高二上学期期末考试数学试题.docx

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高二上学期期末考试数学试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求，请将答案写在答题卡的相应位置）

1.已知全集，，，则等于（）

A.B.C.D.

2.下列各组函数表示相等函数的是（　　）

A.与B.与

C.与D.与

3.若直线与直线互相垂直，那么的值等于（　　）

A．B．C．D．

4.在中，已知，，，则等于（）

A．B．C．D．以上都不对

5.如右图所示，程序框图的输出结果是（）

A.B.C.D.

6.已知函数，则的值是（）

A.B.C.D.

7.函数（）

A．是奇函数但不是偶函数

B．是偶函数但不是奇函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数也不是偶函数

8.对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图（如右图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）

A.,,B.,,

C.,,D.,,

9.甲、乙两人相互独立地练习投篮，甲一次命中的概率为，乙一次命中的概率为，甲、乙两人各投篮一次都命中的概率为（）

A.B.C.D.

10.一个几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为（）

A.B.

C.D.

11.函数的定义域为（）

A.B.

C.D.

12.在正方体中，、分别为棱、的中点，则异面直线与所成的角是（）

A.B.C．D.

2019-2020年高二上学期期末考试数学试题

二、填空题（本大题共4个题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中横线上）

13.已知非零向量，，若，且，又知，

则实数的值为_______________.

14.一个球的大圆面积为，则该球的体积为_____________.

15.已知圆与直线相切，则圆的半径＝____________________.

16.在中，若，则的形状为.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本题满分10分）已知等差数列的前项和为，且，.

（1）求的通项公式；

（2）设，求证：

是等比数列，并求其前项和.

18.（本题满分12分）已知为坐标原点，且，，

函数．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的最小正周期及最值．

19.（本题满分12分）如图，在三棱柱中，，，.

（1）证明；

（2）若，，求三棱柱的体积．

20.（本题满分12分）高一军训时，某同学射击一次，命中环，环，环的概率分别为,,.

（1）求射击一次，命中环或环的概率；

（2）求射击一次，至少命中环的概率；

（3）求射击一次，命中环数小于环的概率.

21.（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，已知，，，，.

（1）求证：

；

（2）求异面直线与所成的角的正切值（文科生做）；

（3）求二面角的正切值（理科生做）.

22.（本题满分12分）为了了解小学生的体能情况，抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得的数据整理后，画出频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右前三个小组的频率分别为，，，且第一小组的频数为.

（1）求第四小组的频率；

（2）参加这次测试的学生一共有多少人？

（3）若次数在次以上（含次）为达标，试估计该年级学生在跳绳测试中的达标率是多少？

芒市一中高二数学期末答案

18．本小题满分12分

已知点，点，且函数．

（）求函数的解析式；（）求函数的最小正周期及最值．

解

（1）依题意，，点，…………1分

所以,．……………4分

（2）．…8分。

因为，所以的最小值为，的最大值为。

…10分。

周期.……12分

19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB＝3，AD＝2，PA＝2，PD＝2，∠PAB＝60°.

（1）求证：

AD⊥平面PAB；

（2）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；（文科生做）

（3）求二面角P－BD－A的正切值．（理科生做）

[解析]　

（1）证明：

在△PAD中，∵PA＝2，AD＝2，PD＝2，

∴PA2＋AD2＝PD2，∴AD⊥PA.在矩形ABCD中，AD⊥AB.

∵PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB.

（2）∵BC∥AD，∴∠PCB是异面直线PC与AD所成的角．

在△PAB中，由余弦定理得

PB＝＝.

由

（1）知AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，∴AD⊥PB，∴BC⊥PB，

则△PBC是直角三角形，故tan∠PCB＝＝.

∴异面直线PC与AD所成的角的正切值为.

（3）过点P作PH⊥AB于点H，过点H作HE⊥BD于点E，连结PE.

∵AD⊥平面PAB，PH⊂平面ABCD，∴AD⊥PH.

又∵AD∩AB＝A，∴PH⊥平面ABCD.

又∵PH⊂平面PHE，∴平面PHE⊥平面ABCD.

又∵平面PHE∩平面ABCD＝HE，BD⊥HE，∴BD⊥平面PHE.

而PE⊂平面PHE，∴BD⊥PE，故∠PEH是二面角P－BD－A的平面角．由题设可得，PH＝PA·sin60°＝，AH＝PA·cos60°＝1，BH＝AB－AH＝2，BD＝＝，HE＝·BH＝.

∴在Rt△PHE中，tan∠PEH＝＝.

20．（本小题满分12分）如图三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°，

（1）证明AB⊥A1C；

（2）若AC1＝，AB＝CB＝2，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积S.

[解析]　

（1）证明：

取AB中点E，连接CE，A1B，A1E，

∵AB＝AA1，∠BAA1＝60°，∴△BAA1是等边三角形，

∴A1E⊥AB，∵CA＝CB，∴CE⊥AB，

∵CE∩A1E＝E，∴AB⊥面CEA1，∴AB⊥A1C.（5分）

（2）由于△CAB为等边三角形，∴CE＝，A1E＝，在△A1CE中A1C＝.即有A1C2＝CE2＋A1E2，故A1E⊥CE，S底面积＝×AB×CE＝×2×2＝2，A1E⊥AB，A1E⊥CE，∴h＝A1E＝，V＝Sh＝2×＝6.（12分）

21．（12分）高一军训时，某同学射击一次，命中10环，9环，8环的概率分别为0.13,0.28,0.31.

（1）求射击一次，命中10环或9环的概率；

（2）求射击一次，至少命中8环的概率；

（3）求射击一次，命中环数小于9环的概率．

22．（12分）为了了解小学生的体能情况，抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.1,0.3，0.4，第一小组的频数为5.

（1）求第四小组的频率；

（2）参加这次测试的学生有多少人；

（3）若次数在75次以上（含75次）为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少．