学年八年砐上数学期末复习题.docx
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学年八年砐上数学期末复习题
2013-2014学年八年砐上数学期末复习题
2013-2014学年八年砐上数学期末复习题
一.解答题(共13小题)
1.如图,在平面直角坐标系xoy中,直线AP交x轴于点P(p,0),交y轴于点A(0,a),且a、b满足
.
(1)求直线AP的解析式;
(2)如图1,点P关于y轴的对称点为Q,R(0,2),点S在直线AQ上,且SR=SA,求直线RS的解析式和点S的坐标;
(3)如图2,点B(﹣2,b)为直线AP上一点,以AB为斜边作等腰直角三角形ABC,点C在第一象限,D为线段OP上一动点,连接DC,以DC为直角边,点D为直角顶点作等腰三角形DCE,EF⊥x轴,F为垂足,下列结论:
①2DP+EF的值不变;②
的值不变;其中只有一个结论正确,请你选择出正确的结论,并求出其定值.
2.(2011•牡丹江)在△ABC中,∠ACB=2∠B,如图①,当∠C=90°,AD为∠BAC的角平分线时,在AB上截取AE=AC,连接DE,易证AB=AC+CD.
(1)如图②,当∠C≠90°,AD为∠BAC的角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?
不需要证明,请直接写出你的猜想:
(2)如图③,当AD为△ABC的外角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并对你的猜想给予证明.
3.(2013•温州)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.
(1)求证:
△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.
4.(2013•荆门)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.
(1)求证:
BE=CE;
(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其它条件不变.求证:
△AEF≌△BCF.
5.(2013•抚顺)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点D是AB的中点,DE⊥BC,垂足为点E,连接CD.
(1)如图1,DE与BC的数量关系是 _________ ;
(2)如图2,若P是线段CB上一动点(点P不与点B、C重合),连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60°,得到线段DF,连接BF,请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)若点P是线段CB延长线上一动点,按照
(2)中的作法,请在图3中补全图形,并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系.
6.(2012•天水)如图,已知△ABC为等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F.
(1)求证:
△ABE≌△CAD;
(2)求∠BFD的度数.
7.(2013•东营)
(1)如图
(1),已知:
在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.
证明:
DE=BD+CE.
(2)如图
(2),将
(1)中的条件改为:
在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?
如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)拓展与应用:
如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.
8.(2008•绍兴)附加题,学完“几何的回顾”一章后,老师布置了一道思考题:
如图,点M,N分别在正三角形ABC的BC,CA边上,且BM=CN,AM,BN交于点Q.求证:
∠BQM=60度.
(1)请你完成这道思考题;
(2)做完
(1)后,同学们在老师的启发下进行了反思,提出了许多问题,如:
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换,得到的是否仍是真命题?
②若将题中的点M,N分别移动到BC,CA的延长线上,是否仍能得到∠BQM=60°?
③若将题中的条件“点M,N分别在正三角形ABC的BC,CA边上”改为“点M,N分别在正方形ABCD的BC,CD边上”,是否仍能得到∠BQM=60°?
…
请你作出判断,在下列横线上填写“是”或“否”:
① _________ ;② _________ ;③ _________ .并对②,③的判断,选择一个给出证明.
9.(2013•扬州)某校九
(1)、九
(2)两班的班长交流了为四川雅安地震灾区捐款的情况:
(Ⅰ)九
(1)班班长说:
“我们班捐款总数为1200元,我们班人数比你们班多8人.”
(Ⅱ)九
(2)班班长说:
“我们班捐款总数也为1200元,我们班人均捐款比你们班人均捐款多20%.”
请根据两个班长的对话,求这两个班级每班的人均捐款数.
10.(2013•绥化)为了迎接“十•一”小长假的购物高峰.某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋.其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表:
运动鞋
价格
甲
乙
进价(元/双)
m
m﹣20
售价(元/双)
240
160
已知:
用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.
(1)求m的值;
(2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价﹣进价)不少于21700元,且不超过22300元,问该专卖店有几种进货方案?
(3)在
(2)的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a(50<a<70)元出售,乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货?
11.(2013•菏泽)
(1)如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连结AE、DE、DC.
①求证:
△ABE≌△CBD;
②若∠CAE=30°,求∠BDC的度数.
(2)为了提高产品的附加值,某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场.现有甲、乙两个工厂都具备加工能力,公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况,获得如下信息:
信息一:
甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天;
信息二:
乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.
根据以上信息,求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.
12.(2013•呼伦贝尔)某工程队(有甲、乙两组)承包一项工程,规定若干天内完成.
(1)已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间多30天,乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天,如果甲乙两组先合做20天,剩下的由甲组单独做,恰好按规定的时间完成,那么规定的时间是多少天?
(2)实际工作中,甲乙两组合做完成这项工程的
后,工程队又承包了新工程,需要抽调一组过去,从按时完成任务考虑,你认为留下哪一组更好?
说明理由.
13.(2013•湘西州)吉首城区某中学组织学生到距学校20km的德夯苗寨参加社会实践活动,一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走,半小时后,其余学生沿319国道乘汽车前往,结果他们同时到达(两条道路路程相同),已知汽车速度是自行车速度的2倍,求骑自行车学生的速度.
2013-2014学年八年砐上数学期末复习题
参考答案与试题解析
一.解答题(共13小题)
1.如图,在平面直角坐标系xoy中,直线AP交x轴于点P(p,0),交y轴于点A(0,a),且a、b满足
.
(1)求直线AP的解析式;
(2)如图1,点P关于y轴的对称点为Q,R(0,2),点S在直线AQ上,且SR=SA,求直线RS的解析式和点S的坐标;
(3)如图2,点B(﹣2,b)为直线AP上一点,以AB为斜边作等腰直角三角形ABC,点C在第一象限,D为线段OP上一动点,连接DC,以DC为直角边,点D为直角顶点作等腰三角形DCE,EF⊥x轴,F为垂足,下列结论:
①2DP+EF的值不变;②
的值不变;其中只有一个结论正确,请你选择出正确的结论,并求出其定值.
考点:
一次函数综合题;非负数的性质:
偶次方;非负数的性质:
算术平方根;待定系数法求一次函数解析式;等腰三角形的性质;关于x轴、y轴对称的点的坐标.4840090
专题:
代数几何综合题;动点型.
分析:
(1)根据非负数的性质列式求出a、p的值,从而得到点A、P的坐标,然后利用待定系数法求直线的解析式;
(2)根据关于y轴的点的对称求出点Q的坐标,再利用待定系数法求出直线AQ的解析式,设出点S的坐标,然后利用两点间的距离公式列式进行计算即可求出点S的坐标,再利用待定系数法求解直线RS的解析式;
(3)根据点B的横坐标为﹣2,可知点P为AB的中点,然后求出点B得到坐标,连接PC,过点C作CG⊥x轴于点G,利用角角边证明△APO与△PCG全等,根据全等三角形对应边相等可得PG=AO,CG=PO,再根据△DCE是等腰直角三角形,利用角角边证明△CDG与△EDF全等,根据全等三角形对应边相等可得DG=EF,然后用EF表示出DP的长度,然后代入两个结论进行计算即可找出正确的结论并得到定值.
解答:
解:
(1)根据题意得,a+3=0,p+1=0,
解得a=﹣3,p=﹣1,
∴点A、P的坐标分别为A(0,﹣3)、P(﹣1,0),
设直线AP的解析式为y=mx+n,
则
,
解得
,
∴直线AP的解析式为y=﹣3x﹣3;
(2)根据题意,点Q的坐标为(1,0),
设直线AQ的解析式为y=kx+c,
则
,
解得
,
∴直线AQ的解析式为y=3x﹣3,
设点S的坐标为(x,3x﹣3),
则SR=
=
,
SA=
=
,
∵SR=SA,
∴
=
,
解得x=
,
∴3x﹣3=3×
﹣3=﹣
,
∴点S的坐标为S(
,﹣
),
设直线RS的解析式为y=ex+f,
则
,
解得
,
∴直线RS的解析式为y=﹣3x+2;
(3)∵点B(﹣2,b),
∴点P为AB的中点,
连接PC,过点C作CG⊥x轴于点G,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴PC=PA=
AB,PC⊥AP,
∴∠CPG+∠APO=90°,∠APO+∠PAO=90°,
∴∠CPG=∠PAO,
在△APO与△PCG中,
,
∴△APO≌△PCG(AAS),
∴PG=AO=3,CG=PO,
∵△DCE是等腰直角三角形,
∴CD=DE,∠CDG+∠EDF=90°,
又∵EF⊥x轴,
∴∠DEF+∠EDF=90°,
∴∠CDG=∠DEF,
在△CDG与△EDF中,
,
∴△CDG≌△EDF(AAS),
∴DG=EF,
∴DP=PG﹣DG=3﹣EF,
①2DP+EF=2(3﹣EF)+EF=6﹣EF,
∴2DP+EF的值随点P的变化而变化,不是定值,
②
=
=
,
的值与点D的变化无关,是定值
.
点评:
本题综合考查了一次函数的问题,待定系数法求直线解析式,非负数的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,以及关于y轴对称的点的坐标的特点,综合性较强,难度较大,需仔细分析找准问题的突破口.
2.(2011•牡丹江)在△ABC中,∠ACB=2∠B,如图①,当∠C=90°,AD为∠BAC的角平分线时,在AB上截取AE=AC,连接DE,易证AB=AC+CD.
(1)如图②,当∠C≠90°,AD为∠BAC的角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?
不需要证明,请直接写出你的猜想:
(2)如图③,当AD为△ABC的外角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并对你的猜想给予证明.
考点:
全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.4840090
分析:
(1)首先在AB上截取AE=AC,连接DE,易证△ADE≌△ADC(SAS),则可得∠AED=∠C,ED=CD,又由∠AED=∠ACB,∠ACB=2∠B,所以∠AED=2∠B,即∠B=∠BDE,易证DE=CD,则可求得AB=AC+CD;
(2)首先在BA的延长线上截取AE=AC,连接ED,易证△EAD≌△CAD,可得ED=CD,∠AED=∠ACD,又由∠ACB=2∠B,易证DE=EB,则可求得AC+AB=CD.
解答:
解:
(1)猜想:
AB=AC+CD.
证明:
如图②,在AB上截取AE=AC,连接DE,
∵AD为∠BAC的角平分线时,
∴∠BAD=∠CAD,
∵AD=AD,
∴△ADE≌△ADC(SAS),
∴∠AED=∠C,ED=CD,
∵∠ACB=2∠B,
∴∠AED=2∠B,
∵∠AED=∠B+∠EDB,
∴∠B=∠EDB,
∴EB=ED,
∴EB=CD,
∴AB=AE+DE=AC+CD.
(2)猜想:
AB+AC=CD.
证明:
在BA的延长线上截取AE=AC,连接ED.
∵AD平分∠FAC,
∴∠EAD=∠CAD.
在△EAD与△CAD中,
AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD,
∴△EAD≌△CAD(SAS).
∴ED=CD,∠AED=∠ACD.
∴∠FED=∠ACB,
又∵∠ACB=2∠B
∴∠FED=2∠B,∠FED=∠B+∠EDB,
∴∠EDB=∠B,
∴EB=ED.
∴EA+AB=EB=ED=CD.
∴AC+AB=CD.
点评:
此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定定理.此题难度适中,解题的关键是注意数形结合思想的应用.
3.(2013•温州)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.
(1)求证:
△ACD≌△AED;
(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.
考点:
全等三角形的判定与性质;角平分线的性质;含30度角的直角三角形.4840090
分析:
(1)根据角平分线性质求出CD=DE,根据HL定理求出另三角形全等即可;
(2)求出∠DEB=90°,DE=1,根据含30度角的直角三角形性质求出即可.
解答:
(1)证明:
∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,
∴CD=ED,∠DEA=∠C=90°,
∵在Rt△ACD和Rt△AED中
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL);
(2)解:
∵DC=DE=1,DE⊥AB,
∴∠DEB=90°,
∵∠B=30°,
∴BD=2DE=2.
点评:
本题考查了全等三角形的判定,角平分线性质,含30度角的直角三角形性质的应用,注意:
角平分线上的点到角两边的距离相等.
4.(2013•荆门)如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.
(1)求证:
BE=CE;
(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其它条件不变.求证:
△AEF≌△BCF.
考点:
全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.4840090
专题:
证明题.
分析:
(1)根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAE=∠EAC,然后利用“边角边”证明△ABE和△ACE全等,再根据全等三角形对应边相等证明即可;
(2)先判定△ABF为等腰直角三角形,再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得AF=BF,再根据同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF,然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等即可.
解答:
证明:
(1)∵AB=AC,D是BC的中点,
∴∠BAE=∠EAC,
在△ABE和△ACE中,
,
∴△ABE≌△ACE(SAS),
∴BE=CE;
(2)∵∠BAC=45°,BF⊥AF,
∴△ABF为等腰直角三角形,
∴AF=BF,
∵AB=AC,点D是BC的中点,
∴AD⊥BC,
∴∠EAF+∠C=90°,
∵BF⊥AC,
∴∠CBF+∠C=90°,
∴∠EAF=∠CBF,
在△AEF和△BCF中,
,
∴△AEF≌△BCF(ASA).
点评:
本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形三线合一的性质,等腰直角三角形的判定与性质,同角的余角相等的性质,是基础题,熟记三角形全等的判定方法与各性质是解题的关键.
5.(2013•抚顺)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,点D是AB的中点,DE⊥BC,垂足为点E,连接CD.
(1)如图1,DE与BC的数量关系是 DE=
BC ;
(2)如图2,若P是线段CB上一动点(点P不与点B、C重合),连接DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60°,得到线段DF,连接BF,请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)若点P是线段CB延长线上一动点,按照
(2)中的作法,请在图3中补全图形,并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系.
考点:
全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.4840090
分析:
(1)由∠ACB=90°,∠A=30°得到∠B=60°,根据直角三角形斜边上中线性质得到DB=DC,则可判断△DCB为等边三角形,由于DE⊥BC,DE=
BC;
(2)根据旋转的性质得到∠PDF=60°,DP=DF,易得∠CDP=∠BDF,则可根据“SAS”可判断△DCP≌△DBF,则CP=BF,利用CP=BC﹣BP,DE=
BC可得到BF+BP=
DE;
(3)与
(2)的证明方法一样得到△DCP≌△DBF得到CP=BF,而CP=BC+BP,则BF﹣BP=BC,所以BF﹣BP=
DE.
解答:
解:
(1)∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠B=60°,
∵点D是AB的中点,
∴DB=DC,
∴△DCB为等边三角形,
∵DE⊥BC,
∴DE=
BC;
故答案为DE=
BC.
(2)BF+BP=
DE.理由如下:
∵线段DP绕点D逆时针旋转60°,得到线段DF,
∴∠PDF=60°,DP=DF,
而∠CDB=60°,
∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB,
∴∠CDP=∠BDF,
在△DCP和△DBF中
,
∴△DCP≌△DBF(SAS),
∴CP=BF,
而CP=BC﹣BP,
∴BF+BP=BC,
∵DE=
BC,
∴BC=
DE,
∴BF+BP=
DE;
(3)如图,
与
(2)一样可证明△DCP≌△DBF,
∴CP=BF,
而CP=BC+BP,
∴BF﹣BP=BC,
∴BF﹣BP=
DE.
点评:
本题考查了全等三角形的判定与性质:
判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”;全等三角形的对应边相等.也考查了等边三角形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系.
6.(2012•天水)如图,已知△ABC为等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F.
(1)求证:
△ABE≌△CAD;
(2)求∠BFD的度数.
考点:
全等三角形的判定;等边三角形的性质.4840090
专题:
几何综合题;压轴题.
分析:
(1)根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°,AB=CA,结合AE=CD,可证明△ABE≌△CAD(SAS);
(2)根据∠BFD=∠ABE+∠BAD,∠ABE=∠CAD,可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.
解答:
(1)证明:
∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA,
即∠BAE=∠C=60°,
在△ABE和△CAD中,
,
∴△ABE≌△CAD(SAS).
(2)解:
∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,
又∵△ABE≌△CAD,
∴∠ABE=∠CAD.
∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.
点评:
本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等边三角形的性质.判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看缺什么条件,再去证什么条件.
7.(2013•东营)
(1)如图
(1),已知:
在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.
证明:
DE=BD+CE.
(2)如图
(2),将
(1)中的条件改为:
在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?
如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)拓展与应用:
如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.
考点:
全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定.4840090
专题:
压轴题.
分析:
(1)根据BD⊥直线m,CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°,而∠BAC=90°,根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD,然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA,
则AE=BD,AD=CE,于是DE=AE+AD=BD+CE;
(2)与
(1)的证明方法一样;
(3)与前面的结论得到△ADB≌△CEA,则BD=AE,∠DBA=∠CAE,根据等边三角形的性质得∠ABF=∠CAF=60°,则∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,则∠DBF=∠FAE,
利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF,所以DF=EF,∠BFD=∠AFE,于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形.
解答:
证明:
(1)∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,
∴∠BDA=∠CEA=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°,
∵∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠CAE=∠ABD,
∵在△ADB和△CEA中
,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE;
(2)成立.
∵∠BDA=∠BAC=α,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α,
∴∠CAE=∠ABD,
∵在△ADB和△CEA中
,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE;
(3)△DEF是等边三角形.
由
(2)知,△ADB≌△CEA,
BD=AE,∠DBA=∠CAE,
∵△ABF和△ACF均为等边三角形,
∴∠ABF=∠CAF=60°,
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,
∴∠DBF=∠FAE,
∵BF=AF
在△DBF和△EAF中
,
∴△DBF≌△EAF(SAS),
∴DF=EF,∠BFD=∠AFE,
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,
∴△DEF为等边三角形.
点评:
本题考查了全等三角形的判定与性质:
判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”;全等三角形的对应边相等.也考查了等边三角形的判定与性质.
8.(2008•绍兴)附加题,学完“几何的回顾”一章后,老师布置了一道