高中数学竞赛标准教材第五章数列.docx

1、高中数学竞赛标准教材第五章数列高中数学竞赛标准教材(第五章数列)第五章 数列一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，n，. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列an的一般形式通常记作a1, a2, a3,，an或a1, a2, a3,，an。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若Sn表示an的前n项和，则S1=a1, 当n1时，an=Sn-Sn-1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则an称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公

2、差为d, 则a=b-d, c=b+d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn= ；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则an+am=ap+a¬q；5）对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则an是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn. 定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有 ，则an称为等比数列，q叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）an=a1qn-1；2）前n项和Sn，当q 1时，Sn= ；当q=1时，Sn=na1；3）如果a, b,

3、 c成等比数列，即b2=ac(b 0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。 定义4 极限，给定数列an和实数A，若对任意的 0，存在M，对任意的nM(nN),都有|an-A| ，则称A为n+时数列an的极限，记作 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列an的公比q满足|q|1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为 （由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数nn0成立。 竞赛

4、常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切nk的自然数n都成立时（kn0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数nn0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为,:(1)若 ，则xn=c1an-1+c2n-1，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若=，则xn=(c1n+c2) n-1，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。 二、方法与例题 1不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是

5、正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊猜想数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，；2）1，5，19，65，；3）-1，0，3，8，15，。 【解】1）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n. 例2 已知数列an满足a1= ,a1+a¬2+an=n2an, n1，求通项an. 【解】 因为a1= ,又a1+a¬2=22a2, 所以a2= ，a3= ,猜想 (n1). 证明；1）当n=1时，a1= ，猜想正确。2）假设当nk时猜想成立。 当n=k+1时，由归纳假设及题设，a1+

6、a1+a1=(k+1)2-1 ak+1,， 所以 =k(k+2)ak+即 =k(k+2)ak+1, 所以 =k(k+2)ak+1,所以ak+由数学归纳法可得猜想成立，所以 例3 设0a1，数列an满足an=1+a, an-1=a+ ，求证：对任意nN+,有an1. 【证明】 证明更强的结论：1an1+a. 1)当n=1时，1a1=1+a，式成立； 2)假设n=k时，式成立，即1an1+a，则当n=k+1时，有 由数学归纳法可得式成立，所以原命题得证。 2迭代法。 数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意nN成立，因此可将其中的n换成n+1或n-1等，这种办法通常称迭代或递推。 例4 数列

7、an满足an+pan-1+qan-2=0, n3，q 0，求证：存在常数c，使得 an+ 【证明】 an+1+ (pan+1+an+2)+ =an+2(-qan)+ = +an(pqn+1+qan)=q( ). 若 =0，则对任意n, + =0，取c=0即可. 若 0，则 + 是首项为 ，公式为q的等比数列。 所以 + = qn. 取 即可. 综上，结论成立。 例5 已知a1=0, an+1=5an+ ，求证：an都是整数，nN+. 【证明】 因为a1=0, a2=1，所以由题设知当n1时an+1an. 又由an+1=5an+ 移项、平方得 当n2时，把式中的n换成n-1得 ，即 因为an-1

8、an+1，所以式和式说明an-1, an+1是方程x2-10anx+ -1=0的两个不等根。由韦达定理得an+1+ an-1=10an(n2). 再由a1=0, a2=1及式可知，当nN+时，an都是整数。 3数列求和法。 数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。 例6 已知an= (n=1, 2, )，求S99=a1+a2+a【解】 因为an+a100-n= + = ， 所以例7 求和： + 【解】 一般地， ， 所以Sn= 例8 已知数列an满足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn为数列 的前n项和，求证：Sn2。 【证明】 由递推公式可知，数列an前几项为1，1，

9、2，3，5，8，13。 因为 ， 所以 。 由-得 ， 所以 。 又因为Sn-2Sn且 0, 所以 Sn, 所以 ， 所以Sn2，得证。 4特征方程法。 例9 已知数列an满足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an. 【解】 由特征方程x2=4x-4得x1=x2=2. 故设an=(+n)2n-1，其中 ， 所以=3，=0， 所以an=32n-1. 例10 已知数列an满足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通项an. 【解】 由特征方程x2=2x+3得x1=3, x2=-1, 所以an=3n+(-1)n，其中 ， 解得= ， ， 所以 3。 5构造等差或

10、等比数列。 例11 正数列a0,a1,an,满足 =2an-1(n2)且a0=a1=1，求通项。 【解】 由 得 =1， 即 令bn= +1，则bn是首项为 +1=2，公比为2的等比数列， 所以bn= +1=2n，所以 =（2n-1）2， 所以an= a0= 注： C1C2例12 已知数列xn满足x1=2, xn+1= ,nN+, 求通项。 【解】 考虑函数f(x)= 的不动点，由 =x得x= 因为x1=2, xn+1= ,可知xn的每项均为正数。 又 +2 ，所以xn+1 (n1)。又 Xn+1- = = , Xn+1+ = = , 由得 。 又 0， 由可知对任意nN+， 0且 , 所以

11、是首项为 ，公比为2的等比数列。 所以 ，所以 ， 解得 。 注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。 三、基础训练题 1 数列xn满足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn为xn前n项和，当n2时，xn=_. 2. 数列xn满足x1= ，xn+1= ,则xn的通项xn=_数列xn满足x1=1，xn= +2n-1(n2)，则xn的通项xn=_等差数列an满足3a8=5a13，且a10, Sn为前n项之和，则当Sn最大时，n=_等比数列an前n项之和记为Sn,若S10=10，S30=70，则S40=_数列xn满足xn+1=xn-xn-1(n2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x

12、2+ xn，则S100=_数列an中，Sn=a1+a2+an=n2-4n+1则|a1|+|a2|+|a10|=_若 ，并且x1+x2+ xn=8，则x1=_等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，若 ，则 =_. 10. 若n!=n(n-1)21, 则 =_若an是无穷等比数列，an为正整数，且满足a5+a6=48, log2a2log2a3+ log2a2log2a5+ log2a2log2a6+ log2a5log2a6=36，求 的通项。 12已知数列an是公差不为零的等差数列，数列 是公比为q的等比数列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）数列bn的前

13、n项和Sn。 四、高考水平训练题 1已知函数f(x)= ，若数列an满足a1= ，an+1=f(an)(nN+)，则a2006=_. 2已知数列an满足a1=1, an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1(n2)，则an的通项a若an=n2+ , 且an是递增数列，则实数 的取值范围是_设正项等比数列an的首项a1= , 前n项和为Sn, 且210S30-（210+1）S20+S10=0，则an=_已知 ，则a的取值范围是_. 6数列an满足an+1=3an+n(n N+) ，存在_个a1值，使an成等差数列；存在_个a1值，使an成等比数列。 7已知 (n N+)，则在数列an的前50

14、项中，最大项与最小项分别是_. 8有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为_设an是由正数组成的数列，对于所有自然数n, an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，则an=_. 10. 在公比大于1的等比数列中，最多连续有_项是在100与1000之间的整数已知数列an中，an 0，求证：数列an成等差数列的充要条件是 （n2）恒成立。 12已知数列an和bn中有an=an-1bn, bn= (n2), 当a1=p, b1=q(p0, q0)且p+q=1时，（1）求证：an0, bn0且an+bn=1（

15、nN）；（2）求证：an+1= ；（3）求数列是否存在常数a, b, c，使题设等式 122+232+n(n+1)2= (an2+bn+c) 对于一切自然数n都成立？证明你的结论。 五、联赛一试水平训练题 1设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项和为972，这样的数列共有_个。 2设数列xn满足x1=1, xn= ，则通项xn=_设数列an满足a1=3, an0，且 ，则通项an=_已知数列a0, a1, a2, , an, 满足关系式(3-an+1)(6+an)=18，且a0=3，则 =_等比数列a+log23, a+log43, a+log83的公比为=_各项均为实数的等

16、差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有_项数列an满足a1=2, a2=6, 且 =2，则 _数列an 称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0, an+1-qan构成公比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有_项. 9设hN+，数列an定义为：a0=1, an+1= 。问：对于怎样的h，存在大于0的整数n，使得an=1？ 10设akk1为一非负整数列，且对任意k1，满足aka2k+a2k+1，（1）求证：对任意正整数n，数列中存在n个连续项为0；（2）求出一个满足以上条件，且其存在无限

17、个非零项的数列。 11求证：存在唯一的正整数数列a1,a2,使得 a1=1, a21, an+1(an+1-1)= 六、联赛二试水平训练题 1设an为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：a2n是完全平方数，这里n=1, 2,. 2设a1, a2, an表示整数1，2，n的任一排列，f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目：a1=1; |ai-ai+1|2, i=1,2,n-1。 试问f(2007)能否被3整除？ 3设数列an和bn满足a0=1,b0=0，且 求证：an (n=0,1,2,)是完全平方数。 4无穷正实数数列xn具有以下性质：x0=1，xi+

18、1xi (i=0,1,2,), （1）求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个n1，使 3.999均成立； （2）寻求这样的一个数列使不等式 4对任一n均成立。 5设x1,x2,xn是各项都不大于M的正整数序列且满足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,n).试问这样的序列最多有多少项？ 6设a1=a2= ，且当时，a()求数列an的通项公式；()求证： 是整数的平方。 7整数列u0,u1,u2,u3,满足u0=1，且对每个正整数n, un+1un-1=kuu，这里k是某个固定的正整数。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。 8求证：存在无穷有界数列xn，使得对任何不同的m, k，有|xm-xk|已知n个正整数a0,a1,，an和实数q，其中0q1，求证：n个实数b0,b1,，bn和满足：（1）akbk(k=1,2,n)； （2）q (k=1,2,n)； （3）b1+b2+bn (a0+a1+an)