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§1第一章基础知识
1判断题：
1.1设A与B都是非空集合，那么AuB={x|xgA且xwB}。
（）
1.2AXB=BXA（）
1.3只要/是人到瓜的一一映射，那么必有唯一的逆映射厂'。
（）
1.4如果0是A到瓜的映射，则°[0（a）]二a。
（）
1.5集合A到B的可逆映射一定是A到B的双射。
（）
1.6设4、B、。
都是非空集合，则AxB到D的每个映射都叫作二元运算。
（）
1.7在整数集Z上,定义“。
”：
aob=ab（a,beZ）,则“。
”是Z的一个二元运算。
（）
1.8整数的整除关系是Z的一个等价关系。
（）
2填空题：
2.1若A二{0,1},则AxA二o
2.2设A二{1,2},B二{a,b},贝ijAXB=。
2.3设二{1,2,3}B={a,b},则AxB=。
2.4设A二{1,2},贝I」AxA二o
2.5设集合A={—1,0,1}；B={1,2},则有BxA=。
2.6如果/•是A与瓜|'可的一一映射，&是A的一个元，则.厂[/©）]=。
2.7设A二仙，弧…却，则A上不同的二元运算共有个。
2.8设A、B是集合，丨A|=丨B丨=3,则共可定义个从A到B的映射，其中
有个单射，有个满射，有个双射。
2.9设A是n元集，B是m元集，那么A到B的映射共有个.
2.10设A={a,b,c},则A到A的一一映射共有个.
2.11设A={a,b,c,d,e},则A的一一变换共有个.
2.12集合人的元间的关系〜叫做等价关系，如果〜适合下列三个条件：
2.13设A二{&b,c},那么A的所有不同的等价关系的个数为o
2.14设〜是集合人的元间的一个等价关系，它决定A的一个分类：
[詞,0]是两个等
价类。
则[a]=[h]«o
2.15设集合A有一个分类，其屮£与列是A的两个类，如果A.A.,那么
4n=
（J
2.16设A二{1,2,3,4,5,6},规定A的等价关系〜如下：
a〜bu>2|a-b,那么
A的所有不同的等价类是o
2.17设M是实数域R上的全体对称矩阵的集合，〜是M上的合同关系，则由〜给出M
的所有不同的等价类的个数是O
2・18在数域F上的所有n阶方阵的集合M”（F）中，规定等价关系〜:
A〜BO秩（A）二秩
（B）,则这个等价关系决定的等价类有个。
2.19设M血（F）是数域F上的所有100阶方阵的集合，在Mioo（F）中规定等价关系~如下:
A〜BO秩（A）二秩（B）,则这个等价关系所决定的等价类共有个。
2.20若扫｛有理数域上的所有3级方阵｝,A,BgM,定义秩（A）二秩（B）,则由”确定的等价类有个O
3证明题：
3.1设°是集合A至IJB的一个映射，对于⑦处人，规定关系“~”：
a~bo0（。
）=姙）.证明：
“〜”是A的一个等价关系.
3.2在复数集C中规定关系Q~〃o|d|=l"l.证明：
是c的一个等价关系.
3.3在n阶矩阵的集合M“（F）中规定关系"”：
冃B|.证明：
是
M"）的-个等价关系.
3.4设是集合A的一个关系，且满足：
（1）对任意处人，有G〜。
；
（2）对任意ayb,ceAf若a〜b,a〜c,就有b〜c•证明：
“~”是A的一个等价关系.
3.5设G是一个群，在G中规定关系心”：
a〜2存在于SeG，使得h=S~^g•证明：
“〜”是G的一个等价关系.
第二章群论
1判断题：
§2.1群的定义.
1・1设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条:
（A）G对于这个乘法运算都是封闭的；
（B）Va,b,cG,都有（ab）c=a（be）成立；
（C）存在G,使得X/aG,都有e沪a成立；
（D）VaG，都存在aG,使得aa二e成立。
则G关于这个乘法运算构成一个群。
（）
1.2设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条:
A）G对于这个乘法运算是封闭的；
B）Va>CGG,都有（ab）c=a（bc）成立；
C）存在e^G,使得VaeG,都有aer=a成立；
D）Vaec,都存在a_，^G,使得「a二成立。
则G关于这个乘法运算构成一个群。
（）
1.3设G是一个非空集合，在G屮定义了一个代数运算，称为乘法，如果
（1）G对乘法运算是封闭的
（2）G对乘法适合结合律（3）G对乘法适合消去律，则G构成群。
（）
1.4设G是一个有限非空集合,G中定义了一个代数运算称为乘法，如果
（1）.G对乘法运算是封闭的；
（2）.乘法适合结合律与消去律，则G对所给的乘法构成一个群。
（）
1.5实数集R关于数的乘法成群。
（）
1.6若G是一个n阶群,a.G,|a|表示a的阶，则|a|。
（）
1.7若|a|=2,|b|=7,ab=ba,则|ab|=14。
1.8设Q为有理数集,在Q上定义二元运算“。
”，aobF+b+8b（V%WQ,则（Q,。
））构成一个群。
（）
§2.2变换群、置换群、循环群
1.9一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。
（）
1.10一个集合A的所有变换作成一个变换群G.（）
1.11集合A的所有的一一变换作成一个变换群。
（）
1.12素数阶群都是交换群。
（）
1.13p（p为质数）阶群G是循环群.（）
1.14素数阶的群G—定是循环群.（）
1.153次对称群»是循环群。
（）
1.16任意群都同构于一个变换群.（）
1.17有限群都同构于一个置换群。
（）
1.18任何一个有限群都与一个循环群同构。
（）
1.19在5次对称群乂中，（15）（234）的阶是6.（）
1.20在4次对称群0中，（12）（324）的阶为6。
（）
1.21
在比中,（12）（345）的阶是3。
（
）
1.22
任意有限群都与一个交换群同构。
（
）
1.23
因为2'阶群是交换群,
所以6邛介群也为交换群。
（
）
1.24
6阶群是交换群。
（
）。
1.25
4阶群一定是交换群。
（）
1.26
4阶群一定是循环群。
（）
1.27
循环群一泄是交换群。
（）
1.28
设G是群，a,bGG,
|a|=2,|b|=3,
贝!
J|ab|=6。
（
）
1.29
14阶交换群一定是循环群。
（）
1.30如果循环群G=@）中生成元d的阶是无限的，则G与整数加群同构。
（）
1.31有理数加群Q是循环群。
（）
1.32若一个循环群G的生成元的个数为2,则G为无限循环群。
（）
§2.3子群、不变子群。
1.33若II是群G的一个非空子集，且Va,beH都有aben成立，则H是G的一个子群。
（）
1.34若H是群G的一个非空有限子集，且Va,beH都有ab^H成立，则H是G的一
个子群。
（）
1.35循坏群的子群也是循环群。
（）
1.36如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。
（）
1.37一个阶是11的群只有两个子群。
（）
1.38有限群&中每个元素Q的阶都整除群G的阶。
（）
1.39设G是一个n阶群，则G屮一定有m阶子群存在。
1.40若G是60阶群，则G有14阶子群。
（）
1.41设G是60阶群，则G有40阶子群。
1.42阶为100的群一定含25阶元。
（）
1.43阶为100的群一定含25阶子群。
（）
1.44阶为81的群G中，一定含有3阶元。
1.45设H是群G的一个非空子集，则HSGoHH"=H。
1.46设II是群G的一个非空子集，则HSGoHH—'。
1.47群G的子群H是不变子群的充要条件为P?
GH;g-'Hg匸H。
（）
1.48群G的一个子群H元素个数与H的每一个左陪集的个数相等.（）
1.49指数为2的子群不是不变子群。
（）
1.50若NAH,HAG,则N^G。
（）
1.51若N是群G的不变子群,N是群N的不变子群，则N是G的不变子群。
（）
1.52设HWG,KWG,则HKWG。
（）
1.53若N（）
§2.4商群、群的同态定理。
1.54群之间的同态关系是等价关系。
（）
1.55循环群的商群是循环群。
（）
1.56设f：
Gt石是群G到群T的同态满射，aeC,则a与f（a）的阶相同。
（）
1.57设G是有限群，HWG,贝】J|%匸回。
（）
/H\H\
1.58若°是群G到G的同态满射，n是G的一个不变子群，则。
（N）是G的不变子群，且%三%（“）。
（）
1.59设f是群G到群&的同态映射，H°G,贝ljf（H）^Go（）
1・60设f是群G到群G的同态映射，HWG贝ljf（H）wG。
（）
1.61若是群G到的一个同态满射,N是G的一个不变子群，贝0（7）是的不变子群，且二
1.62若是群G到的同态满射，是的一个不变子群，（）表示“的原象，则（）是G不变子群,且=o（）
1.63设G和G都是群，GmG,N\GN二0（N）,贝IJN^G,且G//V三G//V。
（）
2填空题：
2.1在群G中，a,bWG,a2=e,aJba=b2,则|b|=。
2.2在交换群G中，a,bEG,|a|=8,|b|=3,则b|=。
2.3设a是群G的元"的阶为6,则『的阶为。
2.4设a是群G中的一个8阶元，则a的阶为。
2.5设G是交换群，b^G,|a|=5,|b|=7,则|sb|二。
2.6群AG中有个1阶元。
2.7在S5中，4阶元的个数为
0
2.8在S.i中，3阶元的个数为
0
2.9设G为群，aeGf若乂
'"2,则
0
240设群G二（e,an购…
an-1},运算为乘法，e为G的单位元，则二
2.11若a,b是交换群G中的5阶元和/阶元，则sb的阶为。
2.12在整数加群Z中，<4>0<6>=o
2.1310阶交换群G的所有子群的个数是。
2.14阶数最小的非交换群的阶数是。
一个有限非可换群至少含有
个元素.
2.15任意群G一定同构于G的一个c
2.16n次对称群Sn的阶是。
（123456789）
2.179-置换，分解为互不相交的循环之积是。
（543961827丿
2.18n阶有限群G—定置换群。
2.19每一个有限群都与一个群同构。
（12345）
（J=
2.20已知（3125"丿为S5上的元素，则1=。
2.21给出一个5-循环置换龙=（31425）,那么龙
2.22在4次对称群S（屮，（134）2（312）、
2.23在4次对称群，中，（24）（231）=,（4321）_1=,
（132）的阶为c
2.24在6次对称群S中，（1235）（36）=。
2.25（2431）"二o
2.26设群G的元a的阶是n,则扌的阶是.
2.27设群G屮元素。
的阶为加，如果an=ef那么加与"存在整除关系为。
4
2.28已知群G中的元素Q的阶等于50,则°的阶等于o
2.29设G=（d）为循环群，那么
（1）若°的阶为无限，则G同构于,
（2）
若Q的阶为n,则&同构于。
2.30若群G是一个6阶循环群，则G与（模6剩余类同构）同构。
2.31设G二@）是循环群，则G与模刃的剩余类加群同构的充要条件是
2.32整数加群（Z,+）的两个生成元是—+1和-1。
2.33整数加群Z有个生成元.
2.34整数加群（Z,+）的生成元是。
2.35无限循环群G=（a）的生成元为/的逆o
2.36无限循环群G中能作为G的生成元的元素共有个。
2.37若G二（a）是一个无限循环的乘法群，则G的另一个生成元是a的逆元—。
2.38剩余类加群Z共有_4个元可作为它的生成元。
2.3916阶循环群G屮能作为G的生成元的元素的个数为—8。
2・40模10＜1379＞剩余类加群（Z,+）中能作为Z的生成元的元素有。
2.41设G二⑷是12阶循环群，则G的生成元是。
2.42设G是一个阶群，其中"是一个素数，加是一个正整数，则G的真子群的
一切可能的阶数是O
2.43设G是p阶群，（p是素数），则G的生成元有个.
2.44剩余类加群Z|2有个生成元.
2.45设H是群G的非空子集，则H是G的子群的充要条件是。
2.46设6=（a）是6阶循环群，则G的子群有。
2.47设群G是24阶群，G中元素a的阶是6,则元素J的阶为,子
群H=＜『＞的在G中的指数是。
2.48设为群G的子群，则£企是群&的子群的充分必要条件为o
2.49设丹是群G的子群，a,bwG,则Ha=Hbo。
2.50在3次对称群S冲，H={
（1）,（12）}是S3的一个子群,贝IJH（23）=.
在3次对称群S3屮，H={
（1）,（23）},则S3对H的右陪集分解式是
的子群H={
（1）,（123）,（132）}的一切右陪集
G二（a）是21阶群，11=（/）.贝o
凯莱定理说：
任一个子群都同一个同构。
凯莱定理的内容是：
任一个子群都同一个同构。
设G是群，N是G的非空子集，则NAG的充要条件是
6阶循环群有个子群.
设G是由a生成的30阶循坏群，H=,则G/II=。
3%
设G=（a）是10阶群，H=（a）,则/H=。
设化ATN,^匸刁，则处旷⑶上.
16阶循坏群G中能作为G的生成元的元素的个数为o
设°；A,则0®⑷）=。
模10的剩余类加群乙0的生成元为o
设a是群G中的一个6阶元，则°的阶为o
一个6阶的非交换群G中的非单位元的阶一定是o
剩余类加群（乙2，+）中能作为它的生成元的元素有。
设G是群，a,beG,|a|=12,贝!
j|baI0b11=。
设G是一个20阶的交换群，aeG,|a|=2,则G/竺
在整数加群Z中，H在整数加群Z中，H=<-4>则上：
H]=在12阶循环群G中，G=,H=,则
在4次对称群h中，S={（123）},则二
在S冲,*235）（13）（24），则”二
21阶群G屮，7阶子群的个数为o
设nM,商群%中的单位元是
在整数加群Z屮，H二〈3〉SZ,/h=?
则&二o
设G,&分别为m,n阶循环群，则G】〜G?
的充要条件是
Z彳到Z2的所有同态映射是。
2.80在整数加群Z中，<12>+<18>+<10>二o
2.81在同构的意义下，6阶群有种。
2.82设G是模4的剩余类加群，那么Aut（G）=。
2.83设G是正有理数作成的乘法群，qWG,沪2”£（p,q为奇数，n为整数），令°：
q
仏°是G到（Z,+）的同态映射，贝ijKer^=。
2.84设G,H是两个阶互素的有限群，则G到II的同态映射f为o
2.85在环R二4Z二｛4k|kGZ）中，（8）=。
2.86在整数加群Z屮，S二｛22,32｝则〈S>二o
2.87设群G中元素a的阶为加，如果出=e,那么m与n存在整除关系为。
2.88设&是一个〃阶交换群，。
是G的一个加（m2.89
7、一个非正方形的长方形S的对称群是｛｝。
13、平而上的正方形的对称群是o
72.设a,b是群G的两个元素，满足aba=ba2b,a3=l,b-1,贝Ub二。
3证明题：
3.1令G=｛A\A为n阶正交矩阵｝.证明，G对于矩阵的普通乘法作在一个群.
3.2设G是整数集，规定运算：
g㊉b=a+b+4,PagG•证明：
G对运算㊉作成一个群.
3.3方程x3-l=0在复数范围内的三个根关于数的乘法构成群.
3.4｛（□1）*（V-1）*（71）*I0-1:
Q关于矩阵
的乘法构成群.
3.5全体可逆的也阶方阵的集合<7£»（R）（n>1）关于矩阵的乘法构成一个非交换群.这个群的单位元是单位矩阵，每个元素（即可逆矩阵）▲的逆元是▲的逆矩阵.
3.6设R为实数集，gbwR,ar0,令仏：
Rt,将尺的
所有这样的变换构成-个集合°二也爲也恥恥工°｝,试证明：
对于变换普通的乘法,G作成一个群。
3.7证明：
若群G的每个元素都满足方程兀2=丘，则G是一个Abel群（交换群）.
3.8设G是一个群，证明：
G是交换群的充分必要条件是，对任意agG,都有（ab）2=a2b2
3.9证明：
在群G中，。
一'与。
有相冋的阶.
3.10证明：
在群G中，。
与加犷有相同的阶.
3.11证明：
在n阶群G中每个元都满足xn=e.
3.12设0为群.Jbg证明：
心-、与b有相同的阶.
3.13证明：
在群G中,ab与ba有相同的阶.
3.14设。
为群.吗证明：
aba、ka,aat有相同的阶.
3.15设厂为。
到G的同构映射，ae<3证明：
诚”与&有相同的阶.
3.16设。
为群，a€G,a的阶为级&=（♦>»）.证明：
<>3.17设awG,J的阶为®证明"的阶是巨，其中S。
3.18证明：
循环群是交换群.
3.19证明：
有限群中阶数大于2的元的个数必是偶数.
3.20证明：
任意偶数阶群必含有阶为2的元素.
3.21设"为素数.证明：
绻中每一个非零元都是生成元.
3.22设G是一个群，ZG.若a的阶是正整数n.证明：
对〃丘乙、2=e<=>〃|加.
3.23设G是一个交换群，m是固定的正整数.令H={aEG\a,n=e].证明：
“是g的一个子群.
3・24假定么和$是一个群G的两个元并且必・加，又假定么的阶是»,*的阶是®（».川・1,证明：
妙的阶是押。
3.25设治，比是群G的子群.证明：
HfH?
也是G的一个子群.
3.28若群G的阶是素数p,则G是一个循环群，试证之.
3.29证明：
循环群的子群也是循环群.
3.30若群G与群G同态，且G是循环群，证明：
G也是循环群.
3・31证明：
阶为""的群（p是素数）一定包含有一个阶为p的子群.
3.32设H,K是群G的不变子群，证明：
HK也是G的不变子群。
3.33设H,K是群G的不变子群，且H^K={e].证明：
V/?
gHykeK,都有hk=kh
3.34设H,K是群G的不变子群，证明：
HCK也是G的不变子群。
3.35设H是群G的子群，N是G的不变子群。
证明：
HN是G的子群.
3.36设G是一个n阶有限群.证明：
G的每一个元素都满足方程・
3.37设G是一个群，C=处VxwG}是g的中心，证明：
C是G
的一个不变子群.
3.38设C是群G的中心，即C={aeG\ax=xa,VxgG}.且商群％是循环
群.证明：
G交换群.
3.39若G是循环群，H是G的一个子群.证明：
％也是循环群.
3.40设G是一个群，令.证明：
。
是g到G的同构映射的充分必
要条件是：
G是一个交换群.
3・41设H是群G的子群，令Nc（H）={x|xgG,xH=Hx},证明Ng（H）是G的子群.
3.42设G是群，令C={x|xgG,VyeG,xy二yx},证明C是G的正规子群。
3.43设G二（a）是一无限循环群，证明G的生成元只有两个。
除单位元之外不含有限阶元素。
3.45取定群G的元u,在G屮定义新的"o":
aob=aub.Fa.G.证明（G,o）是群.
3.46证明循环群的子群也是循环群。
3.47设p是一个素数，证明2p阶群G中一定有一个p阶子群N。
3.48若G是一个群是G的单位元,G中任何元都是方程厂二丘的解，证明G是一个交换群。
3.49若G是一个循环群,N是G的一个子群，证明也是一个循环群.
3.50证明阶是素数的群一定是循坏群。
3.51设G是一个43阶的有限群，证明G的子群只有单位元群及G本身。
3.52证明：
群G为交换群为G到G的一个同构映射。
3.54设G是群，f：
G-G,（QWG）证明f是群G的自同态°G是交换群。
3・55设G二{（a,b）|a,bGR,GH°},在G上定义“。
”：
（《b）°（°〃）=仏皿+"）证明（G,。
）构成一个群。
3.56设G是有限交换群,f：
G->G,f（g）=gk（Vg€G）证明代Aut（G）O（k,|G|）二1。
3.57设G是100阶的有限交换群,f:
G->G,f（g）=g49（VgGG）,证明fGAut（G）o
3.58设aSg,B§G如果存在a,G,使得Aa二Bb,则A二B。
3.59设G是交换群，m是固定的整数，令11={ala^G,a,u=e）,证明1曲。
3.60设皿,令Cg（H）=（glg^G,VheH,gh=hg},证明Cc（H）^Go
3.61设G是非空有限集合，“。
”是G的一个二元运算，“。
”适合结合律及左、右消去律，证明：
（G,。
）构成一个群，当G是无限集时呢？
3.62设G是2000阶的交换群，H%是一个循环群。
3.63证明：
无限循环群的生成元的个数只有两个。
反之，一个循环群G的生成元只有两个，则G是否一定同构于Z?
3.64设G是一个循坏群，|G|#3,4,G的生成元的个数为2,证明G三Z。
3.65设G是有限群，H3.66设G是奇阶群，则对任意geG,存在唯一元x^G,使萨
3.67证明：
整数加群Z与偶数加群2Z同构。
3.68设H（1）证明：
gHg^Go
（2）证明：
h三
3.69设+={:
"|a,be,G对复数的加法构成群，H
对矩阵的加法也构成群，证明：
G=H0
3.70设II是群G的非空子集，且H中元的阶都有限，证明：
HSGoH'uH。
3.71设Ng唱No
3.72设G是群，a,bWG,ab=ba,|a|=m,|b|=n,0={e}.证明：
|ab|=[m,n]（[m,n]是m,n的最小公倍数）。
3.73设b是一个n次置换，集合X={1,2,3,…，n},在X中，规定关系为k〜1O%WZ,使<7r（k）=l.证明：
"”是X上的一个等价关系。
3.74设K={
（1）,（12）（34）,（13）（24）,（14）（23）}证明:
K%。
3.75设G是群，H~是@的一个等价关系，且8所在的等价类[a]=Ha0
3.76证明：
15阶群至多含有一个5阶子群。
3.77设H^G,若II的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集
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