导数压轴题题型学生版.docx
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导数压轴题题型学生版
导数压轴题题型
引例
【2016高考山东理数】（本小题满分13分）
已知f（x）axInx
2x1
—,a
x
R.
（I）讨论f（x）的单调性;
1,2成立.
（II）当a1时，证明f（x）>f'x|对于任意的x
1.高考命题回顾
例1•已知函数f（x）ae2x+（a-2）ex-x.
2）若
（x）有两个零点，求
a的取值范围
1）讨论f（x）的单调性；
x2
例2.（21）（本小题满分12分）已知函数fxx2exax1有两个零点
（I）求a的取值范围;
（II）设xi,x2是fx的两个零点证明：
X|X22.
例3.（本小题满分12分）
31
已知函数f（x）=xax—,g（x）InX
4
（I）当a为何值时，x轴为曲线yf（x）的切线;
（n）用minm,n表示m,n中的最小值，设函数h（x）minf（x）,g（x）（x0）,
讨论h（x）零点的个数
例4.（本小题满分13分）
已知常数八口，函数匸-lid-小-：
」
x+2
（i）讨论几门在区间■「；；衣q上的单调性；
（n）若存在两个极值点且：
:
i.''.:
:
-.■〔⑺■-:
:
、求的取值范围
5/30
例5已知函数f（x）=ex—In（x+m）.
（1）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性;
（2）当m<2时，证明f（x）>0.
1例6已知函数f（x）满足f（x）f'
（1）ex1f（O）x-x2
2
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
12
⑵若f（x）-xaxb，求（a1）b的最大值。
例7已知函数f（x）-，曲线yf（x）在点（1,f
（1））处的切线方程为
x1x
x2y30。
（i）求a、b的值；
（n）如果当x0，且x1时，f（x）-lnxk，求k的取值范围。
x1x
例8已知函数f（x）=（x3+3x2+ax+b）e^x.
⑴若a=b=-3,求f（x）的单调区间；
⑵若f（x）在（—a,a）,（2单调增加，在（a,2）,（B单调减少证明3-a>6.
2.在解题中常用的有关结论探
（1）曲线yf（x）在xXo处的切线的斜率等于f（xo），且切线方程为
yf（Xo）（XX。
）f（xo）。
⑵若可导函数yf（x）在xX。
处取得极值，则f（xo）0。
反之，不成立。
⑶对于可导函数f（x），不等式f（x）0（o的解集决定函数f（x）的递增（减）区间。
⑷函数f（x）在区间I上递增（减）的充要条件是：
xIf（x）o（o）恒成立（f（x）
不恒为o）•
（5）函数f（x）（非常量函数）在区间I上不单调等价于f（x）在区间I上有极值，则可等
价转化为万程f（x）0在区间I上有实根且为非二重根。
（若f（X）为二次函数且
l=R,则有0）。
（6）f（x）在区间I上无极值等价于f（x）在区间在上是单调函数，进而得到f（x）0或f（x）0在I上恒成立
⑺若xI，f（x）0恒成立，则f（x）min0；若xI，f（X）0恒成立，则
f（x）max0
（8）若X。
I，使得f（X。
）0，则f（x）max0；若x0I，使得f（X。
）0,则
f（x）min0.
（9）设f（X）与g（x）的定义域的交集为D，若XDf（x）g（x）恒成立，则有
f（x）g（x）min°.
（10）若对
X1
I1、X2I2
f（xj
g（X2）恒成立，则f（X）min
g（x）max
若对
X1
I1,
X2
I2，使得
f（X1）
g（X2）,则f（X）min
g（x）min■
若对
X1
I1,
X2
I2，使得
f（X1）
g（X2），则f（X）max
g（X）ma:
（11）已知f（x）在区间h上的值域为A,，g（x）在区间*上值域为B，
若对Xi丨1,X212，使得f（Xi）=g（X2）成立，则AB。
（12）若三次函数f（x）有三个零点，则方程f（x）0有两个不等实根儿、X2，且极大值
大于0,极小值小于0.
①
lnx
X1（X0）
③
X
e1
X
⑤
Inx
x1/
（x1）
x1
2
x
X1
②wln（x+1x（x1）
④
Xe
1
X
⑥
Inx
2
1
J2（x0）
X
2
2x
（13）证题中常用的不等式
3.题型归纳
①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用
例1（切线）设函数f（X）
X2
（构造函数，最值定位）（分类讨论，区间划分）（极值比较）（零点存在性定理应用）（二阶导转换）
（1）当a1时，求函数g（x）xf（x）在区间［0,1］上的最小值；
（2）当a0时，曲线yf（x）在点P（xi,f（xi））（xi2）处的切线为I,1与x轴交于
点A（X2,0）求证：
Xix22.
1a
例2（最值问题，两边分求）已知函数f（x）Inxax1（aR）.
1
⑴当aw—时，讨论f（x）的单调性；
2
21
⑵设g（x）x22bx4.当a时，若对任意为（0,2），存在
4
f（xj>g（x2），求实数b取值范围•
②交点与根的分布
32
例3（切线交点）已知函数fxaxbx3xa,bR在点1,f1为y20.
1,2，使
处的切线方程
⑴求函数fx的解析式;
⑵若对于区间2,2上任意两个自变量的值Xi,X2都有f治fX2c,求实数
c的最小值；
⑶若过点M2,mm2可作曲线yfx的三条切线，求实数m的取值范围.
f（x）In（2
3x）
32
x.
例4（综合应用）已知函数
2
⑴求f（x）在［0,1］上的极值；
11
x［_,不等式丨a
⑵若对任意63
lnx|
ln[f（x）3x]0
成立，求实数a的取值
范围;
⑶若关于x的方程f（x）2xb在【o’"上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围•
③不等式证明
（x）
a
x1,a为正常数.
9
⑴若f（x）
lnX（X），且a2，求函数f（x）的单调增区间;
例5（变形构造法）已知函数
⑵在⑴中当a0时，函数y
f（x）的图象上任意不同的两点
Axi,yi
线段AB的中点为C（X0,y0），记直线AB的斜率为k，试证明：
k
BX2,y2
f（xo）
g（x2）g（xj
⑶若g（x）lnx（x），且对任意的X1,X2°,2,XiX2，都有X2Xi
求a的取值范围.
2
（高次处理证明不等式、取对数技巧）已知函数f（x）xln（ax）（a0）
（1）若f'（x）x?
对任意的x0恒成立，求实数a的取值范围;
g（X）X「X2（-,1）,x!
X21
（2）当a1时，设函数x，若e，求证
x1x2
（XiX2）4
例7（绝对值处理）已知函数f（x）x3ax2bxc的图象经过坐标原点，且在x1处取得极大值.
（I）求实数a的取值范围;
（II）若方程f（x）
2
（）恰好有两个不冋的根，求f（x）的解析式;
9
（III）对于（II）中的函数f（x），对任意、R，求证：
|f（2sin）f（2sin）|81.
例8（等价变形）已知函数f（x）ax1Inx（aR）.
（I）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（n）若函数f（x）在x1处取得极值，对x（0,）,f（x）bx2恒成立,
求实数b的取值范围；
（川）当0xye2且xe时，试比较—与-一的大小.
x1Inx
127
f（x）Inx,g（x）-xmx—（m0）
例9（前后问联系法证明不等式）已知22，直线I
与函数f（x）,g（x）的图像都相切，且与函数f（x）的图像的切点的横坐标为1。
（I）求直线1的方程及m的值；
（||）若h（x）f（x1）g'（x）（其中g'（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值。
上上ba
（III）当0
ba时，求证：
心b）f（2a）2a
例10（整体把握，贯穿全题）已知函数f（x）ln^1.
x
（1）试判断函数f（x）的单调性；
（2）设m0，求f（x）在［m,2m］上的最大值；
（3）试证明：
对任意nN*，不等式ln（^）e口都成立（其中e是自然对数的底数）
nn
z、"口111//
（川）证明：
—”：
例11（数学归纳法）已知函数f（x）ln（x1）mx，当x0时，函数f（x）取得极大值.
（1）求实数m的值；
（2）已知结论：
若函数f（x）ln（x1）mx在区间（a,b）内导数都存在，且a1，
则存在x0（a,b）,使得f（怡）f（b）f（a）.试用这个结论证明：
若ba
f（x）f（x）
1x-1x2，函数g（x）-2（xx-i）f（xj，则对任意
x-1x2
x（x!
x2）,都有f（x）g（x）；
3）已知正数
1,2丄，
n,满足
12L
n1,求证：
当n2,nN时，
对任意
大于
1,且
互不相
等的实数x!
x2,L,人,都有
f（1为
2x2L
nXn）
1f（X1）
2f（X2）Lnf（Xn）.
4恒成立、存在性问题求参数范围
例12（分离变量）已知函数f（x）x?
alnx@为实常数）.
⑴若a2，求证：
函数f（X）在（1,+m）上是增函数；
⑵求函数f（x）在[i,e]上的最小值及相应的x值；
a的取值范围
（3）若存在x[1,e]，使得f（x）（a2）x成立，求实数
11n（x1）
例13（先猜后证技巧）已知函数f（x）
x
（I）求函数f（x）的定义域
（n）确定函数f（x）在定义域上的单调性，并证明你的结论
k
（川）若x>0时f（x）恒成立，求正整数k的最大值.
x1
例14（创新题型）设函数f（x）=ex+sinx,g（x）=ax,F（x）=f（x）—g（x）.
（I）若x=0是F（x）的极值点，求a的值；
（H）当a=1时,设p（xi,f（xi））,Q（X2,g（x2））（xi>0,x2>0）,且PQ//x轴，求P、Q两点间的最短距离；
（川）若x》0寸函数y=F（x）的图象恒在y=F（—x）的图象上方,求实数a的取值范围.
2
例15（图像分析，综合应用）已知函数g（x）ax2ax1b（a0,b1），在区间2,3
f（x）致
上有最大值4，最小值1，设x.
（I）求a,b的值；
（n）不等式Uk20在X[1,1]上恒成立，求实数k的范围；
（5Mi"右3）
0
有三个不同的实数解,
求实数k的范围.
5导数与数列
例16（创新型问题）设函数f（x）（xa）2（xb）ex,a、bR,xa是f（x）的一个极大值点.
⑴若a0，求b的取值范围;
⑵当a是给定的实常数，设x,,X2,X3是f（x）的3个极值点，问是否存在实数b，可找到x4R，使得Xi,X2,X3,x4的某种排列x,,X2必3,卷（其中h,i2,i3,i4=
1,2,3,4）依次成等差数列？
若存在，求所有的b及相应的X4；若不存在，说明理由.
25/30
6导数与曲线新题型
12
例17（形数转换）已知函数f（x）Inx,g（x）ax2bx（a0）.
（1）若a2,函数h（x）f（x）g（x）在其定义域是增函数，求b的取值范围；
⑵在⑴的结论下,设函数（x）=e2x+bex,x€[0,In2],求函数（x）的最小值；
⑶设函数f（x）的图象Ci与函数g（x）的图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交G、C2于点M、N，问是否存在点R使Ci在M处的切线与C2在N处的切线平行？
若存在，求出R的横坐标;若不存在，请说明理由.
x
例18（全综合应用）已知函数f（x）1"亍（。
x2）.
（1）是否存在点M（a,b）,使得函数yf（x）的图像上任意一点P关于点M对称的点Q
也在函数yf（x）的图像上？
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
2n1
”i
上1上2
⑵定义Sn
f㈠
f（—）f（—）
i1
n
nn
⑶在⑵的条件下
令Sn
12an,若不等式
求实数m的取值范围
2n1*
f（）,其中nN，求S2013；n
2an（an）m1对nN*且n2恒成立，
7导数与三角函数综合
2
例19（换元替代，消除三角）设函数f（x）x（xa）（xR），其中aR．
（I）当a1时，求曲线yf（x）在点（2，f
（2））处的切线方程；
（n）当a0时，求函数f（x）的极大值和极小值；
（川）当a3，k时，若不等式f（kcosx）>fkco€x）对任意的
xR恒成立,求k的值。
8创新问题积累
例20已知函数f（x）
I、求f（x）的极值.
II、求证f（x）的图象是中心对称图形
f（x）的取值范围是
山、设f（x）的定义域为D,是否存在a,bD•当xa,b时,
a,b?
若存在，求实数a、b的值；若不存在，说明理由
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