等腰三角形最短路径问题学案横版.docx

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等腰三角形最短路径问题学案横版

等腰三角形，最短路径问题

适用学科

初中数学

适用年级

初中二年级

适用区域

全国新课标

课时时长（分钟）

60分钟

知识点

1.等腰三角形的性质

2.等腰三角形的判定

3.等边三角形的性质

4.等边三角形的判定

5.含30°角的直角三角形

6.最短路径问题（剪纸、轴对称——最短路线问题、翻折变换）

学习目标

1.了解等腰三角形和等边三角形的概念，并能判定等腰三角形和等边三角形；

2.正确理解等腰三角形和等边三角形的性质，能运用它们的性质解决相关的问题；

3.借助轴对称图形的性质，得出等腰三角形、等边三角形、有一个角是

的直角三角形的性质。

学习重点

等腰三角形的性质与判定；三角形中相等的角和相等的边的相互转化，利用轴对称作图找出最短路径。

学习难点

综合运用等腰三角形的性质以及有一个角是30°的直角三角形的性质解决问题,最短路径问题。

学习过程

一、复习预习

1、轴对称与轴对称图形：

轴对称图形是指“一个图形”；轴对称是指“两个图形”的位置关系。

2、轴对称与轴对称图形的性质：

轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等。

3、线段的垂直平分线的性质：

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

这是一个证明线段相等的办法。

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

4、画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴：

如果一个图形是轴对称图形或两个图形成轴对称，其对称轴就是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。

因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴。

5、轴对称变换：

画一个图形关于某条直线对称的图形，只要分别作出这个图形上的关键点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形。

6、用坐标表示轴对称：

在平面直角坐标系中，关于

轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于

轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数。

如

关于

轴对称的点的坐标为

，关于

轴对称的点的坐标为

。

二、知识讲解

考点/易错点1

等腰三角形的性质：

1.等腰三角形的相关概念

（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；

（2）相等的两边叫腰，另一条边叫底边。

如AB、AC叫腰，BC叫底边；

（3）两腰所夹的角，如∠BAC叫做顶角，底边与腰的夹角，如∠ABC和∠ACB叫做底角；

（4）三条边都相等的三角形叫等边三角形。

2.等腰三角形的性质

（1）等腰三角形是轴对称图形；

（2）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C。

（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

（三线合一）

∵AB＝AC，∠1＝∠2，

∴BD＝CD，AD⊥BC。

3.等边三角形的性质

（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；

（2）在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

4.获得等腰三角形的方法

（1）尺规作图：

作线段的垂直平分线，利用其性质；

（2）折叠方法。

考点/易错点2

1.等腰、等边三角形的性质是证明两个角相等的重要方法，它是把三角形中角的相等关系和边的相等关系相互转化的重要依据，所以在解决问题时要看清条件，打破依赖全等三角形的思维定势，结合具体问题，认真分析，寻找证明方法，选择简便的方法。

2.注意分类讨论思想和方程思想在解题时的运用，注意对结果进行检验看是否满足题意，不符合题意的答案要舍去。

3.证明两条线段相等的方法通常有等边对等角和三角形全等两种。

当两条线段在一个三角形内时，通常考虑等边对等角；当两条线段不在一个三角形内时，通常考虑证明这两条线段所在的三角形全等。

4.等边三角形是特殊的等腰三角形，它具备等腰三角形包括“三线合一”在内的所有性质，解题时要注意挖掘图形中的隐含条件。

考点/易错点3

等腰三角形的判定：

1.判定等腰三角形的方法有两个：

（1）定义法；

（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。

∵∠B＝∠C，

∴AB＝AC。

注意：

（1）要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆。

判定定理得到的结论为三角形是等腰三角形，性质定理得到的结论是两个底角相等。

（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形。

2.等边三角形的判定：

定义：

三边相等的三角形是等边三角形。

推论1：

三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

补充推论：

两个内角为60°的三角形是等边三角形。

总结：

证明三角形是等腰三角形的方法：

①等腰三角形定义；②等腰三角形判定定理。

证明三角形是等边三角形的方法：

①等边三角形定义；②推论1；③推论2；④补充推论。

考点/易错点4

最短路径问题：

1.考查知识点：

“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

原型——“饮马问题”，“造桥选址问题”。

考得较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

2.解题思路——找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。

近两年出现对“三折线”转“直”等变式问题的考查。

考点/易错点5

1.求最短路径问题，尤其是涉及到折线问题，一定要考虑点关于线的对称点，实现“折”转“直”。

2.涉及到过桥问题（存在固定长度的线段和角度），要考虑连接成平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质转化线段，来实现“折”转“直”。

3.

问题

作法

在

上找一点P，使PA＋PB最小。

连接AB，与

的交点即为点P。

在直线

上求点P，使AP＋BP最小。

作A关于

的对称点

，连接

，与

的交点即为点P。

在直线

上分别求点M、N，使△PMN的周长最小。

分别作点P关于两直线的对称点

，连接

，与两直线交点即为M，N。

在直线

上分别求点M、N，使四边形PMNQ的周长最小。

分别作点P，Q关于直线

的对称点

，与两直线的交点即为M，N。

三、例题精析

【例题1】

【题干】

（1）若某个等腰三角形有一个外角为50°，则它的底角为__________。

（2）若等腰三角形的两条边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（）

A.12cmB.16cmC.20cmD.16cm或20cm

【答案】

（1）25

（2）C。

【解析】

（1）要考虑这个外角是顶角的外角还是底角的外角，当顶角的外角是50°时，则底角为

×50°＝25°或顶角是180°－50°＝130°，则底角是

×（180°－130°）＝25°；若它是底角的外角，则底角为130°，但是两个底角的和为260°＞180°，所以这种情况构不成三角形，舍去。

（2）根据三角形的三边关系可知当以4cm为腰时，不能组成三角形，所以只能以4cm为底边，8cm为腰，所以其周长为8＋8＋4＝20cm。

【例题2】

【题干】已知：

如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD＝DC＝BC。

试求∠A的度数。

【答案】36°。

【解析】设∠A＝x，

∵AD＝DC，

∴∠DCA＝∠A＝x（等边对等角）。

∴∠BDC＝∠A＋∠DCA＝2x（三角形一个外角等于和它不相邻的两内角之和）。

又∵DC＝BC，

∴∠B＝∠BDC＝2x（等边对等角）。

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝2x（等边对等角）。

∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（三角形内角和等于180°），

∴x＋2x＋2x＝180°，

即x＝36°，所以∠A＝36°。

【例题3】

【题干】在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为15和9两个部分，求等腰三角形的腰长及底边长。

【答案】设△ABC中，AB＝AC＝2x，

∵BD是中线，

∴AD＝CD＝x，

∴AB＋AD＝3x，

由题意得：

3x＝15或3x＝9

解得x＝5或x＝3

当x＝5时，AB＝AC＝10，BC＝9－5＝4，

当x＝3时，AB＝AC＝6，BC＝15－3＝12，

∵第二种情况不能组成三角形，

∴等腰三角形的腰长是10，底边长是4。

【解析】题目没有给图，所以要简单画个图，可以设AB＝AC＝2x，这样就能得到AB＋AD＝3x，然后分类讨论这个3x（也就是AB＋AD）等于15和等于9时两种情况，解出答案。

【例题4】

【题干】如图所示，上午9时，一条渔船从A出发，以12海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A、B处望小岛C，测得∠NAC＝15°，∠NBC＝30°。

若小岛周围12.3海里内有暗礁，问该渔船继续向正北航行有无触礁危险？

【答案】作CD⊥BN于D。

AB＝12×（11－9）＝24（海里）。

∵∠NAC＝15°，∠NBC＝30°，

∴∠BCA＝∠NBC－∠NAC＝30°－15°＝15°。

∴∠BCA＝∠BAC，

∴BC＝AB＝24（海里）（等角对等边）。

在△CDB中，∠CDB＝90°，∠DBC＝30°，

∴CD＝BC＝12（海里）。

∵12＜12.3，

∴该渔船继续向正北航行，有触礁危险。

【解析】作CD⊥BN于D，该渔船有无触礁危险，关键是看CD与12.3的大小关系，若CD＞12.3，则无触礁危险；若CD≤12.3，则有触礁危险。

故解决本题的关键是计算CD。

【例题5】

【题干】（江苏徐州中考）如图，将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠：

对折、展平，得折痕EF（如图①）；沿GC折叠，使点B落在EF上的点

处（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点

处（如图④）；沿

折叠（如图⑤）；展平，得折痕

、GH（如图⑥）。

（1）求图②中∠BCB’的大小；

（2）图⑥中的△GCC’是正三角形吗？

请说明理由。

【答案】

（1）连接BB’，由折叠可知，EF是线段BC的对称轴，

∴BB'＝B'C，又BC＝B'C，

∴BB'＝B'C＝BC，

∴△B’BC是等边三角形，

∴∠BCB'＝60°

（2）根据题意，GC平分∠BCB'，

∴∠GCB＝∠GCB'＝

∠BCB'＝30°，

∴∠GCC'＝∠BCD－∠BCG＝60°，

由折叠知，GH是线段CC'的对称轴，

∴GC'＝GC

∴△GCC'是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。

【解析】第

（1）小问，虽然翻折的是△BCG，但是若能发现FB’是△BB’C的垂直平分线，这道题就能很简单地做出来了，连接

，证明BB'＝B'C＝BC，即可得出△

BC是等边三角形，所以∠BCB'＝60°。

第

（2）小问，利用第

（1）问结论求出∠GCB＝∠GCB'＝

∠BCB'＝30°，得出∠GCC'＝∠BCD－∠BCG＝60°，然后继续利用垂直平分线性质，证出GC'＝GC，最终证明出△GCC'是等边三角形。

【例题6】

【题干】如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP为最短。

画出EP＋BP是最短距离时P的位置。

【答案】如图，连接ED交AC于点P，则点P为所求作的点。

【解析】根据正方形沿对角线的对称性，可得无论P在什么位置，都有PD＝PB；故均有EP＋BP＝PE＋PD成立；所以原题可以转化为求PE＋PD的最小值问题，分析易得连接DE，其与AC的交点就是要求的点的位置。

【例题7】

【题干】如图，某城市护城河在CC′处直角转弯，从A处到达B处，须经两座桥：

DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短，求此情况下的架桥方案？

【答案】作AF⊥CD，且AF＝河宽，作BG⊥CE，且BG＝河宽，连接GF，与河岸相交于E′、D′。

作DD′、EE′即为桥。

证明：

由作图法可知，AF∥DD′，AF＝DD′，则四边形AFD′D为平行四边形，于是AD＝FD′，同理，BE＝GE′，由两点之间线段最短可知，GF最小；当桥建于如图所示位置时，即点F、D’、E’、G在同一条直线上时，ADD′E′EB最短。

【解析】分别作出点A、B、C关于对称轴的对称点，然后连接这些对称点就可以得到轴对称变换后的图形。

【例题8】

【题干】某中学八

（1）班举行文艺联欢会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了水果，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿水果再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

【答案】如图所示，以AO为对称轴作点C的对称点C’，以OB为对称轴作点D的对称点D’，连接C’D’，分别交OA，OB于点E，F，则线路CEFD为最短路径。

【解析】由于图形是在直角坐标系中，且坐标比较特殊，所以很容易得

，

边上的高为3。

根据关于

轴对称的点的坐标的特点，很容易求出

三个点的坐标，以点带面，即可作出

。

【例题9】

【题干】如图，

是两条公路，在两条公路夹角的内部有一油库

，现想在两公路上分别建一个加油站，为使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短，问加油站应如何选址？

【答案】

（1）作点A关于

对称的点M、N；

（2）连接M、N，与

分别交于P、Q；点P、Q就是所求的加油站的位置。

【解析】要使油库和加油站组成的三角形的周长最小，可根据两点之间线段最短，只需令三角形的三边之和等于某两点之间的距离，因此考虑作点A关于

对称的点。

四、课堂运用

【基础】

1.（2013•十堰）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：

AD=AE．

2.（2014•无锡）如图，已知：

△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE．求证：

MD=ME．

3.（2001•济南）已知等腰△ABC的底边BC=8cm，|AC-BC|=2cm，则腰AC的长为_________.

4.（2006•河北）已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．

求证：

AD=AE．

5、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是________米．

【巩固】

1.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C，D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=

2.如图，已知△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A，DE垂直平分AC交AB于点D，交AC于点E．求证：

AD=BC．

3.如图，△ABC中，AB=AC=4cm，∠ABC=15°，BD⊥AC于点D，则BD=_________cm．

4．如图，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM＋MN＋NP最短。

5.如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某天要从马厩牵出马，先到草地边的某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线．作出图形并说明理由．

【拔高】

1.（2014•沂源县一模）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：

①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有（　　）

2.如图在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E．求证：

BF=

FC

3.（2003•山西）取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：

第一步：

先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；

第二步：

再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为Bn，得Rt△ABE，如图2；

第三步：

沿EB线折叠得折痕EF，如图3；

利用展开图4探究：

（1）△AEF是什么三角形？

证明你的结论．

（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？

请说明理由．

课程小结

1.等腰三角形的性质

2.等腰三角形的判定

3.等边三角形的性质

4.等边三角形的判定

5.含30°角的直角三角形

6.最短路径问题（剪纸、轴对称——最短路线问题、翻折变换）