集合与映射 论文.docx
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集合与映射论文
毕业设计（论文）
题目：
中学数学中集合与映射的教学探索
（英文）：
TheTeachingExplorationofSetand
MappinginHighSchoolMathematics
院别：
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专业：
姓名：
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学号：
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指导教师：
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日期：
_______________________
中学数学中集合与映射的教学探索
摘要
集合是高中数学中最基本的概念之一，高中数学中许多内容都和集合的知识有着密切的联系,学生掌握好集合的知识不仅可以实现学习的目的,还可以全面提高自己的数学修养。
但由于集合是学生从初中升上高中的第一个知识点，具有其特殊性,而学生对领会、运用、迁移这个知识点总是存在着各方面的问题,从而也造就了对集合产生大量模糊的认识，这对后面整个高中数学的学习都是十分不利的。
因此教师在教学中要特别注意总结学生们在哪些方面存在问题，针对这些问题作出适当的举措，应用合理的教学策略。
目前高中数学集合在教学中出现的弊端主要有：
集合概念交代得不够清楚、学生对空集有所忽视或对空集理解不够透彻等。
除了集合之外，映射也是高中数学中一个非常重要的概念，它的思想贯穿于整个中学数学教材之中。
学生学习、理解映射，特别是—一映射的概念还有映射与函数的关系对掌握整个高中数学内容有着举足轻重的作用，而且映射的概念的教学对老师来说也是一个教学难点。
关键词：
高中；集合；映射；函数；教学策略
TheteachingexplorationofsetandmappinginHighSchoolMathematics
ABSTRACT
Setwhichiscloselyrelatedtolotsofknowledgeisoneofthebasicconceptsinhighschoolmathematics.Withagoodcommandofknowledgeofset,studentscannotonlyachievetheirlearningaimsbutimprovecultivationofmathematics.Sincesetwithitsspecialtyisthefirstknowledgepointforstudentswhoarefromthejuniormiddleschooltohighschoolandtherearedifferentkindsofproblemsforstudentsunderstandingandapplyingtothisknowledgepoint,itiseasytoresultinfuzzyunderstandingofitsconceptwhichisdisadvantageoustothegoodcommandofhighschoolmathematics.Therefore,teachersshouldpayattentiontotheproblemsandactappropriatelyaccordingtoappropriateteachingstrategies.Sofarthemostcommonproblemsofcollectioninhighschoolmathematicsareasfellow.Unclearconceptsofsetandstudents’ignoranceorfuzzyunderstandingofemptysetetc.Apartfromset，mappingwhichrunsthroughallkindsofteachingmaterialsinhighschoolmathematicsisanotherimportantconceptinhighschoolmathematics.Havingagoodcommandofmappingespeciallyitsconceptanditsrelationwithfunctionplaysanimportantroleinlearninghighschoolmathematicsforstudentsandtheteachingofconceptofmappingisalsoadifficultpointforteachers.
Keywords：
HighSchool;Set;Mapping;Function;Teachingstrategies
目录
引言1
第1章高中集合教学现状的调查研究2
1.1集合概念2
1.2集合元素有三大特性：
确定性、互异性、无序性。
2
1.2.1集合元素的确定性2
1.2.2集合元素的互异性2
1.2.3集合元素的无序性3
1.3集合的表示方法3
1.3.1列举法3
1.3.2描述法3
1.3.3Venn图法3
1.4集合间的基本关系4
1.4.1包含关系4
1.4.1.1子集4
1.4.1.2相等关系4
1.4.1.3真子集关系5
1.4.2空集5
1.5集合的基本运算并集交集补集6
1.5.1并集6
1.5.2交集：
7
1.5.3补集9
1.6集合知识的体系构建10
1.7集合在高中的应用11
第2章高中映射教学现状的调查研究13
2.1映射导入方式13
2.1.1直接导入13
2.1.2经验情境导入13
2.2详述映射概念14
2.3映射类型多对一一对一15
2.3.1单射15
2.3.2满射16
2.3.3双射（一一映射）16
2.4映射与函数17
2.4.1函数与映射的联系17
2.4.2函数的三要素18
2.4.3函数的表示方法18
2.4.4求函数解析式的常用方法18
2.4.4.1待定系数法18
2.4.4.2换元法19
2.4.4.3配凑法19
2.4.4.4消元法19
2.4.4.5特殊值法19
2.5映射的应用20
第3章总结22
参考文献23
引言
集合与映射都是高一数学中重要的知识点，学好这两方面及其相关内容对整个高中数学的学习都是十分有益的，因此本论文就这两方面的内容及其教学方法进行研究，为新教师或在这方面有兴趣的教师提供有用的线索，下面就通过以下几个方面来引出论文：
首先先介绍集合内容与教学建议：
先引出集合的概念以及通过对集合元素的三大特性的深入剖析来讲解这一概念，使之更有利于学生的理解，讲完集合概念后教师可以点出集合三种主要的表示方法——列举法、描述法、韦恩图法来对集合作进一步的理解。
学生领会了有关集合的基础知识之后，教师开始深入教授集合内容：
集合间的基本关系与集合间的基本运算，这是集合教学的核心内容，也是学生掌握好集合内容的关键。
通过以上的教学，让学生充分认识集合，从而为以后数学的学习打下夯实的基础；而另一内容——映射，它是个非常抽象的数学概念，这一抽象概念的学习，本论文就映射的导入列举出多种方式，尽量使映射概念化抽象为具象，让学生增强对映射的理解，再经过一定的练习，巩固其对映射的应用，降低学生对映射的排斥，当学生对映射有初步认识后，教师可开始教授映射的基本类型——单射、满射、双射（一一映射），在这里特别要强调一一映射，—一映射在数学中有着特殊重要的意义，对很多数学问题的解决有着至关重要的作用，而函数作为特殊的映射，在高中一直处于中流砥柱的作用，所以本论文将详细介绍映射与函数之间的关系以及函数相关的知识。
最后，在这里也希望各位老教师能对我这个晚辈提出改进的建议，我将不胜感谢！
第1章高中集合教学现状的调查研究
1.1集合概念
定义1.1[1]把一些能够确定的不同对象看作一个整体，我们就说这个整体是由这些对象构成的集合（set）（简称为集），而构成集合的元素（element）除了常见的点、数字、式子等等数学对象外，还可以是其他的任意对象。
我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
一般高中教师都会直接的导入集合概念，但是这种直接描述性的的导入，于学生可能很难理解透彻，从而造成对概念的理解模棱两可的状况，这对于后面深入学习集合的有关内容是十分不利的。
针对这一弊端，有些教师提出通过让学生理解集合元素的三大特性来对集合概念进行深入的理解，这样教学可以丰富学生对集合概念的表象，避免对集合概念的单一了解。
1.2集合元素有三大特性：
确定性、互异性、无序性
1.2.1集合元素的确定性
任意一个元素，它只有两种情况之中的一种，一种是它属于某个指定的集合，否则它不属于该集合，换句话说，就是集合中的元素必须是确定的，不能模糊不清。
例超市里比较贵的物品（每个人对贵的定义不一样，所以不能具体确认物品）；高一（8）班中漂亮的女生的个数等等，这些例子都没有确定性，因此也够不成集合。
像“高一（8）班的全体学生的个数”，“10以内的质数”等中的元素都是确定的，可以组成集合。
例已知-2∈A={x,x²},求x
解由于-2是A中的元素，所以x=-2或者,x²=-2,但x²≥0
所以x=-2
1.2.2集合元素的互异性
同一个集合中的元素是互不相同的。
即若a∈A，b∈A，则a≠b，像{1,3,4,1}这样含有重复元素就不能构成集合（1有重复出现）。
例已知1∈B={x,x²},求x
解因为1∈B={x,x²}
所以x=1或x²=1,解得X=-1或1
由于x=1与集合元素的互异性矛盾，所以x=-1
1.2.3集合元素的无序性
随意地改变集合中元素的排列顺序，但它们仍旧是原来的那个集合。
举例说，把高一（8）班的全体学生看做一个集合，无论班上的学生以任意时间进入教室，都是属于高一（8）班的学生，也就是属于这个集合。
这就是说集合中的元素是不分次序的，但集合中表示点的坐标是特别的，因为在平面直角坐标系中，点（l，0）和点（0，l）表示不同的两个点，像{1,2,3,4}，{2,1,3,4}，{3,1,2,4}都是指同一集合。
根据三大特性全新给集合下定义：
把一些能够确定的不同对象看作一个整体，我们就说这个整体是由这些无序的对象构成的集合（set）（简称为集），而构成集合的元素（element）就是这些对象。
当把集合元素的三大特性：
确定性、互异性和无序性三者结合起来，对学生来说学习起来会觉得比较复杂，这时教师可以翻阅资料有选择地挑选一些经典的练习题，让学生多练习，使之及时掌握这方面的知识，这也对深入学习集合概念有很大的帮助。
1.3集合的表示方法
集合的表示有三种方法，分别为列举法、描述法和韦恩（Venn）图法。
1.3.1列举法
定义1.3.1[3]把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法叫做列举法。
例20以内的质数可以这样表示{2,3,5,7，11,13,17,19}
1.3.2描述法
定义1.3.2[3]把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内来表示集合的方法叫做描述法。
例方程x+3=4的解集可表示为{x|x+3=4}
1.3.3Venn图法
画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合。
例集合{1,2,3,4}用Venn图如图（1.3.3）表示
1,2,3,4
图1.3.3
教师教学时可通过集合的三大特性和集合的表示方法让学生真正理解集合的概念，知道什么是集合，条件允许教师可以对学生进行课堂提问，在学生的回答的基础上引导其进行深入探讨，从而锻炼其逻辑思维能力。
1.4集合间的基本关系
学生在已了解集合的含义、元素与集合之间的属于关系的基础上去学习集合间的基本关系，要求学生能用自然语言、图形语言（韦恩图、数轴表示法）领会集合与集合之间包含和相等的含义，充分认识空集的定义。
1.4.1包含关系
1.4.1.1子集
定义1.4.1.1[7]对于两个集合A与B，若集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，我们就说A是B的子集。
记作：
A⊆B或B⊇A
这一概念比较简单理解，教师如果直接用抽象概念去带领学生去理解，大部分的学生可以理解，但为了深入透彻理解这一概念，教师最好引入韦恩图（venn）图（1.4.1.1）,用直观的图像去理解抽象的概念
会更直接更好理解。
这里要特别提到的是，任何一个集合都是它本身的子集。
即A⊆A，B⊆B
例A＝{0,1,2}，B{0,1,2,3}，则A、B的关系是________．图1.4.1.1
解A⊆B或B⊇A
1.4.1.2相等关系
定义1.4.1.2[8]如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，反过来说，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素，那么就说集合A等于集合B，记作A=B。
例已知集合M={a,a+d,a+2d},N={a,aq,aq2},其中a≠0，若M=N，求q的值。
解因为M=N,
所以对应元素相等，有两种情形：
由
（1）
（2）可解得q=1,则a=aq=aq2与集合中元素的互异性矛盾，舍去。
由（3）（4）解得q=-1/2,q=1（舍去）
所以q=-1/2
解析：
学生在做题过程中要注意集合元素的互异性，得到两个方程组，求出来的q值要检验，排除与集合元素的互异性或题设条件相矛盾的情况。
1.4.1.3真子集关系
定义1.4.1.3[8]若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作：
A
B读作：
B真包含于A.可以用图（1.4.1.3）表示。
显然，我们可以得到以下结论：
对于集合A,B,C,如果
对于集合A,B,C,如果A
B，B
C，则A
C图1.4.1.3
例A＝{0,1,2}，B{0,1,2,3}，则A、B的关系是________．
解A⊆B或B⊇A
在这里要特别要特别提醒学生注意子集和真子集的区别是：
子集可以本身包含本身，而真子集是两个不同集合之间的关系。
1.4.2空集
没有任何元素的集合叫空集，记作∅或者{}表示。
空集教学中常出现的问题：
空集不是无，它是内部没有元素的集合，这通常是初学者的一个难点。
为了让学生更好理解，此时可将空集想象成一个空纸箱或许会有帮助。
纸箱图（1.4.3（a））是空的，但纸箱本身确实是存在的。
此时注意如果在空纸箱内放一个纸箱图（1.4.3（b）），那么此时的集合就不是空集了，它是一个含有空集元素的集合，记作{∅}。
下面用有关图片加深理解。
图1.4.3（a）图1.4.3（b）
例方程x²＋2x＋3＝0的实数解的集合为________．
解
这里要特别提到的是，空集是任何一个集合的子集。
记作：
A：
∅⊆A,是任何非空集合的真子集。
这里可以应用反证法理解：
按照子集的定义，集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，我们就说A是B的子集。
这条性质是说{}的每个元素x都属于A。
若这条性质不为真，那{}中至少有一个元素不在A中。
由于{}中没有元素，也就没有{}的元素不属于A了，得到{}的每个元素都属于A，即{}是A的子集。
1.5集合的基本运算并集交集补集
教师在教授集合的基本运算时，注意多应用韦恩图和数轴表示法辅助教学，通过直观形象的图形让学生理解及应用两个集合的并、交、补集运算。
1.5.1并集
.定义1.5.1[10]一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素
组成的集合，称为集合A与B的并（Union）。
符号语言：
记作：
AUB读作：
“A并B”
下面提出两种类型理解集合的并。
第一种就是前面提到的韦恩图，如图（1.5.1）所示，图1.5.1
图中阴影部分代表AUB，这种方法也适用于后面集合间其它的运算。
从韦恩图我们可以轻易知道两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与集合B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。
例集合A{1,2,3,}集合B{2,3,4}，集合A与集合B的并为________
解析：
根据韦恩图，我们可以看到A∪B={1，2，3，4}
同样通过Venn图也可以得到并集的性质：
（1）A
A∪B，B
A∪B，A∪A=A，A∪
=A,A∪B=B∪A
（2）若A∪B=B，则A
B，反之也成立
第二种用数轴上区间图（数轴表示法）来表示集合之间的并，下面用一个例子说明在数轴上表示集合的并。
这种方法也适用于后面集合间其它的运算。
例集合A{x|-1≤x≤2}，集合B{x|1≤x≤3}，则集合A与集合B的并为
________
解析：
根据数轴上区间的阴影部分我们可以清楚地看到A∪B={x|-1≤x≤3}，用这种方法来表示集合间的运算特别是有关不等式组解集的运算十分有效且通俗易懂，教师在教学时可以多应用数轴表示法进行教学。
教师教学生理解并掌握集合间的基本运算时，注意培养学生自主探究的能力，而通过数轴表示法，韦恩图（Venn）等解题工具的使用，就可使学生充分体会数形结合思想的直观性，从而提高学生的自主探究，逻辑思维能力。
在下面有关交集、补集的教学中，教师也可模仿前面韦恩图和数轴表示的教学方法进行教学。
1.5.2交集：
定义1.5.2[10]由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，成为集合A与B的交集（intersection），即集合A和集合B中共同有的元素。
符号语言：
记作：
读作：
“A交B”，公式如（1.5.2）
（1.5.2）
韦恩图如图（1.5.2）所示：
同样通过Venn图也可以得到交集的性质
A∩A=A;图1.5.2
A∩B=B∩A;
A∩∅=∅
数轴表示法：
例集合A{
}，集合B{
}，则集合A与集合B的交为
________
解析：
图中阴影部分为集合A和集合B的交集，所以A∩B={
}
为增加学生对数轴表示法解不等式组的理解性及操作性，教师可适当写出例题，然后对解题步骤进行详细地讲解，对可能出现问题的地方，例如不等号的取向、在数轴上画实心、空心等问题加以提醒，主要目的是让学生能够懂得解不等式组的大体框架，以及锻炼他们的耐心、细心等品质。
下面举例说明：
第一步，解出不等式的解集：
第二步，在数轴上表示每个不等式的解集：
第三步，不等式的交集就为不等式的解集，即数轴上的阴影部分，不等式组的解集为
数轴表示法多应用于不等式组的解集，教学时在这里应提到几个注意的地方：
（
）先把每一个不等式的解集画到数轴上，此时要特别注意不等号的取向，当“
或
”时在端点处画实心的点“•”，当“<或>”时画空心的小圆圈“о”。
（
）确定各个解集的公共部分
（
）解集在数轴上有时可能不止一个区域，遇到这种情况时要注意提醒学生把所有的区域都考虑进去，并用“或”连接。
例如"x<5或x>8"。
（
）若每个不等式的解集都无交集，则判定该不等式组无解。
教学时教师应提供多种类型的不等式组作为课后作业作为练习机会，让学生熟练掌握。
下面给出几种基本类型：
（1）
（2）
1.5.3补集
定义1.5.3[10]对于一个集合Ａ，由全集Ｕ中所有属于集合U但不属于集合Ａ的所A的元素组成的集合称为集合Ａ在全集Ｕ中的补集（complement），记作
。
符号语言：
韦恩图如图（1.5.3）所示：
同样通过Venn图也可以得到补集的性质
∅图1.5.3
数轴表示法如下：
若A={x|-1＜x＜1}，则
=___________
因为A={x|-1＜x＜1}，在数轴上表示出来，如图
根据A在数轴上的表示，画出
，如下图所示
所以
=
在教学过程中，教师可以总结有关集合常用的性质：
总结有关集合问题的解题方法：
方法一：
数轴和Venn图是进行并、交、补运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决。
教学时，举出例题让学生思考，下面举出部分例题，以便参考。
设集合A={x|1＜x＜5}，集合B=
_______
设全集U是实数集R，M={x||x-1|＞x-1},N={x|y=
},则图中阴影部分表示的集合是___________
方法二：
弄清元素特征，避免因不理解元素特征而导致错解
研究集合问题，一定要理解集合的意义——抓住集合的代表元素。
要看代表元素是数还是数对，代表元素是数时，是函数关系中自变量的取值，还是因变量的取值，可与方程、不等式的解集、函数的定义域、值域联系；代表元素是数对时，可与点的坐标、平面中的点集（曲线）联系。
如：
{x|y=lgx}------函数的定义域；{y|y=lgx}-----函数的值域；{（x,y）|y=lgx}-----函数图象上的点集。
已知集合A={1，2,3,4,5}，B={（x,y）|x∈A，y∈A,x-y∈A},则B中所含元素个数为________
1.6集合知识的体系构建
对集合知识进行大体地讲解之后，教师给出集合知识的体系构建，在课堂上采取规矩问答或者随机问答的方式进行提问或者采用课堂随机小检测对知识点进行检测，从而达到巩固知识的目的。
1.7集合在高中的应用
下面粗略地对与“集合”有联系的学习内容做一个简单地说明：
必修１：
函数定义域、值域、单调区间、图形、应用中描述等；
由于本次论文主要研究的是有关高一数学集合相关教学内容，所以下面就高一数学常见的题型配合实例来给教师作一些教学归纳总结。
函数的定义域：
例y=
的定义域是{x|x
0}
函数的值域：
例
解
因为
所以
即函数的值域为{
}
函数的单调区间
函数
的递增区间是{
和
+∞}
求函数的定义域、值域、单调区间都是学生学习高一数学必须掌握的内容，教师在教学时最好多放一点时间精力去阐述这方面的知识，务必让大部分学生吃透这些内容，必要时布置相关的作业提供给学生练习，让学生在练习时摸索经验，从而达到熟能生巧。
必修２：
空间中某些几何体的集合关系：
例如点Ａ∈直线ｌ；直线ｌ包含于平面α等等；
必修３：
数据分类；直方图、扇面图、概率；
第2章高中映射教学现状的调查研究
映射与集合有着密切的关系，事实上，映射是两个集合中的一种特殊的对应关系，即如果按照某种对应法则，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有惟一的元素与它对应，那么这样的对应（包括对应法则）叫做集合A到集合B的映射。
2.1映射导入方式
我们知道数学概念的教学是一切教学的开端，也是学生能够学好数学的重要前提与保障，所以让学生能够深刻理解与熟练地应用数学概念，是教学的重点。
教师运用合理恰当的教学方法可以使学生头脑中形成科学正确的数学概念，从而使学生在以后的学习中形成完整的、明了的、系统的数学知识概念体系，反之如果教师没有根据教学内容
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