四边形的综合问题中考数学选择题填空题压轴题专题训练.docx
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四边形的综合问题中考数学选择题填空题压轴题专题训练
专题06四边形的综合问题
例1.如图,△APB中,,∠APB=90°,在AB的同侧作正△ABD、正△APE和△BPC,则四边形PCDE面积的最大值是__________.
同类题型1.1如图,△APB中,AP=4,BP=3,在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC,则四边形PCDE面积的最大值是___________.
同类题型1.2如图,在□ABCD中,分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF,延长CB交AE于点G,点G在点A、E之间,连接CE、CF,EF,则以下四个结论一定正确的是( )
①△CDF≌△EBC;②∠CDF=∠EAF;③△ECF是等边三角形;④CG⊥AE.
A.只有①②B.只有①②③C.只有③④D.①②③④
同类题型1.3如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上的一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结论:
①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC.其中正确的有______________.(填序号)
同类题型1.4如图,在□ABCD中,∠DAB的平分线交CD于点E,交BC的延长线于点G,∠ABC的平分线交CD于点F,交AD的延长线于点H,AG与BH交于点O,连接BE,下列结论错误的是( )
A.BO=OHB.DF=CEC.DH=CGD.AB=AE
例2.图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品.该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成(不重叠、无缝隙).图乙中,EF=4cm,上下两个阴影三角形的面积之和为,其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到,则该菱形的周长为____________.
同类题型2.1如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,点E、F同时由A、C两点出发,分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形,则t的值为____________.
同类题型2.2如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上的一动点,将△AMN沿MN所
在直线翻折得到△A′MN,连接A′C,则A′C长度的最小值是____________.
同类题型2.3如图,在菱形ABCD中,边长为10,∠A=60°.顺次连接菱形ABCD各边中点,可得四边形;顺次连接四边形各边中点,可得四边形;顺次连接四边形各边中点,可得四边形;按此规律继续下去…,则四边形的周长是______________.
例3.如图,在矩形ABCD中,点E为AB的中点,EF⊥EC交AD于点F,连接CF(AD>AE),下列结论:
①∠AEF=∠BCE;②;③AF+BC>CF;④若,则△CEF≌△CDF.其中正确的结论是____________.(填写所有正确结论的序号)
同类题型3.1如图,在矩形ABCD中,AB,∠B
AD的平分线交BC于点E,DH⊥AE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,下列结论:
①AED=∠CED;②AB=HF,③BH=HF;④BC-CF=2HE;⑤OE=OD;
其中正确结论的序号是____________.
同类题型3.2如图,在矩形ABCD中,AB,∠ADC的平分线交边BC于点E,AH⊥DE于点H,连接CH并延长交AB边于点F,连接AE交CF于点O,给出下列命题:
①AD=DE②EH③△AEH∽△CFB④AE
其中正确命题的序号是________________(填上所有正确命题的序号)
同类题型3.3如图,在矩形ABCD中,点E是边BC的中点,AE⊥BD,垂足为F,则tan∠BDE的值是( )
A.
B.C.D.
例4.已知:
如图,在正方形ABCD外取一点E,连接AE,BE,DE.过点A作AE的垂线AP交DE于点P.若AE=AP=1,,下列结论:
①△APD≌△AEB;②点B到直线AE的距离为;③EB⊥ED;
④.⑤=4+.
其中正确结论的序号是___________________.
同类题型4.1如图,正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发,沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止,同时点R从点B出发,沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止.点N是正方形ABCD内任一点,把
N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P,则P=( )
A.B.C.D.
同类题型4.2如图,边长为2的正方形ABCD中,AE平分∠DAC,AE交CD于点F,CE⊥AE,垂足为点E,EG⊥CD,垂足为点G,点H在边BC上,BH=DF,连接AH、FH,FH与AC交于点M,以下结论:
①FH=2BH;②AC⊥FH;③=1;④AF;⑤=FG﹒DG,其中正确结论的个数为( )
A.2B.3C.4D.5
同类题型4.3如图,边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.有直角∠MPN,使直角顶点P与点O重合,直角边PM、PN分别与OA、OB重合,然后逆时针旋转∠MPN,旋转角为θ(0°<θ<90°),PM、PN分别交AB、BC于E、F两点,连接EF交OB于点G,则下列结论中正确的是______________.
OE;
(2)=1:
OA;(4)在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,.
同类题型4.4如图,四边形ABHK是边长为6的正方形,点C、D在边AB上,且AC=DB=1,点P是线段CD上的动点,分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP,
E、F分别为MN、QR的中点,连接EF,设EF的中点为G,则当点P从点C运动到点D
时,点G移动的路径长为_____________.
参考答案
例1.如图,△APB中,,∠APB=90°,在AB的同侧作正△ABD、正△APE和△BPC,则四边形PCDE面积的最大值是__________.
解:
如图,延长EP交BC于点F,
∵∠APB=90°,∠APE=∠BPC=60°,
∴∠EPC=150°,
∴∠CPF=180°-150°=30°,
∴PF平分∠BPC,
又∵PB=PC,
∴PF⊥BC,
设Rt△ABP中,AP=a,BP=b,则b,=8,
∵△APE和△ABD都是等边三角形,
∴AE=AP,AD=AB,∠EAP=∠DAB=60°,
∴∠EAD=∠PAB,
∴△EAD≌△PAB(SAS),
∴ED=PB=CP,
同理可得:
△APB≌△DCB(SAS),
∴EP=AP=CD,
∴四边形CDEP是平行四边形,
∴四边形CDEP的面积ab,
又∵≥0,
∴=8,
∴ab≤2,
即四边形PCDE面积的最大值为2.
同类题型1.1如图,△APB中,AP=4,BP=3,在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC,则四边形PCDE面积的最大值是___________.
解:
∵△APE和△ABD是等边三角形,
∴AE=AP=4,AB=AD,∠EAP=∠DAB=60°,
∴∠EAD=∠PAB=60°-∠DAP,
在△EAD和△PAB中
∴△EAD≌△PAB(SAS),
∴DE=BP,
同理△DBC≌△ABP,
∴DC=AP,
∵△APE和△BPC是等边三角形,
∴EP=AP,BP=CP,
∴DE=
CP=3,DC=PE=4,
∴四边形PCDE是平行四边形,
当CP⊥EP时,四边形PCDE的面积最大,最大面积是3×4=12.
同类题型1.2如图,在□ABCD中,分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF,延长CB交AE于点G,点G在点A、E之间,连接CE、CF,EF,则以下四个结论一定正确的是( )
①△CDF≌△EBC;②∠CDF=∠EAF;③△ECF是等边三角形;④CG⊥AE.
A.只有①②B.只有①②③C.只有③④D.①②③④
解:
∵△ABE、△ADF是等边三角形
∴FD=AD,BE=AB
∵AD=BC,AB=DC
∴FD=BC,BE=DC
∵∠B=∠D,∠FDA=
∠ABE
∴∠CDF=∠EBC
∴△CDF≌△EBC,故①正确;
∵∠FAE=∠FAD+∠EAB+∠BAD=60°+60°+(180°-∠CDA)=300°-∠CDA,
∠FDC=360°-∠FDA-∠ADC=300°-∠CDA,
∴∠CDF=∠EAF,故②正确;
同理可得:
∠CBE=∠EAF=∠CDF,
∵BC=AD=AF,BE=AE,
∴△EAF≌△EBC,
∴∠AEF=∠BEC,
∵∠AEF+∠FEB=∠BEC+∠FEB=∠AEB=60°,
∴∠FEC=60°,
∵CF=CE,
∴△ECF是等边三角形,故③正确;
在等边三角形ABE中,
∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段
∴如果CG⊥AE,则G是AE的中点,∠ABG=30°,∠ABC=150°,题目缺少这个条件,CG⊥AE不能求证,故④错误.
选B.
同类题型1.3如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上的一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结论:
①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC.其中正确的有______________.(填序号)
解:
证明:
∵BC=EC,
∴∠CEB=∠CBE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB,
∴∠CEB=∠EBF,
∴∠CBE=∠EBF,
∴①BE平分∠CBF,正确;
∵BC=EC,CF⊥BE,
∴∠ECF=∠BCF,
∴②CF平分∠DCB,正确;
∵DC∥AB,
∴∠DCF=∠CFB,
∵∠ECF=∠BCF,
∴∠CFB=∠BCF,
∴BF=BC,
∴③正确;
∵FB=BC,CF⊥BE,
∴B点一定在FC的垂直平分线上,即PB垂直平分FC,
∴PF=PC,故④正确.
答案为①②③④.
同类题型1.4如图,在□ABCD中,∠DAB的平分线交CD于点E,交BC的延长线于点G,∠ABC的平分线交CD于点F,交AD的延长线于点H,AG与BH交于点O,连接BE,下列结论错误的是( )
A.BO=OHB.DF=CEC.DH=CGD.AB=AE
解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AH∥BG,AD=BC,
∴∠H=∠HBG,
∵∠HBG=∠HBA,
∴∠H=∠HBA,
∴AH=AB,同理可证BG=AB,
∴AH=BG,∵AD=BC,
∴DH=CG,故C正确,
∵AH=AB,∠OAH=∠OAB,
∴OH=OB,故A正确,
∵DF∥AB,
∴∠DFH=∠ABH,
∵∠H=∠ABH,
∴∠H=∠DFH,
∴DF=DH,同理可证EC=CG,
∵DH=CG,
∴DF=CE,故B正确,
无法证明AE=AB,
选D.
例2.图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品.该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成(不重叠、无缝隙).图乙中,EF=4cm,上下两个阴影三角形的面积之和为,其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到,则该菱形的周长为____________.
解:
如图乙,H是CF与DN的交点,取CD的中点G,连接HG,
,
设AB=6acm,则BC=7acm,中间菱形的对角线HI的长度为xcm,
∵BC=7acm,MN=EF=4cm,
∴,
∵GH∥BC,
∴,
∴,
∴x=3.5a-2…
(1);
∵上下两个阴影三角形的面积之和为,
∴6a﹒(7a-x)÷2=54,
∴a(7a-x)=18…
(2);
由
(1)
(2),可得
a=2,x=5,
∴CD=6×2=12(cm),,
∴=15(cm),
又∵=7.5(cm),
∴HN=15-7.5=7.5(cm),
∵AM∥FC,
∴,
∴,
∴该菱形的周长为:
(cm).
同类题型2.1如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,点E、F同时由A、C两点出发,分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形,则t的值为____________.
解:
延长AB至M,使BM=AE,连接FM,
∵四边形ABCD是菱形,∠ADC=120°
∴AB=AD,∠A=60°,
∵BM=AE,
∴AD=ME,
∵△DEF为等边三角形,
∴∠DAE=∠DFE=60°,DE=EF=FD,
∴∠MEF+∠DEA═120°,∠ADE+∠DEA=180°-∠A=120°,
∴∠MEF=∠ADE
,
∴在△DAE和△EMF中,
∴△DAE≌EMF(SAS),
∴AE=MF,∠M=∠A=60°,
又∵BM=AE,
∴△BMF是等边三角形,
∴BF=AE,
∵AE=t,CF=2t,
∴BC=CF+BF=2t+t=3t,
∵BC=4,
∴3t=4,
∴.
同类题型2.2如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上的一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN,连接A′C,则A′C长度的最小值是____________.
解:
如图所示:
∵MA′是定值,A′C长度取最小值时,即A′在MC上时,
过点M作MF⊥DC于点F,
∵在边长为2的菱形ABCD中,∠A
=60°,M为AD中点,
∴2MD=AD=CD=2,∠FDM=60°,
∴∠FMD=30°,
∴,
∴,
∴,
∴-1.
同类题型2.3如图,在菱形ABCD中,边长为10,∠A=60°.顺次连接菱形ABCD各边中点,可得四边形;顺次连接四边形各边中点,可得四边形;顺次连接四边形各边中点,可得四边形;按此规律继续下去…,则四边形的周长是______________.
解:
∵菱形ABCD中,边长为10,∠A=60°,顺次连结菱形ABCD各边中点,
∴是等边三角形,四边形是菱形,
∴=5,,=5,
同理可得出:
,,
,,
…
∴四边形的周长是:
.
例3.如图,在矩形ABCD中,点E为AB的中点,EF⊥EC交AD于点F,连接CF(AD>AE),下列结论:
①∠AEF=∠BCE;②;③AF+BC>CF;④若,则△CEF≌△CDF.其中正确的结论是____________.(填写所有正确结论的序号)
解:
延长CB,FE交于点G,
∵∠AEF+∠BEC=90°,∠BEC+∠BCE=90°,
∴∠AEF=∠BCE,①正确;
在△AEF和△BEG中,
,
∴△AEF≌△BEG(ASA),
∴AF=BG,EF=EG,
∵CE⊥EG,
∴,CG=CF,
∴,②正确;
∴AF+BC=BG+BC=CG=CF,③错误;
∵,
∴∠BCE=30°,∴∠FCE=∠FCD=30°,
在△CEF和△CDF中,
,
∴△CEF≌△CDF(AAS),④正确.
同类题型3.1如图,在矩形ABCD中,AB,∠BAD的平分线交BC于点E,DH⊥AE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,下列结论:
①AED=∠CED;②AB=HF,③BH=HF;④BC-CF=2HE;⑤OE=OD;
其中正确结论的序号是____________.
解:
∵在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE=45°,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∴AB,
∵AB,
∴AE=AD,
在△ABE和△AHD中,,
∴△ABE≌△AHD(AAS),
∴BE=DH,
∴AB=BE=AH=HD,
∴(180°-45°)=67.5°,
∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°,
∴∠AED=∠CED,故①正确;
∵(180°-45°)=67.5°,∠OHE=∠AHB(对顶角相等),
∴∠OHE=∠AED,
∴OE=OH,
∵∠DOH=90°-67.5°=22.5°,∠ODH=67.5°-45°=22.5°,
∴∠DOH=∠ODH,
∴OH=OD,
∴OE=OD=OH,故⑤正确;
∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°,
∴∠EBH=∠OHD,
又∵BE=DH,∠AEB=∠HDF=45°
在△BEH和△HDF中
∴△BEH≌△HDF(ASA),
∴BH=HF,HE=DF,故③正确;
由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE,CF=CD-DF,
∴BC-CF=(CD+HE)-(CD-HE)=2HE,所以④正确;
∵AB=AH,∠BAE=45°,
∴△ABH不是等边三角形,
∴AB≠BH,
∴即AB≠HF,故②错误;
综上所述,结论正确的是①③④⑤.
同类题型3.2如图,在矩形ABCD中,AB,∠ADC的平分线交边BC于点E,AH⊥DE于点H,连接CH并延长交AB边于点F,连接AE交CF于点O,给出下列命题:
①AD=DE②EH③△AEH∽△CFB④AE
其中正确命题的序号是________________(填上所有正确命题的序号)
解:
在矩形ABCD中,CD,
∵DE平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE=45°,
∵AD⊥DE,
∴△ADH是等腰直角三角形,
∴AB,
∴AH=AB=CD,
∵△DEC是等腰直角三角形,
∴CD,
∴AD=DE,
∴∠AED=67.5°,
∴∠AEB=180°-45°-67.5°=67.5°,
∴∠AED=∠AEB,
∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠AEB,
∴∠DAE=∠AED,
∴AD=DE,
故①正确;
设DH=1,
则AH=DH=1,,
∴,
∴≠1,
故②错误;
∵∠AEH=67.5°,
∴∠EAH=22.5°,
∵DH=CD,∠EDC=45°,
∴∠DHC=67.5°,
∴∠OHA=22.5°,
∴∠OAH=∠OHA,
∴OA=OH,
∴∠AEH=∠OHE=67.5°,
∴OH=OE,
∴AE,
故④正确;
∵AH=DH,CD=CE,
在△AFH与△CHE中,
,
∴△AFH≌△CHE,
∴∠AHF=∠HCE,
∵AO=OH,
∴∠HAO=∠AHO,
∴∠HAO=∠BCF,∵∠B=∠AH
E=90°,
∴△AEH∽△CFB,故③正确.
答案为:
①③④.
同类题型3.3如图,在矩形ABCD中,点E是边BC的中点,AE⊥BD,垂足为F,则tan∠BDE的值是( )
A.B.C.D.
解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∵点E是边BC的中点,
∴AD,
∴△BEF∽△DAF,
∴,
∴AF,
∴AE,
∵点E是边BC的中点,
∴由矩形的对称性得:
AE=DE,
∴DE,设EF=x,则DE=3x,
∴x,
∴;
选A.
例4.已知:
如图,在正方形ABCD外取
一点E,连接AE,BE,DE.过点A作AE的垂线AP交DE于点P.若AE=AP=1,,下列结论:
①△APD≌△AEB;②点B到直线AE的距离为;③EB⊥ED;
④.⑤=4+.
其中正确结论的序号是___________________.
解:
①∵∠EAB+∠BAP=90°,∠PAD+∠BAP=90°,
∴∠EAB=∠PAD,
又∵AE=AP,AB=AD,
∵在△APD和△AEB中,
,
∴△APD≌△AEB(SAS);
故此选项成立;
③∵△APD≌△AEB,
∴∠APD=∠AEB,
∵∠AEB=∠AEP+∠BEP,∠APD=∠AEP+∠PAE,
∴∠BEP=∠PAE=90°,
∴EB⊥ED;
故此选项成立;
②过B作BF⊥AE,交AE的延长线于F,
∵AE=AP,∠EAP=90°,
∴∠AEP=∠APE=45°,
又∵③中EB⊥ED,BF⊥AF,
∴∠FEB=∠FBE=45°,
又∵=2,
∴,
故此选项正确;
④如图,连接BD,在Rt△AEP中,
∵AE=AP=1,
∴,
又∵,
∴BE=2,
∵△APD≌△AEB,
∴PD=BE=2,
∴-×DP×BE=×(4+)-×2×2=.
故此选项不正确.
⑤∵,AE=1,
∴在Rt△ABF中,,
∴==5+2,
故此选项不正确.
答案为:
①②③.
同类题型4.1如图,正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发,沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止,同时点R从点B出发,沿图中所示方向按B→C→
D→A→B滑动到B止.点N是正方形ABCD内任一点,把N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P,则P=( )
A.B.C.D.
解:
根据题意得点M到正方形各顶点的距离都为1,点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心,以1为半径的四个扇形,
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积.
而正方形ABCD的面积为2×2=4,4个扇形的面积为=π,
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为4-π,
∴把N点落在线段QR的中点M所经过的路线围成的图形内的概率记为P,则.
选:
A.
同类题型4.2如图,边长为2的正方形ABCD中,AE平分∠DAC,AE交CD于点F,CE⊥AE,垂足为点E,EG⊥CD,垂足为点G,点H在边BC上,BH=DF,连接AH、FH,FH与AC交于点M,以下结论:
①FH=2BH;②AC⊥FH;③=1;④AF;⑤=FG﹒DG,其中正确结论的个数为
( )
A.2B.3C.4D.5
解:
①②如图1,∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=∠D=90°,∠BAD=90°,
∵AE平分∠DAC,
∴∠FAD=∠CAF=22.5°,
∵BH=DF,
∴△ABH≌△ADF,
∴AH=AF,∠BAH=∠FAD=22.5°,
∴∠HAC=∠FAC,
∴HM=FM,AC⊥FH,
∵AE平分∠DAC,
∴DF=FM,
∴FH=2DF=2BH,
故选项①②正确;
③在Rt△FMC中,∠FCM=45°,
∴△FMC是等腰直角三角形,
∵正方形的边长为2,
∴,-2,
∴,
CF﹒AD≠1,
所以选项③不正确;
④,
∵△ADF∽△CEF,
∴,
∴,
∴,
∴AF,
故选项④正确;
⑤延长CE和AD交于N,如图2,
∵AE⊥CE,AE平分∠CAD,
∴CE=EN,
∵EG∥DN,
∴CG=DG,
在Rt△FEC中,EG⊥FC,
∴=FG﹒CG,
∴=FG﹒DG,
故选项⑤正确;
本题正确的结论有4个,
故选C.
同类题型4.3如图,边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.有直角∠MPN,使直角顶点P与点O重合,直角边PM、PN分别与OA、OB重合,然后逆时针旋转∠MPN,旋转角为θ(0°<θ<90°),PM、PN分别交AB、BC于E、F两点,连接EF交OB于点G,则下列结论中正确的是______________.
OE;
(2)=1:
OA;(4)在旋转过程中,当△BEF与△COF的面积之和最大时,.
解:
(1)∵四边形AB