电影院座位设计问题.docx
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电影院座位设计问题
电影院座位设计问题
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电影院座位设计问题
一、问题的提出
下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角a和仰角3°视角a是观众
眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，a越大越好；仰角3是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水
o
平线的夹角，3太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求3不超过3°°
设影院屏幕高h,上边缘距地面高H，地板线倾角0,第一排和最后一排座位与屏幕水平距离分别为d和D,观众平均坐高为c（指眼睛到地面的距离）。
已知参数h=1.8,H=5,d=4.5,D=19,c=1.1（单位：
m）°（如图所示）
o
（1）地板线倾角0=1°，试问最佳的座位在什么地方。
（2）求地板线倾角0（—般不超过2°°）,使所有观众的平均满意程度最大。
（3）地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。
二、问题的分析
观众在电影院观赏电影，感觉是否满意不仅取决于电影的精彩与否，而且还取决于座位设计的舒适程度.座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题.根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角和仰角.经调
查可知这两者都要满足一定的条件.但在实际生活中又不可能同时满足，只能在二者兼顾的条件下求出使平均满意度最大的那种情况.根据题意很容易得知
和］的正切值呈递减趋势，这对问题的解决很有帮助.下文针对题目提出的三个
问题逐一进行分析.
针对问题1:
为方便求解，可以以屏幕所在的墙壁的剖面为y轴，向上为正方向，以与之垂直的地面为x轴，以交点为原点O,建立直角坐标系.当地板线倾角二=10°时，根据已知条件通过计算得知，最前排视角:
和仰角1的值均
为最大，最后排视角〉和仰角：
的值均为最小.那么仰角：
=30°时的位置是否是最佳位置呢？
我们可以先将离散的座位连续化，根据条件求出tg＞的表达式，作
出〉对x的变化图象以及其变化率图象，计算tg〉的最大值，找到最佳座位点，
然后再将问题离散化，对求得的最佳座位点进行优化•
针对问题・2:
—般地，人们对某件事物看法的心理变化是一个模糊的概念.
本文观众对座位是否满意也是一个模糊概念.根据模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，我们可以引入满意度函数的概念，构造一个满意度函数，通过这一函数来度量观众满意程度随其座位离屏幕的距离x的变化趋势.在倾斜角二固
定的情况下，满意度函数值随x的变化而变化，不同的x有不同的满意度.有了满意度函数这一衡量标准后，我们可以求出所有座位的平均满意度.当平均满意
度最大时，求出此时对应的倾斜角,即为所要求的平均满意度最大时地板线的倾斜角度•
3.模型的假设
1.假设座位在地板线上严格等距，且均匀分布；
2.假设观众的满意度可以用一连续函数来衡量，因而可将离散问题连续化；
3.假设视角对观众的满意度影响较大；
4.符号说明
«当人坐下时眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角
P当人坐下时眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角
p（x,y）当人坐下时眼睛所处在坐标系中的位置坐标
F（x）:
关于距离x和倾斜角二的正切函数
G（x）■-关于距离x和倾斜角二的正切函数
M（x）满意度函数
M（人）第i个位置的满意程度
M平均满意程度
九满意度函数的相关因子（即满意因子）
五•模型的建立
1•建模的准备
1.1建立坐标系
为了建立合适的数学模型，我们先建立如下坐标系:
直线L上任意一点P（x,y）的仰角B的正切值为：
（2）
（3）
tg：
_H_c_（x_d）tg=
x
又由图可知：
tg（—）=H-c-h-（x-d）®
x
由
（2）（3）得:
h
2
htg一2（H-cdtg旳（1tg~）x（HydS）"（H-cdt^）
x
1.2构造满意度函数
一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念.本文中观众对某个座位是否满意的看法就是一个典型的模糊概念•由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据人们通常对一件事物评价的心理变化应遵循一定规律，不妨定义观众
对座位的满意度为：
（x-xo）2
（4）
M（x）=eC0）
其中■表示观众满意度的相关因子，称为满意因子，一般为常数.x0表示最佳座位点，即最佳座位处的横坐标值.
2.模型的建立
2.1问题1的模型
座位的满意程度主要取决于视角a和仰角B.a越大越好，B太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求B不超过30°.要确定最佳座位，必须同时兼顾视角a和仰角B.
由上文不难发现tg〉和tg1均是x的函数，这里不妨令F（x）二tg：
•，
G（x）"gl,则可得到：
F（x）-
2（H—c+dtq8）—h（H—c+dtq日）htg日-2（H-c+dtg日）+tg0）x+-
x
（5）
G（x）
（6）
H-c-（X-d）tg二
x
由30°，即tgl：
：
tg300得：
x_HCdtg
Tl介
tg6tg
又由题意知：
x乞D
则x的取值范围为：
H-cdtg%乞d
n
tg—tgr
从而得到求解最佳座位的数学模型：
MaxF（x）=
h
2
htg一2（H-cdtg旳（1tg~）x（HydS）-h（HYW）
x
st
H-cdtgv
n齐
tg6tg二
（8）
当9=10度时求得模型的解
观众的满意度随位置变化曲线如图:
4681012141618
地板线横坐标x
e=1度时观众的满意度曲线
76543210aaaaaaa
值度意满的众观
2.2问题2的模型
为了求平均满意程度最大时地板的倾角二，本文先设法求平均满意程度M.
（x-Xo）2
由（4），记第i个座位满意度为：
M（xJ=e丸（九:
>0）（9）
n
则区间[d,D]上n个座位的满意度为：
aM（xi）（10）
i壬
n
_送M（xj
从而得座位的平均满意程度为：
M=』（11）
n
从而得到求解地板倾角的数学模型：
n
_ZM（xi）
MaxM=』（12）
n
其中Xi的表达式为：
Xi=d（i-1）l，l为常数，表示前后两个座位之间的距离
D-dn的表达式为：
n=[^^]1.
l
观众满意度随地板线曲率变化如图：
观众平均满意度随地板线斜率变化曲线
0
0.5
11.5
2
2.5
地板线斜率k（tge）
有图解得：
-arctan0.36=19.8
2.3问题3的模型
为了进一步提高观众的满意程度，应当使总满意程度进一步增大。
因此，禾U
用最优化模型，使得每一名观众的满意程度达到最大。
目标函数为：
Max
（X-xo）2
约束条件为：
M（xj二eC0,0：
：
i：
：
n）
从而得到结果为：
5幺
附录：
第一、二问程序：
n=0;
ku=0;
q=5;
t0=0;
s=0.3;
fork=0:
0.01:
0.37;
m=0;
forx=450:
1900;
y（x）=（x/100）*（kA2+1）/2+（（3+4.5*kF2-0.81）/（2*（x/100））-k*（3+4.5*k）
5
z（x）=0.9/y（x）;
w（x）=atan（z（x））;
f（x）=atan（（5-k*（（x/100）-4.5）-1.1）/（x/100））;
x30=（3.9+4.5*k）/（k+（3A0.5）/3）;
ifk==0.18
ifx<=x30
t=（w（x）-q*（f（x）-pi/6））;
ift>t0
t0=t;
x10=x/100;
end
end
ifx>x30
t=（w（x）-s*q*（f（x）-pi/6））;
ift>t0
t0=t;
x10=x/100;
end
end
x11=x/100;
figure
（1）;
plot（x11,t）;
grid;
xlabel（'地板线横坐标x'）;
ylabel（'观众的满意度值'）;
title（'0=10度时观众的满意度曲线’）；
holdon;
end
ifx<=x30
m=（（w（x）-q*（f（x）-pi/6））/100）+m;
end
ifx>x30
m=（（w（x）-s*q*（f（x）-pi/6））/100）+m;
end
end
figure
（2）;
plot（k,m,'.'）;
grid;
xlabel（'地板线斜率k（tg0）'）;
ylabel（'观众平均满意度’）；
title（'观众平均满意度随地板线斜率变化曲线’）;
holdon;
m>n
n=m;
ku=k;
end
plot（x10,t0,'*'）;
第三问程序:
h=1.8;
H=5;
d=4.5;
D=19;
c=1.1;
q=1；
s=0.3;
para=O;
stepx=（D-d）/20;
stepy=（H-c）/25;
y=zeros（1,21）;
total=0;
max=0;
fori1=0:
1
i
（1）=i1;
fori2=0:
1
i
（2）=i2;
fori3=0:
1
i（3）=i3;
fori4=0:
1
i（4）=i4;
fori5=0:
1
i（5）=i5;
fori6=0:
1
i（6）=i6;
fori7=0:
1
i（7）=i7;
fori8=0:
1
i（8）=i8;
fori9=0:
1
i（9）=i9;
fori10=0:
1
i（10）=i10;
fori11=0:
1
i（11）=i11;
fori12=0:
1
i（12）=i12;
fori13=0:
1
i（13）=i13;
fori14=0:
1
i（14）=i14;
fori15=0:
1
i（15）=i15;
fori16=0:
1
i（16）=i16;
fori17=0:
1
i（17）=i17;
fori18=0:
1
i（18）=i18;
fori19=0:
1
i（19）=i19;
fori20=0:
1
i（20）=i20;
fori21=0:
1
i（21）=i21;
fori22=0:
1
i（22）=i22;
fori23=0:
1
i（23）=i23;
fort=1:
21
x（t）=（t-1）*stepx+d;
y
（1）=c;
ift>1
forr=2:
t
y（t）=i（r-1）*stepy+y（t-1）;
end
end
x1=x（t）;
yi=y（t）;
de=（x1）A2+（H-h/2-y1）A2-（h/2）A2;
w（t）=（atan（（h*x1）/de）-s*q*（（atan（H-y1）/x1）-pi/6））;
ifx1<（3A0.5）*5;
ify1<=（5-（（3A0.5）/3）*x1）;
w（t）=（atan（（h*x1）/de）-q*（（atan（H-y1）/x1）-pi/6））;
end
end
total=total+w（t）;
end
end
para=0;
iftotal>max
max=total;
fore=1:
20
ify（e）>（H-h）
forv=1:
e
aa=（（v-1）*stepx+d）*（-（y（e）-（H-h））/（（e-1）*stepx+d））+（H-h）;ifaapara=1;
end
end
end
end
fors=1:
20*
ifpara〜=1;
m（s）=i（s）;
end
end
end
end
total=0;
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
end
forj=1:
21
m0=0;
ifj>1
fore=2:
j
m0=m（e-1）+m0;
end
end
yopt（j）=m0*stepy;
xopt（j）=（j-1）*stepx+d;
end
x3=1:
0.1:
length（yopt）-1;
y3=interp1（xopt,yopt,x3,'cubic'）;
p=polyfit（x3,y3,15）;
y4=polyval（p,x3）;
plot（x3,y4,'-'）；
holdonplot（x3,y3,xopt,yopt）;
forrr=1:
length（yopt）-1;y5=y4（（rr-1）*10+1）;plot（rr,y5）;
holdon
end
gridon;
holdon;
plot（0,（H-h）,'*'）;
plot（0,H,'*'）;
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