大连民族大学软件工程离散数学课程设计.docx

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大连民族大学软件工程离散数学课程设计

大连民族学院

计算机科学与工程学院实验报告

实验题目：

1.二元关系

2.代数系统

课程名称：

离散数学

实验类型：

□演示性□验证性□操作性□设计性☑综合性

专业：

软件工程班级：

132班学生姓名：

黄正勤学号：

2013082204

实验日期：

2014年11月22日—12月15日

实验地点：

金石滩校区机房

实验学时：

16学时实验成绩：

指导教师：

焉德军姜楠

二元关系

（一）

1.实验题目

对给定表示有穷集上关系的矩阵，确定这个关系是否是自反的或反自反的；对称的或反对称的；是否传递的。

2.实验原理

从给定的关系矩阵来断判关系R是否为自反是很容易的。

若flay（R的关系矩阵）的主对角线元素均为1，则R是自反关系；若flay（R的关系矩阵）的主对角线元素均为0，则R是反自反关系；若flay（R的关系矩阵）的主对角线元素既有1又有0，则R既不是自反关系也不是反自反关系。

而对于对称性，只需要判断矩阵所有的flay[i][j]与其对应的flay[j][i]是否都相等；若全部相等，则为对称；否则反之。

对于传递性，则需要利用线性代数的方法求出R的关系矩阵的平方矩阵，只需验证所有的flag[i][j]（R的关系矩阵的平方矩阵）等于1的地方，在flay[i][j]（R的关系矩阵）等于1，则具有传递性；否则反之。

3.实验的步骤及实验记录

011

（1）先输入一个整数，表示矩阵的阶数。

接着输入矩阵，这里以输入矩阵001

000

例，在根据矩阵左上到右下的flay[i][i]的值是否为1判断矩阵是否自反或反自反，判断矩阵是否自反或反自反的代码如下：

for（i=0;i

{

for（j=0;j

{

if（i==j）

{

if（flay[i][j]==1）

count_1++;

elseif（flay[i][j]==0）

count_2++;

}

}

if（count_1==a）

cout<<"自反"<

elseif（count_2==a）

cout<<"反自反"<

输入矩阵后输出的实验结果如下：

（2）判断对称的或反对称只需要flay[i][j]是否与flay[j][i]相等；若全部相等，则为可对称；否则反之。

代码如下：

for（i=0;i

{

for（j=0;j

{

if（flay[i][j]==flay[j][i]）

count_1++;

else

{

count_2=1;

break;

}

}

if（count_1==a*a）

cout<<"对称性"<

elseif（count_2==1）

{

cout<<"反对称"<

break;

}

}

运行结果如下：

（3）而对于判别是否具有传递性，则相对前面两个性质来说比较复杂，关键是求出原矩阵flay的平方矩阵flag，这里通过线性代数的方法求出flay矩阵的平方矩阵flag，求平方矩阵的方法是：

第一个矩阵flay[i][j]等于flay[i][j]乘以第二个矩阵的第j列之总和；j++完后再i++，以后便可求出平方矩阵。

然后在比较在平方矩阵flag[i][j]为1的位置，在原矩阵flay[i][j]中是否都为1；若flag矩阵中所有的为1的地方，在flay中都为1，则具有传递性；否则反之；最后输出该平方矩阵。

代码如下所示：

intk;

for（i=0;i

{

for（j=0;j

{

flag[i][j]=0;

for（k=0;k

flag[i][j]=flag[i][j]+flay[i][k]*flay[k][j];

}

if（flag[i][j]==1）

count_2++;

}

for（i=0;i

{

for（j=0;j

{

if（flag[i][j]==1&&flay[i][j]==1）

count_3++;

elseif（flag[i][j]==1&&flay[i][j]==0）

{

count_1=1;

break;

}

}

if（count_1==1）

break;

}

if（count_2==count_3&&count_2!

=0&&count_3!

=0）

cout<<"传递性"<

else

cout<<"非传递性"<

cout<<"该矩阵的平方为：

"<

for（i=0;i

{

for（k=0;k

cout<

cout<<"\b"<

}

运行结果如下：

以上便是对自反或反自反，对称或反对称，是否传递等性质的判断过程，代码及运行代码的结果。

4.实验总结

此题为验证性题目，验证性题目主要是通过其原理以及相关的概念来证明。

通过此题对验证性题目的分析有很大的提高。

（二）

1.实验题目

判断一个二元关系是否为等价关系，如果是，求其商集。

2.实验原理

要判断一个二元关系是否是等价关系，则要判断这个关系是否具有自反性，对称性和传递性；假如这三个条件都同时符合，则该二元关系具有等价关系。

这里以为A={1，2，3，4,5,6,7}，R={<1,4>,<1,7>,<4,1>,<4,7>,<7,1>,<7,4>,<2,5>,<5,2>,<3,6>,<6,3>}UIa为例。

自反性的判别与上题一样，都是判别flay[i][i]是否都等于1；若flay[i][i]全部等于1，则具有自反性；否则反之。

对于对称性与上题也一样，就是判断所有的flay[i][j]与flay[j][i]是否全部相等；若全部相等，则具有对称性；否则反之。

传递性的判断，则需要利用线性代数的方法求出R的关系矩阵的平方矩阵，只需验证所有的flag[i][j]（R的关系矩阵的平方矩阵）等于1的地方，在flay[i][j]（R的关系矩阵）等于1，则具有传递性；否则反之。

3.实验步骤及实验记录

（1）先输入一个整数，表示矩阵的阶数；接着输出初始空矩阵。

然后一组一组的输入R在A上的关系，输入00时结束；接着输出关系矩阵，判别与输入的关系是否一致。

代码如下所示：

voidInput（）

{

for（i=1;i<=n;i++）

{

for（j=1;j<=n;j++）

flay[i][j]=0;

}

for（i=1;i<=n;i++）

{

for（j=1;j<=n;j++）

cout<

cout<

}

R（）;

}

voidR（）

{

cout<<"请输入两个位置有关系的数值,输入“00”结束R的输入：

"<

cin>>a>>b;

if（a!

=0&&b!

=0）

{

flay[a][b]=1;

R（）;

}

}

voidOutput（）

{

for（i=1;i<=n;i++）

{

for（j=1;j<=n;j++）

cout<

cout<

}

}

代码运行结果如下所示：

（2）在根据矩阵左上到右下flay[i][i]的值是否为1判断矩阵是否是自反或反自反，判断矩阵是否自反或反自反的代码如下：

intcount=0;

for（i=1;i<=n;i++）

{

for（j=1;j<=n;j++）

{

if（i==j）

{

if（flay[i][j]==1）

count_1++;

elseif（flay[i][j]==0）

count_2++;

}

}

}

if（count_1==n）

{

cout<<"自反性"<

syb_3=1;

}

else

cout<<"反自反性"<

代码运行结果如下所示：

（3）判断对称的或反对称只需要flay[i][j]是否与flay[j][i]相等；若全部相等，则为可对称；否则反之。

代码如下：

for（i=1;i<=n;i++）

{

for（j=1;j<=n;j++）

{

if（flay[i][j]==flay[j][i]）

count_1++;

else

{

count_2=1;

break;

}

}

if（count_2==1）

{

break;

}

}

if（count_2==1）

{

cout<<"反称性"<

}

else

{

cout<<"对称性"<

syb_1=1;

}

代码运行结果如下所示：

（4）而对于判别是否具有传递性，则相对前面两个性质来说比较复杂，关键是求出原矩阵flay的平方矩阵flag，这里通过线性代数的方法求出flay矩阵的平方矩阵flag，求平方矩阵的方法是：

第一个矩阵flay[i][j]等于flay[i][j]乘以第二个矩阵的第j列之总和；j++完后再i++，以后便可求出平方矩阵。

然后在比较在平方矩阵flag[i][j]为1的位置，在原矩阵flay[i][j]中是否都为1；若flag矩阵中所有的为1的地方，在flay中都为1，则具有传递性；否则反之；最后输出该平方矩阵。

代码如下所示：

intk;

for（i=1;i<=n;i++）

{

for（j=1;j<=n;j++）

{

flag[i][j]=0;

for（k=1;k<=n;k++）

flag[i][j]=flag[i][j]+flay[i][k]*flay[k][j];

if（flag[i][j]!

=0）

count_2++;

}

}

for（i=1;i<=n;i++）

{

for（j=1;j<=n;j++）

{

if（flag[i][j]!

=0&&flay[i][j]==1）

{

flag[i][j]=1;

count_3++;

}

elseif（flag[i][j]!

=0&&flay[i][j]==0）

{

flag[i][j]=1;

count_1=1;

break;

}

}

if（count_1==1）

break;

}

if（count_2==count_3&&count_2!

=0&&count_3!

=0）

{

cout<<"传递性"<

syb_2=1;

}

else

cout<<"非传递性"<

cout<<"该矩阵的平方为：

"<

for（i=1;i<=n;i++）

{

for（k=1;k<=n;k++）

cout<

cout<<"\b"<

}

代码运行结果如下所示：

（5）对于商集，只需判断哪个几个原变元之间同时具有自反，对称和传递关系即可。

代码如下所示：

cout<<"其商集为：

"<

inta[100];

if（syb_1==1&&syb_2==1&&syb_3==1）

{

for（i=1;i<=n;i++）

{

a[i]=i;

}

for（i=1;i<=n;i++）

{

if（a[i]!

=0）

{

cout<<"{";

for（j=1;j<=n;j++）

{

if（flay[i][j]!

=0&&a[j]!

=0）

{

cout<

a[j]=0;

}

}

cout<<'\b'<<"}"<<"";

}

}

}

else

{

cout<<"不是等价关系"<

cout<<"不存在商集"<

}

运行结果如下：

4.实验总结

通过此题不仅可以熟悉等价关系的概念和条件，还可以理解商集的含义以及求商集的方法。

提高对问题的分析能力和答题能力。

代数系统

1.实验题目

输入代数系统〈G，*〉的集合G和*运算的运算表，判断〈G，*〉是否是群。

2.实验原理

判断一个代数系统是否为群的三个条件为：

该代数系统是可结合的半群，具有幺元的独异点，G上每个元素都有逆元。

即是代数系统，*为二元运算，如果*运算时可结合的，存在单位元e在G内，并且对G中任何元素X都有X-1在G内，则称为群。

证明*运算可结合的原理是（X*Y）*Z=X*（Y*Z）即可。

要证明死独异点，则要证el*X=x且X*er=X，则e就是幺元即可。

而要证明有逆元，即证明yl*X=e（e为逆元）且X*yr=e（e为逆元）则y就是逆元即可。

这就是证明群的原理。

3.实验步骤及实验记录

*eabc

eeabc

本题以代数系统aaecb为例

bbcea

ccbae

（1）输入一个整数N，表示有N个变量；在逐个输入变元，然后在逐个输入两个变元关于*运算后相应的结果，最后输出该代数系统。

代码如下：

cout<<"请输入变元的个数：

";

cin>>n;

for（k=1;k<=n;k++）

{

cout<<"请输入第"<

";

cin>>flay[k];

}

for（i=1;i<=n;i++）

for（j=1;j<=n;j++）

{

cout<<"请输入"<

";

cin>>a[i][j];

}

运行结果如下所示：

（2）证明可结合性，其原理是在一个代数系统中（X*Y）*Z=X*（Y*Z），此处是本人认为用代码证明群的难点所在。

需要用一个compute（i,j）函数去查找X,Y关于

*运算后的结果，再用conpute（i，j）函数返回来的值在做一次compute（i,j）函数得出最后结果。

这样既可以比较（X*Y）*Z与X*（Y*Z）的值是否一样。

代码如下：

voidJieHe（）

{

for（i=1;i<=n;i++）

{

for（j=1;j<=n;j++）

{

for（k=1;k<=n;k++）

{

if（compute（compute（i,j）,k）==compute（i,compute（j,k）））

count_1++;

else

{

count_2=1;

break;

}

}

if（count_2==1）

break;

}

if（count_2==1）

break;

}

if（count_2==1）

{

cout<<"该代数系统不可结合！

"<

exit（0）;

}

if（count_1==n*n*n）

cout<<"*运算可结合！

"<

"<

}

intcompute（intx,inty）

{

for（t=1;t<=n;t++）

{

if（flay[t]==a[x][y]）

{

returnt;

}

}

return-1;

}

运行结果如下所示：

（3）证明有幺元，即为独异点。

要证明el*X=x且X*er=X，则e就是幺元。

代码如下所示：

for（i=1,s=1;i<=n;i++）

{

count_1=0;

count_2=0;

for（j=1;j<=n;j++）

{

if（a[i][j]==flay[j]）

{

count_1++;

}

}

if（count_1==n）

{

for（k=1;k<=n;k++）

{

if（a[k][i]=flay[k]）

count_2++;

}

}

if（count_2==n）

{

cout<<"幺元为：

"<

s=flay[i];

count_3++;

}

}

if（count_3!

=0）

cout<<"该代数系统是独异点！

"<

else

{

cout<<"该代数系统不是独异点！

"<

exit（0）;

}

运行结果如下：

（4）证明有逆元。

即证明yl*X=e（e为幺元）且X*yr=e（e为幺元）则y就是逆元。

代码如下所示：

for（i=1;i<=n;i++）

for（j=1;j<=n;j++）

if（a[i][j]==s&&a[j][i]==s）

{

cout<<""<

"<

count_4++;

}

cout<

if（count_4==n）

{

cout<<"该代数系统存在逆元！

"<

"<

}

else

cout<<"此代数系统不是群！

"<

代码运行结果如下：

4.实验总结

此题为验证性题目，通过做出此题，了解了群的概念，群的定义以及求群的条件，即：

运算可结合，存在单位元，每个原变元都存在逆元。

此题还涉及到了矩阵相乘的方法，可以很好的锻炼思维能力和理解能力。