电影院座位设计问题.docx

1、电影院座位设计问题电影院座位设计问题作者:日期:电影院座位设计问题一、问题的提出下图为影院的剖面示意图， 座位的满意程度主要取决于视角 a和仰角3视角a是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角， a越大越好；仰角 3是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水o平线的夹角，3太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求 3不超过3 设影院屏幕高h,上边缘距地面高 H，地板线倾角0,第一排和最后一排座位与屏幕水 平距离分别为d和D,观众平均坐高为c （指眼睛到地面的距离）。已知参数h=1.8 , H=5, d=4.5 , D=19, c=1.1 （单位：m） （如图所示）o（1） 地板线倾角0= 1，试问最佳的

2、座位在什么地方。（2） 求地板线倾角 0（般不超过2）,使所有观众的平均满意程度最大。（3） 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。二、问题的分析观众在电影院观赏电影，感觉是否满意不仅取决于电影的精彩与否， 而 且还取决于座位设计的舒适程度.座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实 的问题.根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角和仰角 .经调查可知这两者都要满足一定的条件.但在实际生活中又不可能同时满足，只能在 二者兼顾的条件下求出使平均满意度最大的那种情况 .根据题意很容易得知和的正切值呈递减趋势，这对问题的解决很有帮助 .下文针对题目提出的三个问题逐一进行分析.针对

3、问题1:为方便求解，可以以屏幕所在的墙壁的剖面为 y轴，向上 为正方向，以与之垂直的地面为x轴，以交点为原点O,建立直角坐标系.当地板 线倾角二=10时，根据已知条件通过计算得知，最前排视角 :和仰角1的值均为最大，最后排视角和仰角：的值均为最小.那么仰角：=30时的位置是否是 最佳位置呢？我们可以先将离散的座位连续化，根据条件求出 tg的表达式，作出对x的变化图象以及其变化率图象，计算tg的最大值，找到最佳座位点，然后再将问题离散化，对求得的最佳座位点进行优化 针对问题2: 般地，人们对某件事物看法的心理变化是一个模糊的概念 .本文观众对座位是否满意也是一个模糊概念.根据模糊数学隶属度的概念

4、和心理 学的相关知识，我们可以引入满意度函数的概念， 构造一个满意度函数，通过这 一函数来度量观众满意程度随其座位离屏幕的距离 x的变化趋势.在倾斜角二固定的情况下，满意度函数值随 x的变化而变化，不同的x有不同的满意度.有了 满意度函数这一衡量标准后，我们可以求出所有座位的平均满意度 .当平均满意度最大时，求出此时对应的倾斜角,即为所要求的平均满意度最大时地板线的 倾斜角度3.模型的假设1.假设座位在地板线上严格等距，且均匀分布；2.假设观众的满意度可以用一连续函数来衡量，因而可将离散问题连续化；3.假设视角对观众的满意度影响较大；4.符号说明 当人坐下时眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角P 当

5、人坐下时眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角p（x, y） 当人坐下时眼睛所处在坐标系中的位置坐标F（ x） :关于距离x和倾斜角二的正切函数G（ x） -关于距离x和倾斜角二的正切函数M （x） 满意度函数M （人） 第i个位置的满意程度M 平均满意程度九 满意度函数的相关因子（即满意因子）五模型的建立1建模的准备1.1建立坐标系为了建立合适的数学模型，我们先建立如下坐标系:直线L上任意一点P(x, y)的仰角B的正切值为：(2)(3)tg ： _ H _c _(x _d)tg =x又由图可知：tg()=H -c-h-(x-d)x由(2) (3)得:h2htg 一 2(H - c dtg 旳(

6、1 tg)x (H y dS)(H -c dt)x1.2构造满意度函数一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念.本文中观众对某个座位是否 满意的看法就是一个典型的模糊概念由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关 知识，根据人们通常对一件事物评价的心理变化应遵循一定规律， 不妨定义观众对座位的满意度为：(x -xo)2(4)M (x) = e C 0)其中表示观众满意度的相关因子，称为满意因子，一般为常数.x0表示最佳座 位点，即最佳座位处的横坐标值.2.模型的建立2.1问题1的模型座位的满意程度主要取决于视角a和仰角B . a越大越好，B太大使人的头 部过分上仰，引起不舒适感，一般要求 B不超过3

7、0.要确定最佳座位，必须同 时兼顾视角a和仰角B .由上文不难发现tg和tg 1均是x的函数，这里不妨令F (x)二tg ：，G(x) gl ,则可得到：F(x) -2 (H c+dtq8) h(H c + dtq 日) htg日-2(H -c+dtg日)+tg 0)x +- x(5)G(x)(6)H -c -(X -d)tg 二x由 30，即 tgl ： tg300 得：x _ H C dtgTl 介tg 6 tg又由题意知：x乞D则x的取值范围为：H - c dtg %乞dntg tg r从而得到求解最佳座位的数学模型：MaxF (x)=h2htg 一2(H -c dtg 旳(1 tg)x

8、 (Hy dS)-h(HY W)xstH -c dtg vn 齐tg 6 tg 二(8)当9 =10度时求得模型的解观众的满意度随位置变化曲线如图:4 6 8 10 12 14 16 18地板线横坐标xe =1度时观众的满意度曲线765 43210 a a a a a a a值度意满的众观2.2问题2的模型为了求平均满意程度最大时地板的倾角二，本文先设法求平均满意程度M.（x -Xo）2由（4），记第i个座位满意度为：M（xJ = e 丸 （九:0） （ 9）n则区间d,D上n个座位的满意度为：a M （xi） （ 10）i壬n_ 送 M （xj从而得座位的平均满意程度为： M= （11）n从

9、而得到求解地板倾角的数学模型：n_ Z M （xi）M ax M = （12）n其中Xi的表达式为：Xi =d （i -1）l， l为常数，表示前后两个座位之间的距离D-d n的表达式为：n = 1 .l观众满意度随地板线曲率变化如图：观众平均满意度随地板线斜率变化曲线00.51 1.522.5地板线斜率k(tg e)有图解得：-arcta n0.36=19.82.3问题3的模型为了进一步提高观众的满意程度，应当使总满意程度进一步增大。 因此，禾U用最优化模型，使得每一名观众的满意程度达到最大。目标函数为：Max(X -xo)2约束条件为：M (xj 二 e C 0,0 ： i ： n)从而得

10、到结果为：5幺附录：第一、二问程序：n=0;ku=0;q=5;t0=0;s=0.3;for k=0:0.01:0.37;m=0;for x=450:1900;y(x)=(x/100)*(kA2+1)/2+(3+4.5*kF2-0.81)/(2*(x/100)-k*(3+4.5*k)5z(x)=0.9/y(x);w(x)=ata n(z(x);f(x)=ata n( (5-k*(x/100)-4.5)-1.1)/(x/100);x30=(3.9+4.5*k)/(k+(3A0.5)/3);if k=0.18if xt0t0=t;x10=x/100;endendif xx30t=(w(x)-s*q*

11、(f(x)-pi/6);if tt0t0=t;x10=x/100;endendx11=x/100;figure(1);plot(x11,t);grid;xlabel(地板线横坐标x);ylabel(观众的满意度值);title( 0 =10度时观众的满意度曲线)；hold on;endif xx30m=(w(x)-s*q*(f(x)-pi/6)/100)+m;endendfigure(2);plot(k,m, .);grid;xlabel( 地板线斜率 k(tg 0 );ylabel(观众平均满意度)；title(观众平均满意度随地板线斜率变化曲线 );hold on;mnn=m;ku=k;e

12、ndplot(x10,t0, *);第三问程序:h=1.8;H=5;d=4.5;D=19;c=1.1;q=1；s=0.3;para=O;stepx=(D-d)/20;stepy=(H-c)/25;y=zeros(1,21);total=0;max=0;for i1=0:1i(1)=i1;for i2=0:1i(2)=i2;for i3=0:1i(3)=i3;for i4=0:1i(4)=i4;for i5=0:1i(5)=i5;for i6=0:1i(6)=i6;for i7=0:1i(7)=i7;for i8=0:1i(8)=i8;for i9=0:1i(9)=i9;for i10=0:1i

13、(10)=i10;for i11=0:1i(11)=i11;for i12=0:1i(12)=i12;for i13=0:1i(13)=i13;for i14=0:1i(14)=i14;for i15=0:1i(15)=i15;for i16=0:1i(16)=i16;for i17=0:1i(17)=i17;for i18=0:1i(18)=i18;for i19=0:1i(19)=i19;for i20=0:1i(20)=i20;for i21=0:1i(21)=i21;for i22=0:1i(22)=i22;for i23=0:1i(23)=i23;for t=1:21x(t)=(t-

14、1)*stepx+d;y(1)=c;if t1for r=2:ty(t)=i(r-1)*stepy+y(t-1);endendx1=x(t);yi=y(t);de=(x1)A2+(H-h/2-y1)A2-(h/2)A2;w(t)=(ata n( (h*x1)/de)-s*q*(ata n(H-y1)/x1)-pi/6);if x1(3A0.5)*5;if y1maxmax=total;for e=1:20if y(e)(H-h)for v=1:eaa=(v-1)*stepx+d)*(-(y(e)-(H-h)/(e-1)*stepx+d)+(H-h); if aa1for e=2:jm0=m(e

15、-1)+m0;endendyopt(j)=m0*stepy;xopt(j)=(j-1)*stepx+d;endx3=1:0.1:le ngth(yopt)-1;y3=in terp1(xopt,yopt,x3, cubic );p=polyfit(x3,y3,15);y4=polyval(p,x3);plot(x3,y4, -)；hold on plot(x3,y3,xopt,yopt);for rr=1:le ngth(yopt)-1; y5=y4(rr-1)*10+1); plot(rr,y5);hold onendgrid on;hold on;plot(0,(H-h), *);plot(0,H, *);