解决问题常用解题技巧.docx
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解决问题常用解题技巧
解决问题常用解题技巧
（一）
【图示法】解答综合性题时，尽管题目内容复杂多变，或者已知条件十分抽象，但可以用图形（线段图、直观图、示意图）把题中的条件和问题形象、具体地表示出来，以帮助我们揭示数量关系，正确地找到解答方法。
这种解题方法就是图示法。
的服装3套，则剩下1.61米。
这段布料全长多少米？
分析：
根据题意先画图观察（如图3.1）。
可知：
做1套服装所用布料占这段布料的：
做3套服装所用布料占这段布料的：
剩下的布料16.1米的对应分率是：
由此可求出这段布料全长多少米。
答：
这段布料全长24.5米。
例2把一个长方体的高减少4厘米，就得到一个底面不变的正方体，它的表面积比原来减少了112平方厘米。
这个正方体的体积是多少？
分析：
这是一道比较抽象的图形的求积题，需要有一定的空间想象能力。
通过画图（如图3．2），可以帮助理解两个关键问题。
一是把长方体的高减少4厘米后，得到一个底面不变的正方体，这个正方体的六个面都是正方形。
二是长方体变成正方体后，它的表面积减少的部分是以4厘米为高的这个长方体的侧面积（而不含阴影部分的面积）。
根据已知条件，可知将这个侧面积展开是一个宽4厘米、面积为112平方厘米的长方形，由此可求出它的长，也就是得到的正方形的一个面的周长。
112÷4＝28（厘米）
则正方体的棱长为：
28÷4＝7（厘米）
由此可求出正方体的体积。
解：
（112÷4÷4）3
＝7×7×7
＝343（立方厘米）
答：
这个正方体的体积是343立方厘米。
例3在边长是6米的正方形花圃四周由里向外铺上三圈水泥砖，形成一个大的正方形，这种水泥砖每块是边长30厘米的正方形，共需要这种水泥砖多少块？
（中南地区小学数学竞赛试题）分析：
此题是一道空心方阵问题。
根据方阵里外相邻两层每边数相差2的特点，可求出方阵最里层每边有方砖是600÷30＋2＝22（块），因为是3层，所以最外层每边有方砖是22＋2×（3－1）＝26块。
由题意画一个空心方阵图（如图3．3），阴影部分表示方砖数，把这个图的阴影部分划分成相等的四个小块，只需求出一小块里面有多少块砖，便可求出一共有多少块砖。
解：
（26－3）×3×4＝276（块）
答：
共需方砖276块。
例4一组割草人去两块草地割草，他们的工效都相等。
大的一块草地比小的一块大一倍。
上午全组人都在大的一块草地割草，下午一半人留在大草地上，到傍晚时把草割完。
另一半人就到小草地上去割，到傍晚时还剩下一块，这一块若由一个人去割，正好一天可以割完。
问全组共有多少名割草人？
分析：
这是一道俄国名题，乍看起来数量关系比较复杂，若根据题意先画一个图，题意就一目了然了。
先画一个长方形表示大的一块草地，连着这个长方形再画一个面积是它的一半的小长方形，表示小的一片草地，如图3．4所示。
答：
全组共有8名割草人。
例5AB两站从6：
00—19：
00，每隔10分钟有一辆公共汽车同时相对开出。
从A站到B站与从B站到A站运行的时间均为50分钟。
现有一辆汽车上午9点出发从B站开往A站，问这辆汽车在运行途中遇到多少辆从A站开往B站的汽车？
（“运行途中”是指出站后至进站前所经过的路段。
）
分析与解答：
考虑问题时应想到这辆从B站开往A站的车，在出发前A站已每隔10分钟向B站发车，那么这辆车在运行途中会遇到多少辆从A站开往B站的车呢？
可用图示法解答。
分别从AB两站画两条平行的时间轴，每两点之间的线段表示一个时间段（10分钟）。
汽车9点从B站开出，9点50分到达A站，在B轴上用“0”表示发车时间，A轴上用5表示到达时间，AB两站相对开出的车辆用斜线表示。
这样一来，就把所求的问题转化成“0—5”连线与多少条斜线相交的问题。
如图3.5所示。
由图可知，这辆汽车在运行途中，遇到了9辆从A站开往B站的汽车。
注：
这类问题经常被称为“柳卡问题”，这是因为法国数学家柳卡（也译作“刘卡”）在一次国际会议期间最先提出这类问题。
在匈牙利，它则被称为“邮车相遇问题”，因为匈牙利著名作家卡尔曼·米克沙特所著的名著《奇婚配》中，有一个类似的邮车相遇算题。
解这类问题的图，称之为“时间一路程图”，或称之为“运行图”。
【列表法】解题时把题中的条件进行分类整理，用表格的形式进行有序排列，使条件与条件之间，条件与问题之间的关系条理化、明朗化，有利于探求解题的思路，从而达到解决问题的目的。
这种方法就是列表法。
例1一个圆的周长是1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行，这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米。
它们每爬行1秒、3秒、5秒……（连续奇数），就调头爬行。
那么，它们相遇时，已爬行的时间是______秒。
（1992年小学数学奥林匹克初赛试题）
分析：
两只蚂蚁是在边进边退中相向爬行，要求出它们相遇的时间，就有一定困难。
圆的周长是1.26米（126厘米），半圆的弧长则是63厘米，两只蚂蚁共同爬行63厘米所用的时间就是它们相遇的时间。
两只蚂蚁每秒钟一共爬行了
5.5＋3.5＝9（厘米）
假定两只蚂蚁第1秒钟都往上半圆相向爬行，则它们共同爬行了9厘米。
这时，它们调头向下爬行3秒钟，共爬行了
9×3＝27（厘米）
相对它们出发时的地点下降了
27－9＝18（厘米）
这时，它们又调头问上爬行5秒钟，共行9×5＝45（厘米），相对出发时的地点向上爬行了
45－18＝27（厘米）
依此类推，列出下表：
从上表可以看出，在蚂蚁连续向上爬行了13秒钟的时候，正好相遇。
这时蚂蚁一共爬行了
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝49（秒）
答：
它们相遇时，已爬行的时间是49秒。
分析：
根据工作效率＝工作量÷时间，列下表：
解：
从上表可知师傅与徒弟两人工作效率的比为：
答：
师傅与徒弟两人工作效率的比是5∶3。
例3长方形ABCD周长为16米，在它的每条边上各画一个以该边为长的正方形（如图3.6）。
已知这四个正方形的面积的和是68平方米，求长方形ABCD的面积。
（第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试题）
分析：
要求长方形ABCD的面积，必须知道长方形的长与宽各是多少，若用算术方法或列方程解答都比较难，改用列表法解答则比较容易。
由“长方形ABCD的周长是16米”，“四个正方形的面积的和为68平方米”这两个条件，以及长方形对边相等的性质，可以推出
长＋宽＝8（米）
长2＋宽2＝68÷2＝34（平方米）
根据推论列表如下：
解：
分析上表，符合条件的长应该是5米，宽应该是3米，则长方形ABCD的面积为
5×3＝15（平方米）
答：
长方形ABCD的面积是15平方米。
例4有若干只重量相同的箱子共重10吨，且每只箱子的重量不少于1吨。
用载重3吨的汽车一次将箱子运走，至少需要__辆车子。
（1993年全国小学生数学竞赛决赛试题）
分析：
由“每只箱子的重量不少于1吨”，每辆汽车“载重3吨”的条件，可知每一箱子的重量的取值范围是1≤3。
由于箱子的只数只能是自然数，根据“若干只重量相同的箱子共重10吨”的条件，可知箱子的只数是10、9、8、7、6、5、和4这七种情况。
要注意的是，若每只箱子的重量是1吨，则共有10只箱子，用3辆汽车每车装3只箱子，就还剩下1只箱子没有运走，故至少要4辆汽车才能一次运完。
根据条件和问题，列表解答如下：
从上表可知至少要6辆车才能一次将箱子运走。
答：
至少需要6辆汽车。
【假设法】一些题目含有两个或者两个以上的未知数量，其数量关系比较隐蔽，很难找到解题途径。
为了使复杂的数量关系变得单一，使隐蔽的关系变得明朗，我们可以用“假设”，改变某些条件，或者将某个条件设为已知。
对因假设而产生的差异进行分析推断，并加以调整，从而使问题获得解决。
这种解题方法，就是假设法。
“假设”是一种重要的数学思想。
列方程解应用题，把未知数设为X；有关倍数应用题，常常假定一个数量为“1倍”或“1”份；解答分数、百分数应用题，把一个数量假定为单位“1”。
这些都是假设法的广泛应用。
我国古代的“鸡兔同笼”、“百僧分馍”等问题，都是用假设法解答的典型应用题。
例1在一个停车场上，现有的车辆数是24辆。
其中汽车是4个轮子，摩托车是3个轮子，这些车共有86个轮子。
那么，三轮摩托车有__辆。
（1992年小学数学奥林匹克初赛试题）
分析：
假设这24辆全是汽车，则有轮子：
4×24＝96（个）
比实际的86个多了：
96－86＝10（个）
可以推断汽车不可能为24辆，对假设要作调整。
由于每辆汽车比摩托车多1个轮子，多出的10个轮子就是多将10辆摩托车假定为汽车造成的。
因此，摩托车为10÷1＝10（辆）
解：
（4×24－86）÷（4－3）
＝10÷1
＝10（辆）………………………………摩托车辆数
24－10＝14（辆）…………………汽车辆数
答：
有三轮摩托车10辆。
本题也可以假设这24辆全是摩托车，则汽车为（86－24×3）÷（4－1）＝14（辆），摩托车则为24－14＝10（辆）。
例2某车站售出汽车月票若干张。
每张学生票6元，每张成人票14元；售出的学生票比成人票多700张，售出的成人票比学生票多收6200元。
问售出的成人票与学生票各多少张？
分析：
假设再售出成人票700张，则学生票的张数就与成人票的张数同样多，那么成人票又要多收：
700×14＝9800（元）
成人票比学生票一共多收：
6200＋9800＝16000（元）
而每张成人票比学生票要多收14－6＝8（元），16000元里面包含了多少个8元，就是学生票的张数：
16000÷8＝2000（张）
解：
（6200＋700×14）÷（14－6）
＝16000÷8
＝2000（张）……学生票数
2000－700＝1300（张）……成人票数
答：
售出学生票2000张，成人票1300张。
分析：
题中两个分率的单位“1”（或标准量）不统一，解此题的关键是假设哪一个量为单位“1”。
可以假设文艺书的本数为单位“1”，也可以假设科技书的本数为单位“1”，还可以假设两种图书的总数为单位“1”，甚至可以假设两种图书相等的部分为单位“1”。
现在假设科技书的本数为单位“1”。
用分数除法求得文艺书的本数是科技书的几分之几；
还可以根据比例的基本性质求得文艺书的本数是科技书的几分之几：
这样就找到了文艺书比科技书多120本的对应分率是：
＝240（本）……………………………科技书本数
120＋240＝360（本）…………………文艺书本数
240＋360＝600（本）…………………图书总数
答：
共购进图书600本。
例4某工厂的27位师傅共带徒弟40名。
每位师傅可以带一名徒弟、两名徒弟或三名徒弟。
如果带一名徒弟的师傅的人数是其他师傅的人数的两倍，那么带两名徒弟的师傅有______位。
（1993年小学数学奥林匹克竞赛试题初赛民族卷）
分析：
由带一名徒弟的师傅人数是其他师傅的人数的两倍，可知带两名徒弟与带三名徒弟的师傅总人数是：
27÷（1＋2）＝9（名）
9名师傅共带徒弟的人数是：
40－1×（27－9）＝22（名）
假设9名师傅每人都带3名徒弟，则有徒弟的人数是：
3×9＝27（名）
比实际的22名多了：
27－22＝5（名）
可知9名师傅不可能都带三名徒弟，多出的5名徒弟就是多将5名师傅都假设成带了三名徒弟的缘故，其中必有5名师傅是带两名徒弟的。
解：
（3×9－22）÷（3－2）＝5（名）
答：
带两名徒弟的师傅有5位。
例5甲、乙两地相距480千米。
一辆汽车从甲地开往乙地，前3小时行了全程的37.5％，照这样计算，还要几小时到达乙地？
分析：
如果把汽车行完全程所需的时间假设为单位“1”，则行完全程所需的时间为：
3÷37.5％＝8（小时）
那么，还要几小时到达乙地，则为：
8－3＝5（小时）
像这样巧用假设，使问题解答得十分简捷。
解：
3÷37.5％－3＝5（小时）
答：
还要5小时到达乙地。
例6甲、乙两个小朋友各有糖若干粒。
如果乙给甲16粒，甲的糖就是乙的2倍；如果甲给乙9粒，乙的糖就是甲的3倍。
求甲、乙两人原有糖各是多少粒？
分析：
这道题的数量关系十分隐蔽，很难发现数量间的联系。
解题的关键是通过假设找到甲、乙两人糖数间的倍数关系。
为了弄清谁是谁的几倍，必须先设甲（或乙）原有的糖数为“1倍”。
现在以甲原有的糖数为“1”倍。
假设乙不给甲16粒，仍要使乙的糖数
假设甲不给乙9粒，仍要使乙的糖数是甲的3倍，则乙的糖数应增加9×（1＋3）粒。
通过分析，可知乙的糖数先后变化之差为：
由此可以求出甲原有糖的粒数。
（24＋16）÷2＋16＝36（粒）………………………………乙
答：
甲原有糖24粒，乙原有糖36粒。
分析：
这道题要求的数量有两种，两厂上交税金所取分率的单位“1”又各不相同，很难找到“量”与“率”的对应关系，如果使用“假设”便能顺利地解决这个问题。
比实际上交的税金少了：
42－32＝10（万元）
＝63（万元）…………………………甲厂上交税金
112－63＝49（万元）……………乙厂上交税金
答：
甲厂上交税金63万元，乙厂上交税金49万元。
例8一个人从县城骑车去乡办厂。
他从县城骑车出发，用30分钟行完了一半路程。
这时，他加快了速度，每分钟比原来多行50米，又骑了20分钟后，他从路旁的里程标志牌上知道，必须再骑2千米才能赶
到乡办厂。
求县城到乡办厂之间的路程。
（《小学生数学报》第五届小学生数学邀请赛决赛试题）
分析：
此题已知“用30分钟行完了一半路程”，但未给出每分钟行多少米，后来“每分钟比原来多行50米”，究竟后来一分钟的速度是多少，也不可知。
所以按已知条件无法直接求得县城到乡办厂之间的路程。
我们可以用假设法使问题得到解决。
把全路程看作“1”，假设后20分钟仍按原速行进，即每分钟不多走50米，则此人行了30＋20＝50（分钟）后，还离乡办厂的路程为：
50×20＋2000＝3000（米）
按照这个假设推出行完全程所需的时间为：
30×2＝60（分钟）
根据速度一定，行走的时间与路程成正比例，可知50分钟所行路程为全
所以全程为：
＝18000（米）
答：
县城到乡办厂之间的路程是18000米。
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