高中数学竞赛标准教材第五章数列.docx

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高中数学竞赛标准教材第五章数列

高中数学竞赛标准教材（第五章数列）

第五章数列

一、基础知识

定义1数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n，….数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1,a2,a3,…，an或a1,a2,a3,…，an…。

其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。

定理1若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1,当n1时，an=Sn-Sn-1.

定义2等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。

若三个数a,b,c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d,则a=b-d,c=b+d.

定理2等差数列的性质：

1）通项公式an=a1+（n-1）d；2）前n项和公式：

Sn=；3）an-am=（n-m）d，其中n,m为正整数；4）若n+m=p+q，则an+am=ap+a¬q；5）对任意正整数p,q，恒有ap-aq=（p-q）（a2-a1）；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.

定义3等比数列，若对任意的正整数n，都有，则{an}称为等比数列，q叫做公比。

定理3等比数列的性质：

1）an=a1qn-1；2）前n项和Sn，当q1时，Sn=；当q=1时，Sn=na1；3）如果a,b,c成等比数列，即b2=ac（b0），则b叫做a,c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。

定义4极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的0，存在M，对任意的nM（n∈N）,都有|an-A|，则称A为n→+∞时数列{an}的极限，记作

定义5无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。

定理3第一数学归纳法：

给定命题p（n），若：

（1）p（n0）成立；

（2）当p（n）时n=k成立时能推出p（n）对n=k+1成立，则由

（1），

（2）可得命题p（n）对一切自然数n≥n0成立。

竞赛常用定理

定理4第二数学归纳法：

给定命题p（n），若：

（1）p（n0）成立；

（2）当p（n）对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p（k+1）成立，则由

（1），

（2）可得命题p（n）对一切自然数n≥n0成立。

定理5对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:

（1）若αβ，则xn=c1an-1+c2βn-1，其中c1,c2由初始条件x1,x2的值确定；

（2）若α=β，则xn=（c1n+c2）αn-1，其中c1,c2的值由x1,x2的值确定。

二、方法与例题

1．不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。

通常解题方式为：

特殊→猜想→数学归纳法证明。

例1试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。

【解】1）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n.

例2已知数列{an}满足a1=,a1+a¬2+…+an=n2an,n≥1，求通项an.

【解】因为a1=,又a1+a¬2=22a2,

所以a2=，a3=,猜想（n≥1）.

证明；1）当n=1时，a1=，猜想正确。

2）假设当n≤k时猜想成立。

当n=k+1时，由归纳假设及题设，a1+a1+…+a1=[（k+1）2-1]ak+1,，

所以=k（k+2）ak+即=k（k+2）ak+1,

所以=k（k+2）ak+1,所以ak+由数学归纳法可得猜想成立，所以

例3设0a1，数列{an}满足an=1+a,an-1=a+，求证：

对任意n∈N+,有an1.

【证明】证明更强的结论：

1an≤1+a.

1）当n=1时，1a1=1+a，①式成立；

2）假设n=k时，①式成立，即1an≤1+a，则当n=k+1时，有

由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。

2．迭代法。

数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n-1等，这种办法通常称迭代或递推。

例4数列{an}满足an+pan-1+qan-2=0,n≥3，q0，求证：

存在常数c，使得an+

【证明】an+1+（pan+1+an+2）+=an+2（-qan）+=

+an（pqn+1+qan）]=q（）.

若=0，则对任意n,+=0，取c=0即可.

若0，则{+}是首项为，公式为q的等比数列。

所以+=qn.

取即可.

综上，结论成立。

例5已知a1=0,an+1=5an+，求证：

an都是整数，n∈N+.

【证明】因为a1=0,a2=1，所以由题设知当n≥1时an+1an.

又由an+1=5an+移项、平方得

①

当n≥2时，把①式中的n换成n-1得，即

②

因为an-1an+1，所以①式和②式说明an-1,an+1是方程x2-10anx+-1=0的两个不等根。

由韦达定理得an+1+an-1=10an（n≥2）.

再由a1=0,a2=1及③式可知，当n∈N+时，an都是整数。

3．数列求和法。

数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。

例6已知an=（n=1,2,…），求S99=a1+a2+…+a【解】因为an+a100-n=+=，

所以例7求和：

+…+

【解】一般地，

，

所以Sn=

例8已知数列{an}满足a1=a2=1，an+2=an+1+an,Sn为数列的前n项和，求证：

Sn2。

【证明】由递推公式可知，数列{an}前几项为1，1，2，3，5，8，13。

因为，①

所以。

②

由①-②得，

所以。

又因为Sn-2Sn且0,

所以Sn,所以，

所以Sn2，得证。

4．特征方程法。

例9已知数列{an}满足a1=3,a2=6,an+2=4n+1-4an，求an.

【解】由特征方程x2=4x-4得x1=x2=2.

故设an=（α+βn）2n-1，其中，

所以α=3，β=0，

所以an=32n-1.

例10已知数列{an}满足a1=3,a2=6,an+2=2an+1+3an，求通项an.

【解】由特征方程x2=2x+3得x1=3,x2=-1,

所以an=α3n+β（-1）n，其中，

解得α=，β，

所以3]。

5．构造等差或等比数列。

例11正数列a0,a1,…,an,…满足=2an-1（n≥2）且a0=a1=1，求通项。

【解】由得=1，

即

令bn=+1，则{bn}是首项为+1=2，公比为2的等比数列，

所以bn=+1=2n，所以=（2n-1）2，

所以an=…a0=

注：

C1C2…例12已知数列{xn}满足x1=2,xn+1=,n∈N+,求通项。

【解】考虑函数f（x）=的不动点，由=x得x=

因为x1=2,xn+1=,可知{xn}的每项均为正数。

又+2≥，所以xn+1≥（n≥1）。

又

Xn+1-==,①

Xn+1+==,②

由①÷②得。

③

又0，

由③可知对任意n∈N+，0且,

所以是首项为，公比为2的等比数列。

所以，所以，

解得。

注：

本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。

三、基础训练题

1．数列{xn}满足x1=2,xn+1=Sn+（n+1），其中Sn为{xn}前n项和，当n≥2时，xn=_________.

2.数列{xn}满足x1=，xn+1=,则{xn}的通项xn=_________数列{xn}满足x1=1，xn=+2n-1（n≥2），则{xn}的通项xn=_________等差数列{an}满足3a8=5a13，且a10,Sn为前n项之和，则当Sn最大时，n=_________等比数列{an}前n项之和记为Sn,若S10=10，S30=70，则S40=_________数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1（n≥2），x1=a,x2=b,Sn=x1+x2+…+xn，则S100=_________数列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1则|a1|+|a2|+…+|a10|=_________若，并且x1+x2+…+xn=8，则x1=_________等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则=_________.

10.若n!

=n（n-1）…21,则=_________．若{an}是无穷等比数列，an为正整数，且满足a5+a6=48,log2a2log2a3+log2a2log2a5+log2a2log2a6+log2a5log2a6=36，求的通项。

12．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，数列{}是公比为q的等比数列，且b1=1,b2=5,b3=17,求：

（1）q的值；

（2）数列{bn}的前n项和Sn。

四、高考水平训练题

1．已知函数f（x）=，若数列{an}满足a1=，an+1=f（an）（n∈N+），则a2006=_____________.

2．已知数列{an}满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1（n≥2），则{an}的通项a若an=n2+,且{an}是递增数列，则实数的取值范围是__________设正项等比数列{an}的首项a1=,前n项和为Sn,且210S30-（210+1）S20+S10=0，则an=_____________已知，则a的取值范围是______________.

6．数列{an}满足an+1=3an+n（n∈N+），存在_________个a1值，使{an}成等差数列；存在________个a1值，使{an}成等比数列。

7．已知（n∈N+），则在数列{an}的前50项中，最大项与最小项分别是____________.

8．有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为____________设{an}是由正数组成的数列，对于所有自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，则an=____________.

10.在公比大于1的等比数列中，最多连续有__________项是在100与1000之间的整数．已知数列{an}中，an0，求证：

数列{an}成等差数列的充要条件是

（n≥2）①恒成立。

12．已知数列{an}和{bn}中有an=an-1bn,bn=（n≥2）,当a1=p,b1=q（p0,q0）且p+q=1时，

（1）求证：

an0,bn0且an+bn=1（n∈N）；

（2）求证：

an+1=；（3）求数列．是否存在常数a,b,c，使题设等式

122+232+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）

对于一切自然数n都成立？

证明你的结论。

五、联赛一试水平训练题

1．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项和为972，这样的数列共有_________个。

2．设数列{xn}满足x1=1,xn=，则通项xn=__________设数列{an}满足a1=3,an0，且，则通项an=__________已知数列a0,a1,a2,…,an,…满足关系式（3-an+1）（6+an）=18，且a0=3，则=__________等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比为=__________各项均为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有__________项数列{an}满足a1=2,a2=6,且=2，则

________数列{an}称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0,{an+1-qan}构成公比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。

那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有__________项.

9．设h∈N+，数列{an}定义为：

a0=1,an+1=。

问：

对于怎样的h，存在大于0的整数n，使得an=1？

10．设{ak}k≥1为一非负整数列，且对任意k≥1，满足ak≥a2k+a2k+1，

（1）求证：

对任意正整数n，数列中存在n个连续项为0；

（2）求出一个满足以上条件，且其存在无限个非零项的数列。

11．求证：

存在唯一的正整数数列a1,a2,…,使得

a1=1,a21,an+1（an+1-1）=

六、联赛二试水平训练题

1．设an为下述自然数N的个数：

N的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：

a2n是完全平方数，这里n=1,2,….

2．设a1,a2,…,an表示整数1，2，…，n的任一排列，f（n）是这些排列中满足如下性质的排列数目：

①a1=1;②|ai-ai+1|≤2,i=1,2,…,n-1。

试问f（2007）能否被3整除？

3．设数列{an}和{bn}满足a0=1,b0=0，且

求证：

an（n=0,1,2,…）是完全平方数。

4．无穷正实数数列{xn}具有以下性质：

x0=1，xi+1xi（i=0,1,2,…）,

（1）求证：

对具有上述性质的任一数列，总能找到一个n≥1，使≥3.999均成立；

（2）寻求这样的一个数列使不等式4对任一n均成立。

5．设x1,x2,…,xn是各项都不大于M的正整数序列且满足xk=|xk-1-xk-2|（k=3,4,…,n）①.试问这样的序列最多有多少项？

6．设a1=a2=，且当…时，a（ⅰ）求数列{an}的通项公式；（ⅱ）求证：

是整数的平方。

7．整数列u0,u1,u2,u3,…满足u0=1，且对每个正整数n,un+1un-1=kuu，这里k是某个固定的正整数。

如果u2000=2000，求k的所有可能的值。

8．求证：

存在无穷有界数列{xn}，使得对任何不同的m,k，有|xm-xk|≥已知n个正整数a0,a1,…，an和实数q，其中0q1，求证：

n个实数b0,b1,…，bn和满足：

（1）akbk（k=1,2,…,n）；

（2）q（k=1,2,…,n）；

（3）b1+b2+…+bn（a0+a1+…+an）