高中数学人教A版选修21教案第1章 12 121 充分条件与必要条件122 充要条件.docx

高中数学人教A版选修21教案第1章 12 121 充分条件与必要条件122 充要条件.docx

《高中数学人教A版选修21教案第1章 12 121 充分条件与必要条件122 充要条件.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A版选修21教案第1章 12 121 充分条件与必要条件122 充要条件.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高中数学人教A版选修21教案第1章12121充分条件与必要条件122充要条件

1.2.1　充分条件与必要条件

1.2.2　充要条件

学习目标：

1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．（重点、难点）2.会求（判断）某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．（重点）3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．（难点）

[自主预习·探新知]

1．充分条件与必要条件

命题真假

“若p，则q”是真命题

“若p，则q”是假命题

推出关系

p⇒q

p

q

条件关系

p是q的充分条件

q是p的必要条件

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

思考1：

（1）p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？

（2）以下五种表述形式：

①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？

[提示]　

（1）相同，都是p⇒q　

（2）等价

2．充要条件

（1）一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．

概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

（2）若p⇒q，但q

p，则称p是q的充分不必要条件．

（3）若q⇒p，但p

q，则称p是q的必要不充分条件．

（4）若p

q，且q

p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

思考2：

（1）若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？

（2）“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？

[提示]　

（1）正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.

（2）①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．

②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．

[基础自测]

1．思考辨析

（1）q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（　　）

（2）q不是p的必要条件时，“p

q”成立．（　　）

（3）若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．（　　）

[答案]　

（1）√　

（2）√　（3）×

2．“x>2”是“x2－3x＋2>0”成立的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

A　[由x2－3x＋2>0得x>2或x<1，故选A.]

3．下列各题中，p是q的充要条件的是________（填序号）．

（1）p：

b＝0，q：

函数f（x）＝ax2＋bx＋c是偶函数；

（2）p：

x>0，y>0，q：

xy>0；

（3）p：

a>b，q：

a＋c>b＋C．

【导学号：

46342015】

（1）（3）　[在

（1）（3）中，p⇔q，所以

（1）（3）中p是q的充要条件，在

（2）中，q⇒p，所以

（2）中p不是q的充要条件．]

[合作探究·攻重难]

充分条件、必要条件、充要条件的判断

　指出下列各题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）．

（1）在△ABC中，p：

∠A>∠B，q：

BC>AC；

（2）对于实数x，y，p：

x＋y≠8，q：

x≠2或y≠6；

（3）p：

（a－2）（a－3）＝0，q：

a＝3；

（4）p：

a＜b，q：

＜1.

[思路探究]　判断p⇒q与q⇒p是否成立，当p、q是否定形式，可判断﹁q是﹁p的什么条件．

[解]　

（1）在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充分必要条件．

（2）因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即﹁q⇒﹁p，但﹁p⇒﹁q，所以p是q的充分不必要条件．

（3）由（a－2）（a－3）＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出（a－2）（a－3）＝0.因此，p是q的必要不充分条件．

（4）由于a＜b，当b＜0时，

＞1；

当b＞0时，

＜1，故若a＜b，不一定有

＜1；

当a＞0，b＞0，

＜1时，可以推出a＜b；

当a＜0，b＜0，

＜1时，可以推出a＞b.

因此p是q的既不充分也不必要条件．

[规律方法]　充分条件与必要条件的判断方法

（1）定义法

（2）等价法：

将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．

（3）逆否法：

这是等价法的一种特殊情况．

若﹁p⇒﹁q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；

若﹁p⇒﹁q，且﹁q

﹁p，则p是q的必要不充分条件；

若﹁p⇔﹁q，则p与q互为充要条件；

若﹁p

﹁q，且﹁q

﹁p，则p是q的既不充分也不必要条件．

[跟踪训练]

1．

（1）设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的（　　）

【导学号：

46342016】

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

D　[令a＝1，b＝－1，满足a>b，但不满足a2>b2，即“a>b”不能推出“a2>b2”；再令a＝－1，b＝0，满足a2>b2，但不满足a>b，即“a2>b2”不能推出“a>b”，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．]

（2）对于二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），下列结论正确的是（　　）

①Δ＝b2－4ac≥0是函数f（x）有零点的充要条件；

②Δ＝b2－4ac＝0是函数f（x）有零点的充分条件；

③Δ＝b2－4ac>0是函数f（x）有零点的必要条件；

④Δ＝b2－4ac<0是函数f（x）没有零点的充要条件．

A．①④　　　　B．①②③

C．①②③④D．①②④

D　[①Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有实根⇔f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）有零点，故①正确．

②若Δ＝b2－4ac＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有实根，因此函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）有零点，故②正确．

③函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有实根，未必有Δ＝b2－4ac>0，也可能有Δ＝0，故③错误．

④Δ＝b2－4ac<0⇔方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实根⇔函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）无零点，故④正确．]

充要条件的探求与证明

（1）“x2－4x<0”的一个充分不必要条件为（　　）

A．0

C．x>0D．x<4

（2）已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：

<

的充要条件是xy>0.

[思路探究]　

（1）先解不等式x2－4x<0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x2－4x<0的解集的子集．

（2）充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的（⇔），也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔”写出证明．

[解析]　

（1）由x2－4x<0得0

[答案]　B

（2）法一：

充分性：

由xy>0及x>y，得

>

，即

<

.

必要性：

由

<

，得

－

<0，即

<0.

因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.

所以

<

的充要条件是xy>0.

法二：

<

⇔

－

<0⇔

<0.

由条件x>y⇔y－x<0，故由

<0⇔xy>0.

所以

<

⇔xy>0，

即

<

的充要条件是xy>0.

[规律方法]　1.探求充要条件一般有两种方法：

（1）探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论（设为B），再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．

（2）将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．

2．充要条件的证明

（1）证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．

（2）证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．

[跟踪训练]

2．

（1）不等式x（x－2）<0成立的一个必要不充分条件是（　　）

【导学号：

46342017】

A．x∈（0,2）　　　B．x∈[－1，＋∞）

C．x∈（0,1）D．x∈（1,3）

B　[由x（x－2）<0得0

（2）求证：

关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.

[证明]　假设p：

方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，

q：

a＋b＋c＝0.

①证明p⇒q，即证明必要性．

∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，

∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.

②证明q⇒p，即证明充分性．

由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.

∵ax2＋bx＋c＝0，

∴ax2＋bx－a－b＝0，

即a（x2－1）＋b（x－1）＝0.

故（x－1）（ax＋a＋b）＝0.

∴x＝1是方程的一个根．

故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.

充分条件、必要条件、充要条件的应用

[探究问题]

1．记集合A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，若p是q的充分不必要条件，则集合A、B的关系是什么？

若p是q的必要不充分条件呢？

提示：

若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，BA.

2．记集合M＝{x|p（x）}，N＝{x|q（x）}，若M⊆N，则p是q的什么条件？

若N⊆M，M＝N呢？

提示：

若M⊆N，则p是q的充分条件，若N⊆M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．

　已知p：

x2－8x－20≤0，q：

x2－2x＋1－m2≤0（m>0），且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．

[思路探究]　

→

→

[解析]　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0（m>0），得1－m≤x≤1＋m（m>0）．

因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且q

p.

即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，

所以

或

解得m≥9.

所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．

[答案]　{m|m≥9}（或[9，＋∞））

母题探究：

1.本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．

[解]　由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0（m>0）得1－m≤x≤1＋m（m>0）

因为p是q的必要不充分条件，所以q⇒p，且p

q.

则{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}{x|－2≤x≤10}

所以

，解得0

即m的取值范围是（0,3]．

2．若本例题改为：

已知P＝{x|a－4

[解]　因为“x∈P”是x∈Q的必要条件，所以Q⊆P.

所以

解得－1≤a≤5

即a的取值范围是[－1,5]．

[规律方法]　

利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围

（1）化简p、q两命题，

（2）根据p与q的关系（充分、必要、充要条件）转化为集合间的关系，

（3）利用集合间的关系建立不等关系，

（4）求解参数范围．

[当堂达标·固双基]

1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的（　　）

A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

B　[若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；若x＝y，则|x|＝|y|，故选B.]

2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

B　[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选B.]

3．下列条件中，是x2<4的必要不充分条件是（　　）

A．－2≤x≤2B．－2

C．0

A　[由x2<4得－2

4．若“x＜m”是“（x－1）（x－2）＞0”的充分不必要条件，则m的取值范围是________.

【导学号：

46342018】

（－∞，1]　[由（x－1）（x－2）＞0可得x＞2或x＜1，

由已知条件，知{x|x＜m}{x|x＞2或x＜1}，

∴m≤1.]

5．求证：

关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m≥2.

[证明]　

（1）充分性：

因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，

由根与系数的关系知，x1·x2＝1>0，所以x1，x2同号．

又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同为负数．

即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2.

（2）必要性：

因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根，设其为x1，x2，且x1x2＝1，

所以

即

所以m≥2，即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的必要条件是m≥2.

综上可知，m≥2是x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分必要条件．