五年级下册数学试题培优专题讲练第29讲巧解长方体和正方体人教版.docx

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五年级下册数学试题培优专题讲练第29讲巧解长方体和正方体人教版

第29讲巧解长方体和正方体

（一）

展开与构成

巧点晴——方法和技巧

长方体和正方体都是立体图形。

将空间的位置关系转化成平面的位置关系来处理，是解决立体图形问题的一种常见思路。

巧指导——例题精讲

A级冲刺名校·基础点晴

【例1】有一块用橡皮泥做成的立方体，将它切成两半，截面可以有哪些形状？

分析与解

（1）截面可以是三角，如图1所示；

（2）截面可以是四边形，如图2所示；

（3）截面可以是五边形，如图3所示；

（4）截面可以是六边形，如图4所示。

做一做1一个长方体，将它切成两半，怎样切才能使截面积最大？

【例2】图1表示是一个正方体，图2表示的是这个正方体的展开图。

图1的四边形APQC是表示平面截面，请把截面边线的大致图形在图2的展开图上画出来。

解先在图2上找到Q，P两点，然后再画出APQC在展开图上的线段，如图3所示。

做一做2下面的四个展开图中，哪一个是右图所示的正方体的展开图？

【例3】下图正方体的展开图之一。

问：

用它组成正方体时，图中的哪一边与带★记号的边相接触？

解对于这个问题，考虑将各面拼凑成正方体是一种方法，但如果只考虑边和边连接会更简捷。

因为☆和G连接，H和I连接，且X，Y，Z三点重合为正方体的一个顶点，所以与★连接的是K边。

做一做3将下图折叠成一个正方体，相对两个面上的数字之和最大的是几？

B级培优竞赛·更上层楼

【例4】有五块一样的小积木摆成一排（如右图），问：

五块积木底面的数字之和是多少？

分析与解五块相同的小积木有三块标出了5，

并且5和1，2，3，6相邻，所以5的对面应是4；

2与1，3，5相邻，因为5与4相对，故2也与4

相邻，所以2的对面是6；剩下的1与3必相对。

五块积木底面的点数从右至左依次是4，6，3，1，4，其和为4＋6＋3＋1＋4=18.

做一做4有五颗相同的骰子摆成一排（如下图），问：

五颗骰子底面的点数之和是多少？

【例5】如图1，用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视图和侧视图，问：

所堆的立体的体积至少是多少？

分析与解请用积木将具有这个最小体积的立体堆放出来，

从下向上数：

第一层有11个积木块；

第二层至少有5个积木块；

第三层1个积木块；第四层1个积木块，

所以，所堆的立体的体积至少是18。

具有这个最小体积18的立体堆放出来，如图2所示，

做一做5如图，下列立体图形中，和可以合并成一个长方体？

【例6】如图1、图2所示，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型（沿虚线折，沿实线粘）。

问：

这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是多少？

解从图1（展开图）可以看出，粘成后的多面体有12个正方形和8个三角形，共20个面。

在图2（立体图）多面体上部的中间是一个正三角形，这个正三角形的三边与三个正方形相连，这样上部共有9个顶点，下部也一样。

因此，多面体的顶点总数为9×2=18（个）。

棱数分为上、中、下三层，上层如图2所示，共有15条；中层有6条（侧面是6个正方形）；下层也是15条。

因此，多面体的总棱数为15×2＋6=36（条）。

综上所述，多面体的面数、顶点和棱数之和为20＋18＋36=74。

小结数学家欧拉有一个公式：

V＋F－E=2。

公式中的V表示顶点数，E表示棱数，F表示面数。

做一做6一个正方体的8个顶点被截去后，得到一个新的几何体，如下图所示。

问：

这个新的几何体有多个面？

多少个顶点？

多少条棱？

C级（选学）决胜总决赛·勇夺冠军

【例7】用27个棱长1厘米的小方木块，可以拼成一个表面积是54平方厘米的大正方体（如图1）。

将图1中右上角的方木块A取走，剩下的几何体（如图2）表面积不变。

问：

在保证每一个小方木块与一个小木块有一个面相贴的条件下，从图1中最多取走几个小方木块，剩下的新几何体表面积仍是54平方厘米？

分析与解这道题如果人面去想，不易找到答案，我们不妨先构造一个符合条件的新几何体。

我们想，要使取走的小木块最多，就是剩下的小方木块要最小，而表面积仍是54平方厘米，也就是剩下的小方木块露在表面的面要尽可能多。

首先考虑第一层，符合以上条件的只有图3，此时的表面积为

12×6×5=30（厘米2）

再考虑“每一个小方木块至少与另一个小方木块有一个面相贴”这个条件，我们在第一层上再加一层，如图4，此时的表面积为

30×2－12×10=50（厘米2）

表面积还缺4平方厘米，我们只要在任一个小方木块上再加一个小木块即可。

剩下的这个新几何体共使用了11个小方木块，所以拿去的小方木块至多是27－11=16（块）。

做一做7从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？

（写出符合要求的全部答案）

巧练习——温故知新（二十九）

A级冲刺名校·基础点晴

1.在下面右边的三幅图中，有一个不是左边正四面体的展开图，请将它找出来。

2.将右下图沿虚线拆成一个立方体，那么，它的相交于顶点处的三个面上的数字之和的最大值是多少？

最小值是多少？

3.有四块相同的小积木，每块的展图如图1所示。

问：

在图2中，从上往下数第二、三、四块小积木的上顶面的点数之和是多少？

4.将一个立方体纸盒沿棱剪开，使之展开为如下图所示的图形，那么，一共要剪开几条棱？

5.请你在图3上面出三种和图2不一样的设计图，使它们折出来后都成图1所示的长方形盒子（粗线和各棱交于中点）。

B级培优竞赛·更上层楼

6.小玲有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，如图。

正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1：

2，她用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒，正好将纸板用完。

问：

在小玲所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横工纸盒的总数之比是多少？

7.用两个平面去截下图中的正方体，你能在这个正方体的展开图中画出相应的截线吗？

8.图中第1格内放着一个立方体木块，木块六个面上分

别写着A，B，C，D，E，F六个字母，其中A与D，B与

E，C与F相对。

如果将木块沿图中方格滚动，那么，木块

滚动到第21格时，木块正对读者的面写的是哪个字母？

9.下面左边的图形是右边图几的表面展开图？

10.下边的正方体中，沿截面EFG切去一个角A-EFG，切面右侧几何体的展开图是下列平面图形中的哪一幅？

C级（选学）决胜总决赛·勇夺冠军

11.如图1所示，将立方体绕它的对角线AC旋转，应该形成图2中哪种立体图形？

12.如图，将图中的硬纸片沿虚线折起来，便可折成一个正方体。

问：

这个正方体的2号面对面是几号面？

13.有许多边长是3厘米、2厘米、1厘米的正方形硬纸片，用这些纸片拼成一个长5厘米、宽3厘米的长方形纸板，一共有种不同的拼法。

14.有8个棱长是1的小正方体，每个小正方体有三组相对的面，第一组相对的面上都写着数字1，第二组相对的面上都写着数字2，第三组相对的面上都写着数字3（如图）。

现在把这8个小正方体拼在一个棱长是2的大正方体。

问：

是否有一种拼合方式，使得大正方体每一个面上的4个数字之和恰好组成6个连续的自然数？

巧总结

本节我的收获是：

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不足之处有：

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