普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数学含答案.docx

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普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数学含答案

绝密★启用前

2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学

本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

考生注意：

1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定

的位置上。

2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的

作答一律无效。

参考公式：

若事件A，B互斥，则P（AB）P（A）P（B）

柱体的体积公式V

Sh

若事件A，B相互独立，则P（AB）

P（A）P（B）

其中S表示柱体的底面积，

h表示柱体的高

若事件A在一次试验中发生的概率是

p，则n次

锥体的体积公式V

1

Sh

独立重复试验中事件

A

恰好发生

k次的概率

3

其中S表示锥体的底面积，

h表示锥体的高

P（k）

Ckpk（1

p）nk

（k

0,1,2,,n）

球的表面积公式

n

n

台体的体积公式

1

S1S2

S2）h

S

4R

2

V

（S1

3

球的体积公式

其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积，h表示

4

V

R3

台体的高

3

其中R表示球的半径

选择题部分（共40分）

一、选择题：

本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1．已知全集U1,0,1,2,3，集合A0,1,2，B1,0,1，则（eUA）B=

A．1B．0,1

C．1,2,3D．1,0,1,3

2．渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是

第1页共12页

2

A．

2

B．1

C．

2

D．2

x

3y

4

0

3．若实数x，y满足约束条件3x

y

4

0，则z=3x+2y的最大值是

x

y

0

A．

1

B．1

C．10

D．12

4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理

可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：

cm），则该柱体的体积（单位：

cm3）是

A．158B．162

C．182D．324

5．若a>0，b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

6．在同一直角坐标系中，函数y=1x，y=loga（x+1）（a>0，且a≠1）的图象可能是

a2

7．设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是

第2页共12页

则当a在（0,1）内增大时，

A．D（X）增大

B．D（X）减小

C．D（X）先增大后减小

D．D（X）先减小后增大

8．设三棱锥V–ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，

P是棱VA上的点（不含端点）．记直线PB与直线

AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P–AC–B的平面角为γ，则

A．β<γ，α<γ

B．β<α，β<γ

C．β<α，γ<α

D．α<β，γ<β

x,x

0

9．已知a,bR，函数

f（x）

1

x3

1

（a1）x2

．若函数yf（x）axb恰有3个零点，

ax,x0

3

2

则

A．a<–1，b<0

B．a<–1，b>0

C．a>–1，b<0

D．a>–1，b>0

2

N，则

10．设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an+b，b

1时，a10

1时，a10

A．当b=2

>10

B．当b=4

>10

C．当b=–2时，a

>10

D．当b=–4时，a>10

10

10

非选择题部分（共110分）

二、填空题：

本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11．复数z1（i为虚数单位），则|z|=___________．

1i

12．已知圆C的圆心坐标是（0,m），半径长是r.若直线2xy30与圆C相切于点A（2,1），则

m=___________，r=___________．

13．在二项式（2x）9的展开式中，常数项是___________，系数为有理数的项的个数是___________．

14．在△ABC中，ABC90，AB4，BC3，点D在线段AC上，若BDC45，则BD____，

cosABD___________．

第3页共12页

x2

y2

1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为

15．已知椭圆

5

9

圆心，OF为半径的圆上，则直线

PF的斜率是___________．

16．已知aR，函数f（x）ax3

x，若存在t

R，使得|f（t2）

f（t）|2

，则实数a的最大值是____.

3

17．已知正方形

ABC的D边长为

1，当每个

i（i1,2,3,4,5,6）取遍

1时，

|1AB

BC

CD

DA

AC5

BD|6

2

3

4

的最小值是___________，最大值是___________．

三、解答题：

本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本小题满分

14分）设函数

f（x）sinx,xR.

（1）已知

[0,2

）,函数f（x

）是偶函数，求

的值；

（2）求函数y

[f（x

）]2

[f（x

）]2的值域．

12

4

19．（本小题满分

15

分）如图，已知三棱柱

ABC

A1B1C1，平面A1ACC1

平面ABC,ABC

90，

BAC30,A1A

AC1

AC,E,F分别是AC，A1B1的中点.

（1）证明：

EF

BC；

（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.

20．（本小题满分

15分）设等差数列

{an}的前n项和为Sn，a3

4，a4

S3，数列{bn}满足：

对每个

nN,Sn

bn,Sn1bn,Sn2

bn成等比数列．

（1）求数列{an},{bn}的通项公式；

第4页共12页

（2）记cnan,nN,证明：

c1c2+cn2n,nN.

2bn

21．（本小题满分15分）如图，已知点F（10），为抛物线y22px（p0）的焦点，过点F的直线交抛物线

于A、B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点

F的右侧．记△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2．

（1）求p的值及抛物线的标准方程；

（2）求S1的最小值及此时点G的坐标．

S2

22．（本小题满分

15分）

已知实数a

0，设函数f（x）=alnx

x1,x0.

（1）当a

3

f（x）的单调区间；

时，求函数

4

（2）对任意

1

均有

x

求a的取值范围．

x[e2,）

f（x）

2a,

注：

e=2.71828⋯为自然对数的底数．

第5页共12页

2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）

数学参考答案

一、选择题：

本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分40分。

1．A2．C3．C4．B5．A

6．D7．D8．B9．C10．A

二、填空题：

本题考查基本知识和基本运算。

多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2

11．12．

2

15．1516．

2,513．

4

17．

3

16

2,5

14．

12

2,72

5

10

0,2

5

三、解答题：

本大题共5小题，共74分。

18．本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。

满分14分。

（1）因为f（x）sin（x）是偶函数，所以，对任意实数x都有sin（x）sin（x），

即sinxcos

cosxsin

sinxcos

cosxsin

，

故2sinxcos

0，

所以cos

0．

又

[0,2π），因此

π

3π．

或

2

2

2

2

（2）y

f

x

π

f

x

π

sin2

x

π

sin2x

π

12

4

12

4

1

cos2x

π

1

cos2x

π

6

2

1

3

3

1

cos2x

sin2x

2

2

2

2

2

1

3cos2x

π．

2

3

因此，函数的值域是

[1

3,1

3]．

2

2

19．本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和

运算求解能力。

满分15分。

方法一：

第6页共12页

（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．

又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，

平面A1ACC1∩平面ABC=AC，

所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC．

又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F．

所以BC⊥平面A1EF．

因此EF⊥BC．

（2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．

由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．

由

（1）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，

所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．

连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）．

不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=2

3，EG=3.

由于O为A1G的中点，故EOOG

A1G

15，

2

2

所以cosEOG

EO2

OG2

EG2

3．

2EOOG

5

因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是

3．

5

方法二：

（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.

又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，

平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC．

如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz．

第7页共12页

不妨设AC=4，则

A1（0，0，2

3），B（

3，1，0

），B1（3,3,2

3），F（

3,3

23），C（0，2，0）．

2

2

因此，EF

（3,3,2

3），BC

（3,1,0）．

2

2

由EFBC

0得

EF

BC．

（2）设直线EF与平面A1BC所成角为θ．

由

（1）可得BC=（3，1，0），A1C=（0，2，23）．

设平面A1BC的法向量为n（x，y，z），

BC

n

0

3xy

0

由

，得

，

A1C

n

0

y3z

0

取n

（1，3

，1）

，故

，

|EFn|

4

，

sin

|cosEFn|=

5

|EF||n|

因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为

3．

5

20．本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综

合应用能力。

满分15分。

（1）设数列{an}的公差为d，由题意得

a12d

4,a1

3d

3a13d，

解得a1

0,d

2．

从而an

2n

2,n

N*

．

所以Sn

n2

n，n

N*，

第8页共12页

由Sn

bn,Sn1

bn,Sn

2bn成等比数列得

Sn1

2

Sn

bn

Sn2bn．

bn

解得bn

1Sn2

1

SnSn2．

d

所以bn

n2

n,n

N*

．

an

2n

2

n

1

N

*

．

（2）cn

2n（n

1）

n（n

n

2bn

1）

我们用数学归纳法证明．

（i）当n=1时，c1=0<2，不等式成立；

（ii）假设n

k

kN*

时不等式成立，即

c1c2

ck

2k．

那么，当n

k

1时，

c1c2

ck

ck1

k

2

k

1

2k

1

（k1）（k

2）

k

2k

2

2k2（k1

k）2

k1．

1

k

k

即当nk1时不等式也成立．

根据（i）和（ii），不等式c1c2cn2n对任意nN*成立．

21．本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综

合应用能力。

满分15分。

（1）由题意得p1，即p=2.

2

所以，抛物线的准线方程为x=-1.

（2）设Ax

y

A

Bx

y

B

Cx

y

c

，重心Gx,y

.令yA2t,t

0，则xAt2

.

A

B

c

GG

由于直线AB过F，故直线AB方程为x

t2

1y

1，代入y2

4x，得

2t

y2

2t2

1

y

4

0，

t

故2tyB

4，即yB

2

，所以B

12,

2

.

t

t

t

第9页共12页

又由于xG

1xA

xB

xc,yG

1yAyB

yc

及重心G在x轴上，故2t

2

yc

0，得

3

3

t

2

4

2t2

2,0

C

1t,21t,G2t

.

t

t

3t2

所以，直线AC方程为y

2t

2t

x

t2

，得Q

t21,0.

由于Q在焦点F的右侧，故t2

2.从而

1|FG|yA

2t4

2t2

2

1|2t|

S1

3t

2

2t

4

t

2

t

2

2

2

1|QG|yc

12t4

2t2

2||22t|

t4

2

4

.

S2

|t2

1

t

1

2

3t2

t

令m

t2

2，则m>0，

S1

2

m

2

1

⋯2

1

1

3

S2

m2

4m

3

3

3

.

m

4

4

2

m

2m

m

当m

3时，S1

3

取得最小值1

S2

2

，此时G（2，0）．

22．本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力。

满分15

分。

（1）当a

3时，f（x）

3lnx1x,x0．

4

4

f'（x）

3

1

（1x2）（21x1），

4x

21x

4x

1x

所以，函数

f

（x）的单