高三第一次联考数学文.docx
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高三第一次联考数学文
2019-2020年高三第一次联考（数学文）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
如果事件
、
互斥，那么球的表面积公式
如果事件
、
相互独立，那么其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件
在一次试验中发生的概率
是
，那么
次独立重复试验中事件
其中
表示球的半径
恰好发生
次的概率
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题：
本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知
，且
，则集合M的个数是
（A）1（B）2（C）3（D）4
2.不等式
的解集为
（A）
（B）
（C）
（D）
3.函数
的反函数是
（A）
（B）
（C）
（D）
4.已知函数
，则函数
的大致图象是
O
5.已知
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
6.已知平面上三点A、B、C满足
则
的值等于
（A）25（B）24（C）－25（D）－24
7.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为R的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，且该正三棱锥的体积是
，则球的体积为
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
8.已知等差数列
的前
项和为
，且
，
，则过点
和
的直线的一个方向向量坐标可以是
（Ａ）（2，4） （Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
9.设函数
的导函数
则数列
的前n项的和为
（A）
（B）
（C）
（D）
10.若
时，不等式
恒成立，则实数m的取值范围是
（A）（－2，1）（B）（－4，3） （C）（－1，2） （D）（－3，4）
11.曲线
与直线
有两个公共点时，实数k的取值范围是
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
12.已知椭圆
，椭圆左焦点为
，
为坐标原点，
是椭圆上一点，点
在线段
上，且
，
，则点
的横坐标为
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13、已知
的项展开式中的第5项的值等于5，则
=.
14.将5名志愿者分配到3个不同的场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案数为.
15.已知实数
满足条件
则
的最大值为.
16.若对于函数
的定义域内的任一个
的值，均有
对于下列五个函数：
①
；②
；③
；
④
.其中符合已知条件的函数序号为.
三、解答题：
本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
设向量
，向量
（1）若向量
，求
的值；
（2）求
的最大值及此时
的值。
18.（本小题满分12分）
已知10件产品中有2件是次品.
（1）任意取出4件产品作检查，求其中恰有1件是次品的概率；
（2）为了保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，应至少抽取几件产品作检查？
19.（本小题满分12分）
M
如图甲，直角梯形ABCD中，AB∥CD，
，点M、N分别在AB、CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC＝2，MB＝4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直（如图乙）。
（1）求证：
AB∥平面DNC；
（2）当DN的长为何值时，二面角D－BC－N的大小为
？
20.（本小题满分12分）
已知数列
的各项均不为零，其中
，且对于任意
，均有
，
设
.
（1）求数列
的通项公式；
（2）记数列
的前n项和为
，求证：
21.（本小题满分12分）
设点M、N分别是不等边△ABC的重心与外心，已知
、
，且
.
（1）求动点C的轨迹E；
（2）若直线
与曲线E交于不同的两点P、Q，且满足
，求实数
的取值。
22.（本小题满分12分）
已知函数
.
（1）求函数
的单调区间；
（2）曲线
在点
和
处的切线都与
轴垂直，若曲线
在区间[m，n]上与
轴相交，求实数
的取值范围。
遵义市2011届高三年级遵义四中组团七校联考数学（理、文科）
参考答案及评分标准（第一次联考）
一、选择题（每题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
理科
D
B
D
C
C
D
B
D
A
C
B
D
文科
D
A
D
C
D
C
B
B
A
C
B
D
二、填空题（每题5分，共20分）
13.（理科）
（文科）314.15015.（理科）25（文科）2116.②、③
三、填空题（6个小题，共70分）
17、（第
（1）小题5分，第
（2）小题5分）
解：
（1）∵
，
，
∴
…………2分
若
，则
与上式矛盾，故
，两边同除以
化简，
得
.…………4分
（2）∵
，…………7分
又∵
，
∴
.…………8分
∴当
，即
时，
…………10分
18、（第
（1）小题8分，第
（2）小题4分）
解：
（理科）
（1）
可取1、3、5，…………1分
时，第一次摸到1号球，
…………2分
时，第一次摸到2号球，第二次摸到1号球，
…………4分
时，第一次摸到2号球，第二次摸到3号球，
…………6分
∴
的概率分布为：
1
3
5
P
…………8分
（2）由
（1）得
，…………10分
，
∴
…………12分
（文科）
（1）记恰有1件是次品为事件A，…………1分
∴
，…………4分
（2）记抽取n件产品检查为事件B，…………5分
，…………8分
∴
化简，得
，由此得
…………11分
答：
至少抽取8件产品才能满足题意。
…………12分
19、（第
（1）小题5分，第
（2）小题7分）
解：
（1）∵MB∥NC，MB
平面DNC，NC
平面DNC，
∴MB∥平面DNC.…………2分
同理MA∥平面DNC，
又MA∩MB＝M且MA、MB
平面MAB，
∴平面MAB∥平面NCD，…………4分
又AB
平面MAB，
∴AB∥平面NCD.…………5分
（2）过N作NH⊥BC交BC延长线于H，连结DH，…………6分
∵平面AMND⊥平面MNCB，DN⊥MN
∴DN⊥平面MNCB，从而DH⊥BC，
∴∠DHN为二面角D－BC－N的平面角。
…………8分
由BC＝2，MB＝4，MC⊥CB，知
，
∴
…………10分
由条件知：
，
∴
…………12分
（如用向量法做，也按相应步骤给分）
20、（第
（1）小题6分，第
（2）小题6分）
解：
（理科）
（1）∵
，
∴
…………2分
令
，得
…………3分
当
时
，当
时
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增，…………5分
∴
时，
∴
…………6分
（2）由
（1）得
，…………7分
…………9分
…………12分
（文科）
（1）∵
，且
，
∴
，即
.…………2分
∴
，…………4分
∴
是以3为公比，
为首项的等比数列，
从而
，∴
.…………6分
（2）由
（1）得
，…………7分
…………8分
…………10分
…………12分
21、（第
（1）小题5分，第
（2）小题7分）
解：
（１）设点
，则△ABC的重心
，∵△ABC是不等边三角形，∴
再设△ABC的外心
.∵已知
，∴MN∥AB，∴
.…………2分
∵点N是△ABC的外心，∴
，即
化简整理得轨迹E的方程是
…………4分
∴动点C的轨迹E是指焦点在轴上的标准位置的一个椭圆（去掉其顶点）。
…………5分
（2）（理科）将直线方程
代入轨迹E的方程
，并化简，
得
…………6分
依题意，知
，
，且
，
化简，得
，
，且
…………7分
设
、
，∵
，∴
，即
…………8分
又∵
，
，∴
，
化简得
…………10分
∴
，
，
，
，
解得实数
的取值范围是
或
且
.…………12分
（文科）将直线方程
代入轨迹E的方程
，并化简，
得
…………6分
依题意，知
，
，且
，
化简，得：
，
，且
…………8分
设
、
，∵
，∴
，即
…………10分
又∵
，
，∴
，化简得
解得实数
的取值是
.…………12分
22、（理科）（第
（1）小题4分，第
（2）小题4分，第（3）小题4分）
解：
（I）
…………2分
由于
故函数
上单调递增。
…………4分
（II）令
…………5分
的变化情况表如下：
0
—
0
+
极小值
因为方程
有三个不同的实根，
有三个根，
又因为当
，
所以
…………8分
（III）由（II）可知
上单调递减，在区间[0，1]上单调递增。
记
（当x=1时取等号）
所以
递增
于是
………………11分
（文科）（第
（1）小题6分，第
（2）小题6分）
（1）
，…………2分
由
得
，
.…………3分
的变化情况表如下：
0
+
0
—
0
+
极大值
极小值
的增区间为：
、
，减区间为：
.…………6分
（2）由
（1）可知，只有
、
处切线都恰好与
轴垂直，
∴
，
，
，
.…………8分
由曲线
在区间
上与
轴相交，可得：
，…………9分
∵
∴
.…………10分
解得
，
∴实数
的取值范围是
.…………12分
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