中考数学动点问题复习.docx

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中考数学动点问题复习

中考数学复习

（一）动点型问题

一、中考专题诠释

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.

“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。

二、解题策略和解法精讲

解决动点问题的关键是“动中求静”.

从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

三、中考考点精讲

考点一：

建立动点问题的函数解析式（或函数图像）

函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.

例1如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（　　）

A．

B．

C．

D．

对应训练

1．如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点二：

动态几何型题目

（一）点动问题．

例2如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t秒，y=S△EPF，则y与t的函数图象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

对应训练

2．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

（二）线动问题

例3如右图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

对应训练

3．如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D．设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是（　　）

A．

B．

C．

D．

（三）面动问题

例4如图所示：

边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s与t的大致图象应为（　　）

A．

B．

C．

D．

对应训练

4．如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点三：

动点综合题

动态问题是近几年来中考数学的热点题型，解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.

（一）因动点产生的等腰三角形问题

例1如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠

PDQ＝90°．

（1）求ED、EC的长；

（2）若BP＝2，求CQ的长；

（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．

图1备用图

例2如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

例3如

图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？

若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

例4如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数

的图象交于点A，且与x轴交于点B．

（1）求点A和点B的坐标；

（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到

达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．

①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？

若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

图1

例5如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

（3）若

，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

图1

例6如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．

（1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP＝x．

①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？

若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？

若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．

图1图2图3

因动点产生的直角三角形问题

例1如图1，抛物线

与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m,0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；

（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

例2如图1，抛物线

与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；

（3）若直线l过

点E（4,0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

图1

例3在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k（x2＋x－1）的图象交于点A（1,k）和点B（－1,－k）．

（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；

（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；

（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．

例4设直线l1：

y＝k1x＋b1与l2：

y＝k2x＋b2，若l1⊥l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线．

（1）已知

直线①

；②

；③

；④

和点C（0，2），则直线_______和_______是点C的直角线（填序号即可）；

（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A（3，0）、B（2，7）、C（0，7），P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．

图1

例5在平面直角坐标系xOy中，抛物线

与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2,n）在这条抛物线上．

（1）求点B的坐标；

（2）点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当点P运动时，点C、D也随之运动）．

①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；

②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点

Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）．过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）．若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．

图1

例6如图1，已知A、B是线段MN上的两点，

，

，

．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设

．

（1）求x的取值范围；

（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；

（3）探究：

△ABC的最大面积？

图1

例7如图1，直线

和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．

（1）试说明△ABC是等腰三角形；

（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．

①求S与t的函数关系式；

②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？

若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；

③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．

图1

例8如图1，直线

和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．

（1）试说明△ABC是等腰三角形；

（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．

①求S与t的函数关系式；

②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？

若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；

③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．

图1

课后练习

（一）

一、选择题

1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（　　）

A．2B．2.5或3.5C．3.5或4.5D．2或3.5或4.5

2．图1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的是（　　）

A．当x=3时，EC＜EMB．当y=9时，EC＞EM

C．当x增大时，EC•CF的值增大D．当y增大时，BE•DF的值不变

3．如图，将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的Rt△GEF的一边GF重合．正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与Rt△GEF重叠部分面积为s，则s关于t的函数图象为（　　）

A．

B．

C．

D．

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（　　）

A．2B．3C．4D．5

5．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC．

（1）求当t为何值时，点Q与点D重合？

（2）设△QCD的面积为S，试求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；

（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．

6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．

（1）求直线AB的函数解析式；

（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．

①求证：

∠BDE=∠ADP；

②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；

（3）请你探究：

点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：

1？

如果存在，求出此时点P的坐标：

如果不存在，请说明理由．

7.如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B坐标为（2，2

3），∠BCO＝60°，OH⊥BC于点H。

动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度。

设点P运动的时间为t秒。

⑴求OH的长；

⑵若△OPQ的面积为S（平方单位）。

求S与t之间的函数关系式。

并求t为何值时，△OPQ的面积最大，最大值是多少？

⑶设PQ与OB交于点M。

①当△OPM，为等腰三角形时，求⑵中S的值。

②探究线段OM长度的最大值是多少，直接写出结论。

8.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝50，AD＝75，BC＝135。

点P从点B出发沿折线段BA

－AD－DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD－DA－AB于点E。

点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止。

设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）。

⑴当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；⑵当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC？

⑶设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）

⑷△PQE能否成为直角三角形？

若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由。

9.如图所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上。

过点B、C作直线l。

将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E。

⑴将直线l向右平移，设平移距离CD为t（t≥0），直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部份）为S，S关于t的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4。

①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；

②当2＜t＜4时，求S关于t的函数解析式；

⑵在第⑴题的条件下，当直线l向左或向右平移时（包括l与直线BC重合），在直线AB上是否存在点P，使△PDE为等腰直角三角形？

若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

因动点产生的线段和差问题

例1在平面直角坐标系中，已知点A（－

2,0），B（0,4），点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．

（1）如图1

，求点E的坐标；

（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．

①设AA′＝

m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；

②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．

图1图2

例2如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－2,－4）、O（0,0）、

B（2,0）三点．

（1）求抛物线y＝ax

2＋bx＋c的解析式；

（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．

图1

例3如图1，在平面直角坐

标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．

（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；

（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：

随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．

图1

因动点产生的面积问题

例1如图1，已知抛物线

（b、c是常数，且c＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（－1,0）．

（1）b＝______，点B的横坐标为_______（上述结果均用含c的代数式表示）；

（2）连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，坐标为（2,0），当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；

（3）在

（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC的面积为S．

①求S的取值范围；

②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有_____个．

图1

例2如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶

点为A（0,1）、B（2,0）、O（0,0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．

（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；

（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在

（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？

并写出它的两条性质．

图1

例3如图1，在平面直角坐标系中，直线

与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．

（1）求a、b及sin∠ACP的值；

（2）设点P的横坐标为m．

①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；

②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？

若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

图1

例4如图1，直线l经过点A（1，0），且与双曲线

（x＞0）交于点B（2，1）．过点

（p＞1）作x轴的平行线分别交曲线

（x＞0）和

（x＜0）于M、N两点．

（1）求m的值及直线l的解析式；

（2）若点P在直线y＝2上，求证：

△PMB∽△PNA；

（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？

若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．

图1

例5如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3,0），（0,1）．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线

交折线OAB于点E．

（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？

若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

图1

例6如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．

（1）求线段AD的长；

（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，

①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；

②当x取何值时，y有最大值？

并求出最大值．

（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？

若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．

图1备用图

例7如图1，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标

（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

（2）求正方形边长及顶点C的坐标；

（3）在

（1）中当t为何值时，

△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．

（4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

图1图2

因动点产生的梯形问题

例1已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B．

（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的

对称点为C，若点D在y轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．

①求

点D的坐标；

②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x－3交于点