等腰三角形最短路径问题学案横版.docx

1、等腰三角形最短路径问题学案横版等腰三角形，最短路径问题适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域全国新课标课时时长（分钟）60分钟知识点1. 等腰三角形的性质2. 等腰三角形的判定3. 等边三角形的性质4. 等边三角形的判定5. 含30角的直角三角形6.最短路径问题（剪纸、轴对称最短路线问题、翻折变换）学习目标1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念，并能判定等腰三角形和等边三角形；2. 正确理解等腰三角形和等边三角形的性质，能运用它们的性质解决相关的问题；3. 借助轴对称图形的性质，得出等腰三角形、等边三角形、有一个角是的直角三角形的性质。学习重点等腰三角形的性质与判定；三角形中相等的角和相等

2、的边的相互转化，利用轴对称作图找出最短路径。学习难点综合运用等腰三角形的性质以及有一个角是30的直角三角形的性质解决问题, 最短路径问题。学习过程 一、复习预习1、轴对称与轴对称图形：轴对称图形是指“一个图形”；轴对称是指“两个图形”的位置关系。2、轴对称与轴对称图形的性质：轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等。3、线段的垂直平分线的性质： 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。这是一个证明线段相等的办法。到一条线段两个端点距离相等的点，

3、在这条线段的垂直平分线上。4、画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴： 如果一个图形是轴对称图形或两个图形成轴对称，其对称轴就是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴。5、轴对称变换：画一个图形关于某条直线对称的图形，只要分别作出这个图形上的关键点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形。6、用坐标表示轴对称：在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数。如关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为。二

4、、知识讲解考点/易错点1 等腰三角形的性质：1. 等腰三角形的相关概念（1）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；（2）相等的两边叫腰，另一条边叫底边。如AB、AC叫腰，BC叫底边；（3）两腰所夹的角，如BAC叫做顶角，底边与腰的夹角，如ABC和ACB叫做底角；（4）三条边都相等的三角形叫等边三角形。2. 等腰三角形的性质（1）等腰三角形是轴对称图形；（2）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。ABAC，BC。（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）ABAC，12，BDCD，ADBC。3. 等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于

5、60；（2）在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。4. 获得等腰三角形的方法（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，利用其性质；（2）折叠方法。考点/易错点21. 等腰、等边三角形的性质是证明两个角相等的重要方法，它是把三角形中角的相等关系和边的相等关系相互转化的重要依据，所以在解决问题时要看清条件，打破依赖全等三角形的思维定势，结合具体问题，认真分析，寻找证明方法，选择简便的方法。2. 注意分类讨论思想和方程思想在解题时的运用，注意对结果进行检验看是否满足题意，不符合题意的答案要舍去。3. 证明两条线段相等的方法通常有等边对等角和三角形全等两种。当两条线段在一

6、个三角形内时，通常考虑等边对等角；当两条线段不在一个三角形内时，通常考虑证明这两条线段所在的三角形全等。4. 等边三角形是特殊的等腰三角形，它具备等腰三角形包括“三线合一”在内的所有性质，解题时要注意挖掘图形中的隐含条件。考点/易错点3等腰三角形的判定： 1. 判定等腰三角形的方法有两个：（1）定义法；（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）。BC，ABAC。注意：（1）要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆。判定定理得到的结论为三角形是等腰三角形，性质定理得到的结论是两个底角相等。（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰相等”，因为还未判定它是一

7、个等腰三角形。2. 等边三角形的判定：定义：三边相等的三角形是等边三角形。推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。补充推论：两个内角为60的三角形是等边三角形。总结：证明三角形是等腰三角形的方法：等腰三角形定义；等腰三角形判定定理。证明三角形是等边三角形的方法：等边三角形定义；推论1；推论2；补充推论。考点/易错点4最短路径问题：1. 考查知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 原型“饮马问题”，“造桥选址问题”。考得较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标

8、轴、抛物线等。2. 解题思路找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。近两年出现对“三折线”转“直”等变式问题的考查。考点/易错点51. 求最短路径问题，尤其是涉及到折线问题，一定要考虑点关于线的对称点，实现“折”转“直”。2. 涉及到过桥问题（存在固定长度的线段和角度），要考虑连接成平行四边形，利用平行四边形对边相等的性质转化线段，来实现“折”转“直”。3. 问题作法在上找一点P，使PAPB最小。连接AB，与的交点即为点P。在直线上求点P，使APBP最小。作A关于的对称点，连接，与的交点即为点P。在直线上分别求点M、N，使PMN的周长最小。分别作点P关于两直线的对称点，连接，与两直线交点即为M

9、，N。在直线上分别求点M、N，使四边形PMNQ的周长最小。分别作点P，Q关于直线的对称点，与两直线的交点即为M，N。 三、例题精析【例题1】 【题干】（1）若某个等腰三角形有一个外角为50，则它的底角为_。（2）若等腰三角形的两条边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（ ）A. 12cm B. 16cm C. 20cm D. 16cm或20cm【答案】（1）25 （2）C。【解析】（1）要考虑这个外角是顶角的外角还是底角的外角，当顶角的外角是50时，则底角为5025或顶角是18050130，则底角是（180130）25；若它是底角的外角，则底角为130，但是两个底角的和为260180，所以这种

10、情况构不成三角形，舍去。（2）根据三角形的三边关系可知当以4cm为腰时，不能组成三角形，所以只能以4cm为底边，8cm为腰，所以其周长为88420cm。【例题2】 【题干】已知：如图所示，ABC中，ABAC，ADDCBC。试求A的度数。【答案】36。【解析】设Ax，ADDC，DCAAx（等边对等角）。BDCADCA2x（三角形一个外角等于和它不相邻的两内角之和）。又DCBC，BBDC2x（等边对等角）。ABAC，BACB2x（等边对等角）。ABACB180（三角形内角和等于180），x2x2x180，即x36，所以A36。【例题3】 【题干】在等腰三角形ABC中，ABAC，一腰上的中线BD将这

11、个等腰三角形的周长分为15和9两个部分，求等腰三角形的腰长及底边长。【答案】设ABC中，ABAC2x， BD是中线， ADCDx， ABAD3x， 由题意得： 3x15或3x9 解得x5或x3 当x5时，ABAC10，BC954，当x3时，ABAC6，BC15312，第二种情况不能组成三角形，等腰三角形的腰长是10，底边长是4。【解析】题目没有给图，所以要简单画个图，可以设ABAC2x，这样就能得到ABAD3x，然后分类讨论这个3x（也就是ABAD）等于15和等于9时两种情况，解出答案。【例题4】【题干】如图所示，上午9时，一条渔船从A出发，以12海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A

12、、B处望小岛C，测得NAC15，NBC30。若小岛周围12.3海里内有暗礁，问该渔船继续向正北航行有无触礁危险？【答案】作CDBN于D。AB12（119）24（海里）。NAC15，NBC30，BCANBCNAC301515。BCABAC，BCAB24（海里）（等角对等边）。在CDB中，CDB90，DBC30，CDBC12（海里）。1212.3，该渔船继续向正北航行，有触礁危险。 【解析】作CDBN于D，该渔船有无触礁危险，关键是看CD与12.3的大小关系，若CD12.3，则无触礁危险；若CD12.3，则有触礁危险。故解决本题的关键是计算CD。【例题5】【题干】（江苏徐州中考）如图，将矩形纸片A

13、BCD按如下顺序进行折叠：对折、展平，得折痕EF（如图）；沿GC折叠，使点B落在EF上的点处（如图）；展平，得折痕GC（如图）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点处（如图）；沿折叠（如图）；展平，得折痕、GH（如图）。（1）求图中BCB的大小；（2）图中的GCC是正三角形吗？请说明理由。【答案】（1）连接BB，由折叠可知，EF是线段BC的对称轴，BBBC，又BCBC，BBBC BC，B BC是等边三角形，BCB60（2）根据题意，GC平分BCB，GCBGCBBCB30，GCCBCDBCG60，由折叠知，GH是线段CC的对称轴，GC GCGCC是等边三角形（有一个角是60的等腰三角形是等边三角形）

14、。【解析】第（1）小问，虽然翻折的是BCG，但是若能发现FB是BBC的垂直平分线，这道题就能很简单地做出来了，连接，证明BBBC BC，即可得出BC是等边三角形，所以BCB60。第（2）小问，利用第（1）问结论求出GCBGCBBCB30，得出GCCBCDBCG60，然后继续利用垂直平分线性质，证出GCGC，最终证明出GCC是等边三角形。【例题6】【题干】如图，正方形ABCD，AB边上有一点E，AE3，EB1，在AC上有一点P，使EPBP为最短。画出EPBP是最短距离时P的位置。【答案】如图，连接ED交AC于点P，则点P为所求作的点。【解析】根据正方形沿对角线的对称性，可得无论P在什么位置，都有

15、PDPB；故均有EPBPPEPD成立；所以原题可以转化为求PEPD的最小值问题，分析易得连接DE，其与AC的交点就是要求的点的位置。【例题7】【题干】如图，某城市护城河在CC处直角转弯，从A处到达B处，须经两座桥：DD，EE（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，恰当地架桥可使ADDEEB的路程最短，求此情况下的架桥方案？【答案】作AFCD，且AF河宽，作BGCE，且BG河宽，连接GF，与河岸相交于E、D。作DD、EE即为桥。 证明：由作图法可知，AFDD，AFDD，则四边形AFDD为平行四边形，于是ADFD，同理，BEGE，由两点之间线段最短可知，GF最小；当桥建于如图所示位置

16、时，即点F、D、E、G在同一条直线上时，ADDEEB最短。 【解析】分别作出点A、B、C关于对称轴的对称点，然后连接这些对称点就可以得到轴对称变换后的图形。【例题8】【题干】某中学八（1）班举行文艺联欢会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了水果，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿水果再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？【答案】如图所示，以AO为对称轴作点C的对称点C，以OB为对称轴作点D的对称点D，连接CD，分别交OA，OB于点E，F，则线路CEFD为最短路径。【解析】由于图形是在直角坐标系中，且坐标比较特殊，所以很容易得

17、，边上的高为3。根据关于轴对称的点的坐标的特点，很容易求出三个点的坐标，以点带面，即可作出。【例题9】【题干】如图，是两条公路，在两条公路夹角的内部有一油库，现想在两公路上分别建一个加油站，为使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短，问加油站应如何选址？ 【答案】（1）作点A关于对称的点M、N；（2）连接M、N，与分别交于P、Q；点P、Q就是所求的加油站的位置。 【解析】要使油库和加油站组成的三角形的周长最小，可根据两点之间线段最短，只需令三角形的三边之和等于某两点之间的距离，因此考虑作点A关于对称的点。 四、课堂运用【基础】1. （2013十堰）如图，点D

18、，E在ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE求证：AD=AE2. （2014无锡）如图，已知：ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE求证：MD=ME3. （2001济南）已知等腰ABC的底边BC=8cm，|AC-BC|=2cm，则腰AC的长为_.4. （2006河北）已知：如图，在ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE求证：AD=AE5、如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是_米【巩固】1. 如图，已知

19、ABC是等边三角形，点B、C，D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则E= 2. 如图，已知ABC中，AB=AC，B=2A，DE垂直平分AC交AB于点D，交AC于点E求证：AD=BC3. 如图，ABC中，AB=AC=4cm，ABC=15，BDAC于点D，则BD=_cm4如图，XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PMMNNP最短。 5.如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某天要从马厩牵出马，先到草地边的某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线作出图形并说明理由【拔高】1. （2014沂源县一模）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，

20、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ以下五个结论：AD=BE；PQAE；AP=BQ；DE=DP；AOB=60恒成立的结论有（）2. 如图在ABC中，AB=AC，BAC=120，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E求证：BF= FC3. （2003山西）取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为Bn，得RtABE，如图2；第三步：沿EB线折叠得折痕EF，如图3；利用展开图4探究：（1）AEF是什么三角形？证明你的结论（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由课程小结1.等腰三角形的性质2. 等腰三角形的判定3. 等边三角形的性质4. 等边三角形的判定5. 含30角的直角三角形6.最短路径问题（剪纸、轴对称最短路线问题、翻折变换）