节点数N=';s2=num2str（Nd）;
s3='）';s=[s1s2s3];xlabel（s）;
ylabel（'y=f（x）-andy=Ln（x）--'）;end
%Lagrange插值函数
functiony=Lagrange（x0,y0,x）n=length（x0）;
m=length（x）;
fori=1:
mz=x（i）;s=0.0;
fork=1:
n
p=1.0;
forj=1:
nif（j~=k）p=p*（z-x0（j））/（x0（k）-x0（j））;
endends=s+p*y0（k）;
endy（i）=s;
end
2、实验结果
%g02
K（节N=2>
丄iu/=xPJn-主匕监
丄iua匕pjiE肯匕=<
-0.S0
x（节点如®
』.50
M［书点数HE
pun
丄卓-5Lpu牌mnl
电!
5«阳
徨（节点5+N=T）
图1-1函数f（x）对应的Lagrange插值函数图形（节点数2〜7）
pus：
・
■1-0.500.S
mf节点ftM=a>
1
丄iIrlEpUE->亘；|ei
4S
.21.S.64.2
T.ao.Qa
•1-fl.6D06
胃M=9）
-04
丄MJnrlHXpuir・CIIIL
■051一
-1-0.5QD■丐
Xf节点數
丄壬Inlp羸・ETS
iK>lrlLpuq■7T
!
/b
i/V
-0.50M
xf节点败讯酣
4
2.4丿-（I.
jpuH-〔«}■=』
0
Ji｛节点S*N=2>
丄xxnLpum-s'
0
x（节点Hhi=3>
04Q.-aQ丄X耳L乍
ipUE-R-H*n
05
覚「节点gSN=5>
丄昌UJLIB•iiH
D5
wC节点数M=6>
X•:
•节.^M=4;
mjRttN=7）
图1-3函数h（x）对应的Lagrange插值函数图形（节点数2〜7）
.<511・SE-M5L■s」k
kf节ASSN=2>
51505d5I
1E5LP匚n宣I>1
D&
*f节jft.^N=3>
古互虽pue■S-L
n
X（帯点■数N=5>
丄305LpugAiTA
xK节磁N"
图1-5函数g（x）对应的Lagrange插值函数图形（节点数2〜7）
D&
xN=W>
=・j5aipu恒•iITE
fl
4-1
•丄昶百“土punj’il-^TiJi
xC书点HN=i2）
1
丄吕5L?
b•（工|耳
•am'5」?
:
s兀
o
xf节点KSN=fl）
■-ujlJqLpUE-iMJ
-*弓」n?
:
_r』
x｛节N=11>
3、结果分析
根据实验结果可以看出，无论是哪个函数在某个低次以下时，插值函数值与实际函数值差别很大。
随着次数上升，插值函数值越接近实际函数值，但是这只是在一定的区间上。
如果不在此区间上，随着次数上升，会出现插值结果突然偏离原函数的现象，次数越高，偏离现象越严重。
实验3.1三次多项式最小二乘拟合
-n
编制以函数:
xk?
为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对表k兰
3.11中的数据作三次多项式最小二乘拟合。
表3.11
Xi
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
yi
-4.447
-0.452
0.551
0.048
-0.447
0.549
4.552
n
取权数.=1，求拟合曲线:
-；xk中的参数〕j、平方误差
k=0
-■2，并作离散数据认，的拟合函数y二*（x）的图形。
1、实验MATLAB程序
functioncharpt3_1
%数值实验3.1:
三次多项式最小二乘拟合
%输岀：
原函数及求得的插值多项式函数图形以及参数alph和误差r
x0=-1:
0.5:
2;
y0=[-4.447-0.4520.5510.048-0.4470.5494.552];
n=3;%n为拟合阶次
alph=polyfit（x0,y0,n）;%参数'■-y=polyval（alph,x0）;
%平方误差
r=（y0-y）*（y0-y）';
x=-1:
0.01:
2;
y=polyval（alph,x）;
plot（x,y,'k--'）;
xlabel（'x'）;
ylabel（'yO*andpolyval.y--'）;
holdon;
plot（xO,yO,'*'）;
title（离散数据的3次多项式最小二乘拟合'）;
gridon;
disp（['参数alph:
',num2str（alph）]）;
disp（['平方误差:
',num2str（r）]）;
2、实验结果
当取权数，=1时，所求离散数据认，yi［的3次多项式最小二乘拟合函数y=^（x）的图形如图2-1所示。
图2-1离散数据的3次多项式最小二乘拟合
3
拟合曲线0=送ot；xk中的参数的值依次为：
k-Q
1.9991-2.9977-3.9683e-0050.54912
平方误差j.2为：
2.1762e-005。
3、结果分析
最小二乘曲线拟合是在离散情形下的最佳平方逼近，拟合的曲线很光滑，而且所有的7个数值点均在曲线上，拟合效果很好，拟合的平方误差很小，为10-5量级。
实验5.1常微分方程性态和R-K法稳定性实验
实验目的：
考察下面微分方程右端项中函数y前面的参数对方程性态
的影响（它可使方程为好条件的或坏条件的）和研究计算步长对R-K法计
算稳定性的影响。
实验题目：
常微分方程初值问题
厂'
』y=cty—o（x+1,0CXC1,
』（0）=1,
其中，-50_50。
其精确解为y（x）=e〉Xx。
实验要求：
本实验题都用4阶经典R-K法计算。
（1）对参数:
-，分别取4个不同的数值：
一个大的正值，一个小的
正值，一个绝对值小的负值和一个绝对值大的负值。
取步长h=0.01，分别
用经典的R-K法计算，将四组计算结果画在同一张图上，进行比较并说明
相应初值问题的性态。
（2）取参数:
为一个绝对值不大的负值和两个计算步长，一个步长使参数在经典R-K法的稳定域内，另一个步长在经典R-K法的稳定域外。
分别用经典R-K法计算并比较计算结果。
取全域等距的10个点上的计算值，列表说明。
1、实验MATLAB程序
functioncharpt5_1
%数值实验5.1:
常微分方程性态和R-K法稳定性实验
%输入：
参数a,步长h
%输出:
精确解和数值解图形对比
promps={'若选择实验要求1，请输入1；若选择实验要求2，请输入2:
'};result=inputdlg（promps,'charpt5_1',1,{'1'}）;
Nb=str2num（char（result））;
if（Nb~=1）&（Nb~=2）
errordlg（'选择错误！
'）;return;
end
if（Nb==1）
result=inputdlg（{'请输入参数a的一个大的正值：
'},'charpt5_1',1,{'40'}）;a=str2num（char（result））;
result=inputdlg（{'请输入参数a的一个小的正值:
'},'charpt5_1',1,{'10'}）;b=str2num（char（result））;
result=inputdlg（{'请输入参数a的一个绝对值小的负值：
'},'charpt5_1',1,{'-10'}）;
c=str2num（char（result））;
result=inputdlg（{'请输入参数a的一个绝对值大的负值：
'},'charpt5_1',1,{'-40'}）;
d=str2num（char（resu
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