数列求和的基本方法归纳_精品文档.doc
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数列求和的基本方法归纳
知识点
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、等差数列求和公式:
2、等比数列求和公式:
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和,其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.
三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个.
四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如:
(1)
(2)
(3)(4)
(5)
(6)
练习题
1、已知,求的前n项和.
2求和:
3、求数列前n项的和.
4、求的值
5、求数列的前n项和:
,…
6、求数列的前n项和.
7、在数列{an}中,,又,求数列{bn}的前n项的和.
1、解:
由
由等比数列求和公式得(利用常用公式)
===1-
2、解:
由题可知,{}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{}的通项之积
设……………………….②(设制错位)
①-②得(错位相减)
再利用等比数列的求和公式得:
∴
3、解:
由题可知,{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………………………①
………………………………②
①-②得
∴
4、解:
设………….①
将①式右边反序得
………..②
又因为
①+②得
=89
∴S=44.5
5、解:
设将其每一项拆开再重新组合得
当a=1时,=
当时,=
6、解:
设
则
==
7、解:
∵∴
∴数列{bn}的前n项和
==
等比数列
知识点:
1、定义:
如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列;这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母表示,表达式为:
;
2、如果,,成等比数列,那么叫做与的等比中项,且
;
3、等比数列的通项:
4、等比数列的前项和:
5、等比数列的性质:
⑴若,则
特别的,当时,得注:
⑵等比数列中连续项的和构成等比数列,……
⑶等比数列中①三个数,,
②四个数,,,
练习题
1.已知等比数列中,且,则()
A.B.C.D.
2.已知等比数列的公比为正数,且·=2=1,则=()
A.B.C.D.2
3.在等比数列中,则()
A.B.C.D.
4.设等比数列{}的前n项和为,若=3,则=()
(A)2(B)(C)(D)3
5.已知等比数列的首项为8,Sn是其前n项的和,某同学计算得到S2=20,S3=36,S4=65,后来该同学发现了其中一个数算错了,则该数为()
A.S1B.S2C.S3D.S4
6.若是等比数列,前n项和,则()
A.B.C.D.
7.已知数列1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则_______.
8.已知等差数列{an},公差d0,成等比数列,则=
9.等比数列{}的公比,已知=1,,则{}的前4项和=
10.在等比数列中,为数列的前项和,则.
11.已知等比数列记其前n项和为
(1)求数列的通项公式;
(2)若
12.已知等比数列的公比,是和的一个等比中项,和的等差中项为,若数列满足().
(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)求数列的前项和.
答案
1.D2.B3.A4.B5.C6.D
7.8.9.10.2011
三、解答题
11.解析:
(1)设等比数列的公比为q,则
解得 …………4分
所以 …………5分
(2) …………8分
由
12.解:
(Ⅰ)因为是和的一个等比中项,
所以.由题意可得因为,所以.解得
所以.故数列的通项公式.
(Ⅱ)由于(),所以.
.①
.②
①-②得.
所以
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