解决问题常用解题技巧.docx

1、解决问题常用解题技巧解决问题常用解题技巧（一）【图示法】 解答综合性题时，尽管题目内容复杂多变，或者已知条件十分抽象，但可以用图形（线段图、直观图、示意图）把题中的条件和问题形象、具体地表示出来，以帮助我们揭示数量关系，正确地找到解答方法。这种解题方法就是图示法。 的服装3套，则剩下1.61米。这段布料全长多少米？ 分析：根据题意先画图观察（如图3.1）。 可知：做1套服装所用布料占这段布料的： 做3套服装所用布料占这段布料的： 剩下的布料16.1米的对应分率是： 由此可求出这段布料全长多少米。 答：这段布料全长24.5米。 例2 把一个长方体的高减少4厘米，就得到一个底面不变的正方体，它的表

2、面积比原来减少了112平方厘米。这个正方体的体积是多少？ 分析：这是一道比较抽象的图形的求积题，需要有一定的空间想象能力。通过画图（如图32），可以帮助理解两个关键问题。一是把长方体的高减少4厘米后，得到一个底面不变的正方体，这个正方体的六个面都是正方形。二是长方体变成正方体后，它的表面积减少的部分是以4厘米为高的这个长方体的侧面积（而不含阴影部分的面积）。根据已知条件，可知将这个侧面积展开是一个宽4厘米、面积为112平方厘米的长方形，由此可求出它的长，也就是得到的正方形的一个面的周长。112428（厘米） 则正方体的棱长为：2847（厘米） 由此可求出正方体的体积。 解：（11244）3 7

3、77 343（立方厘米） 答：这个正方体的体积是343立方厘米。 例3 在边长是6米的正方形花圃四周由里向外铺上三圈水泥砖，形成一个大的正方形，这种水泥砖每块是边长30厘米的正方形，共需要这种水泥砖多少块？（中南地区小学数学竞赛试题）分析：此题是一道空心方阵问题。根据方阵里外相邻两层每边数相差2的特点，可求出方阵最里层每边有方砖是60030222（块），因为是3层，所以最外层每边有方砖是222（31）26块。 由题意画一个空心方阵图（如图33），阴影部分表示方砖数，把这个图的阴影部分划分成相等的四个小块，只需求出一小块里面有多少块砖，便可求出一共有多少块砖。 解：（263）34276（块） 答

4、：共需方砖276块。 例4 一组割草人去两块草地割草，他们的工效都相等。大的一块草地比小的一块大一倍。上午全组人都在大的一块草地割草，下午一半人留在大草地上，到傍晚时把草割完。另一半人就到小草地上去割，到傍晚时还剩下一块，这一块若由一个人去割，正好一天可以割完。问全组共有多少名割草人？ 分析：这是一道俄国名题，乍看起来数量关系比较复杂，若根据题意先画一个图，题意就一目了然了。先画一个长方形表示大的一块草地，连着这个长方形再画一个面积是它的一半的小长方形，表示小的一片草地，如图34所示。 答：全组共有8名割草人。 例5 AB两站从6：0019：00，每隔10分钟有一辆公共汽车同时相对开出。从A站

5、到B站与从B站到A站运行的时间均为50分钟。现有一辆汽车上午9点出发从B站开往A站，问这辆汽车在运行途中遇到多少辆从A站开往B站的汽车？（“运行途中”是指出站后至进站前所经过的路段。） 分析与解答：考虑问题时应想到这辆从B站开往A站的车，在出发前A站已每隔10分钟向B站发车，那么这辆车在运行途中会遇到多少辆从A站开往B站的车呢？可用图示法解答。 分别从AB两站画两条平行的时间轴，每两点之间的线段表示一个时间段（10分钟）。汽车9点从B站开出，9点50分到达A站，在B轴上用“0”表示发车时间，A轴上用5表示到达时间，AB两站相对开出的车辆用斜线表示。这样一来，就把所求的问题转化成“05”连线与多

6、少条斜线相交的问题。如图3.5所示。 由图可知，这辆汽车在运行途中，遇到了9辆从A站开往B站的汽车。 注：这类问题经常被称为“柳卡问题”，这是因为法国数学家柳卡（也译作“刘卡”）在一次国际会议期间最先提出这类问题。在匈牙利，它则被称为“邮车相遇问题”，因为匈牙利著名作家卡尔曼米克沙特所著的名著奇婚配中，有一个类似的邮车相遇算题。解这类问题的图，称之为“时间一路程图”，或称之为“运行图”。 【列表法】 解题时把题中的条件进行分类整理，用表格的形式进行有序排列，使条件与条件之间，条件与问题之间的关系条理化、明朗化，有利于探求解题的思路，从而达到解决问题的目的。这种方法就是列表法。 例1一个圆的周长

7、是1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行，这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米。它们每爬行1秒、3秒、5秒（连续奇数），就调头爬行。那么，它们相遇时，已爬行的时间是_秒。（1992年小学数学奥林匹克初赛试题） 分析：两只蚂蚁是在边进边退中相向爬行，要求出它们相遇的时间，就有一定困难。圆的周长是1.26米（126厘米），半圆的弧长则是63厘米，两只蚂蚁共同爬行63厘米所用的时间就是它们相遇的时间。两只蚂蚁每秒钟一共爬行了 5.53.59（厘米） 假定两只蚂蚁第1秒钟都往上半圆相向爬行，则它们共同爬行了9厘米。这时，它们调头向下爬行3秒钟，共爬行了 9327（厘米） 相

8、对它们出发时的地点下降了 27918（厘米） 这时，它们又调头问上爬行5秒钟，共行9545（厘米），相对出发时的地点向上爬行了 451827（厘米） 依此类推，列出下表： 从上表可以看出，在蚂蚁连续向上爬行了13秒钟的时候，正好相遇。这时蚂蚁一共爬行了 13579111349（秒） 答：它们相遇时，已爬行的时间是49秒。 分析：根据工作效率工作量时间，列下表： 解：从上表可知师傅与徒弟两人工作效率的比为： 答：师傅与徒弟两人工作效率的比是53。 例3长方形ABCD周长为16米，在它的每条边上各画一个以该边为长的正方形（如图3.6）。已知这四个正方形的面积的和是68平方米，求长方形ABCD的面积

9、。（第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试题） 分析：要求长方形ABCD的面积，必须知道长方形的长与宽各是多少，若用算术方法或列方程解答都比较难，改用列表法解答则比较容易。由“长方形ABCD的周长是16米”，“四个正方形的面积的和为68平方米”这两个条件，以及长方形对边相等的性质，可以推出 长宽8（米） 长2宽268234（平方米） 根据推论列表如下： 解：分析上表，符合条件的长应该是5米，宽应该是3米， 则长方形ABCD的面积为 5315（平方米） 答：长方形ABCD的面积是15平方米。 例4有若干只重量相同的箱子共重10吨，且每只箱子的重量不少于1吨。用载重3吨的汽车一次将箱子运走，至少

10、需要_辆车子。（1993年全国小学生数学竞赛决赛试题） 分析：由“每只箱子的重量不少于1吨”，每辆汽车“载重3吨”的条件，可知每一箱子的重量的取值范围是13。由于箱子的只数只能是自然数，根据“若干只重量相同的箱子共重10吨”的条件，可知箱子的只数是10、9、8、7、6、5、和4这七种情况。 要注意的是，若每只箱子的重量是1吨，则共有10只箱子，用3辆汽车每车装3只箱子，就还剩下1只箱子没有运走，故至少要4辆汽车才能一次运完。 根据条件和问题，列表解答如下： 从上表可知至少要6辆车才能一次将箱子运走。 答：至少需要6辆汽车。【假设法】 一些题目含有两个或者两个以上的未知数量，其数量关系比较隐蔽，

11、很难找到解题途径。为了使复杂的数量关系变得单一，使隐蔽的关系变得明朗，我们可以用“假设”，改变某些条件，或者将某个条件设为已知。对因假设而产生的差异进行分析推断，并加以调整，从而使问题获得解决。这种解题方法，就是假设法。 “假设”是一种重要的数学思想。列方程解应用题，把未知数设为X；有关倍数应用题，常常假定一个数量为“1倍”或“1”份；解答分数、百分数应用题，把一个数量假定为单位“1”。这些都是假设法的广泛应用。我国古代的“鸡兔同笼”、“百僧分馍”等问题，都是用假设法解答的典型应用题。 例1在一个停车场上，现有的车辆数是24辆。其中汽车是4个轮子，摩托车是3个轮子，这些车共有86个轮子。那么，

12、三轮摩托车有_辆。（1992年小学数学奥林匹克初赛试题） 分析：假设这24辆全是汽车，则有轮子： 42496（个） 比实际的86个多了： 968610（个） 可以推断汽车不可能为24辆，对假设要作调整。由于每辆汽车比摩托车多1个轮子，多出的10个轮子就是多将10辆摩托车假定为汽车造成的。因此，摩托车为10110（辆） 解：（42486）（43） 101 10（辆）摩托车辆数 241014（辆）汽车辆数 答：有三轮摩托车10辆。 本题也可以假设这24辆全是摩托车，则汽车为（86243）（41）14（辆），摩托车则为241410（辆）。 例2某车站售出汽车月票若干张。每张学生票6元，每张成人票14

13、元；售出的学生票比成人票多700张，售出的成人票比学生票多收6200元。问售出的成人票与学生票各多少张？ 分析：假设再售出成人票700张，则学生票的张数就与成人票的张数同样多，那么成人票又要多收： 700149800（元） 成人票比学生票一共多收： 6200980016000（元） 而每张成人票比学生票要多收1468（元），16000元里面包含了多少个8元，就是学生票的张数： 1600082000（张） 解：（620070014）（146） 160008 2000（张）学生票数 20007001300（张）成人票数 答：售出学生票2000张，成人票1300张。 分析：题中两个分率的单位“1”（

14、或标准量）不统一，解此题的关键是假设哪一个量为单位“1”。可以假设文艺书的本数为单位“1”，也可以假设科技书的本数为单位“1”，还可以假设两种图书的总数为单位“1”，甚至可以假设两种图书相等的部分为单位“1”。现在假设科技书的本数为单位“1”。 用分数除法求得文艺书的本数是科技书的几分之几； 还可以根据比例的基本性质求得文艺书的本数是科技书的几分之几： 这样就找到了文艺书比科技书多120本的对应分率是： 240（本）科技书本数 120240360（本）文艺书本数 240360600（本）图书总数 答：共购进图书600本。 例4某工厂的27位师傅共带徒弟40名。每位师傅可以带一名徒弟、两名徒弟或

15、三名徒弟。如果带一名徒弟的师傅的人数是其他师傅的人数的两倍，那么带两名徒弟的师傅有_位。（1993年小学数学奥林匹克竞赛试题初赛民族卷） 分析：由带一名徒弟的师傅人数是其他师傅的人数的两倍，可知带两名徒弟与带三名徒弟的师傅总人数是： 27（12）9（名） 9名师傅共带徒弟的人数是： 401（279）22（名） 假设9名师傅每人都带3名徒弟，则有徒弟的人数是： 3927（名） 比实际的22名多了： 27225（名） 可知9名师傅不可能都带三名徒弟，多出的5名徒弟就是多将5名师傅都假设成带了三名徒弟的缘故，其中必有5名师傅是带两名徒弟的。 解：（3922）（32）5（名） 答：带两名徒弟的师傅有5

16、位。 例5甲、乙两地相距480千米。一辆汽车从甲地开往乙地，前3小时行了全程的37.5，照这样计算，还要几小时到达乙地？ 分析：如果把汽车行完全程所需的时间假设为单位“1”，则行完全程所需的时间为： 337.58（小时） 那么，还要几小时到达乙地，则为： 835（小时） 像这样巧用假设，使问题解答得十分简捷。 解：337.535（小时） 答：还要5小时到达乙地。 例6甲、乙两个小朋友各有糖若干粒。如果乙给甲16粒，甲的糖就是乙的2倍；如果甲给乙9粒，乙的糖就是甲的3倍。求甲、乙两人原有糖各是多少粒？ 分析：这道题的数量关系十分隐蔽，很难发现数量间的联系。解题的关键是通过假设找到甲、乙两人糖数间

17、的倍数关系。为了弄清谁是谁的几倍，必须先设甲（或乙）原有的糖数为“1倍”。 现在以甲原有的糖数为“1”倍。假设乙不给甲16粒，仍要使乙的糖数假设甲不给乙9粒，仍要使乙的糖数是甲的3倍，则乙的糖数应增加9（13）粒。通过分析，可知乙的糖数先后变化之差为： 由此可以求出甲原有糖的粒数。 （2416）21636（粒） 乙 答：甲原有糖24粒，乙原有糖36粒。 分析：这道题要求的数量有两种，两厂上交税金所取分率的单位“1”又各不相同，很难找到“量”与“率”的对应关系，如果使用“假设”便能顺利地解决这个问题。 比实际上交的税金少了： 423210（万元） 63（万元）甲厂上交税金 1126349（万元）

18、乙厂上交税金 答：甲厂上交税金63万元，乙厂上交税金49万元。 例8 一个人从县城骑车去乡办厂。他从县城骑车出发，用30分钟行完了一半路程。这时，他加快了速度，每分钟比原来多行50米，又骑了20分钟后，他从路旁的里程标志牌上知道，必须再骑2千米才能赶到乡办厂。求县城到乡办厂之间的路程。（小学生数学报第五届小学生数学邀请赛决赛试题） 分析：此题已知“用30分钟行完了一半路程”，但未给出每分钟行多少米，后来“每分钟比原来多行50米”，究竟后来一分钟的速度是多少，也不可知。所以按已知条件无法直接求得县城到乡办厂之间的路程。 我们可以用假设法使问题得到解决。把全路程看作“1”，假设后20分钟仍按原速行进，即每分钟不多走50米，则此人行了302050（分钟）后，还离乡办厂的路程为： 502020003000（米） 按照这个假设推出行完全程所需的时间为： 30260（分钟） 根据速度一定，行走的时间与路程成正比例，可知50分钟所行路程为全 所以全程为： 18000（米） 答：县城到乡办厂之间的路程是18000米。