导数压轴题题型学生版.docx

1、导数压轴题题型学生版导数压轴题题型引例【2016高考山东理数】(本小题满分13分)已知 f (x) ax In x2x 1,axR.(I )讨论f (x)的单调性;1,2成立.(II )当a 1时，证明f(x)f x |对于任意的x1. 高考命题回顾例 1已知函数 f(x) ae2x+(a - 2) ex- x.2）若（x） 有两个零点，求a 的取值范围1 ）讨论 f （x） 的单调性；x2例 2.（21 ）（本小题满分 12 分）已知函数 f x x 2 ex a x 1 有两个零点(I)求a的取值范围;(II)设xi,x2是f x的两个零点 证明：X| X2 2.例 3. (本小题满分 1

2、2 分)3 1已知函数 f (x) =x ax ,g(x) In X4(I )当a为何值时，x轴为曲线y f (x)的切线;(n)用 min m,n 表示 m,n 中的最小值，设函数 h(x) min f (x), g(x) (x 0),讨论h ( x)零点的个数例4.(本小题满分13分)已知常数八口，函数 匸-lid-小-：x + 2(i)讨论几门在区间；衣q上的单调性；(n)若 存在两个极值点 且：:i.: - .-:、求 的取值范围5 / 30例 5 已知函数 f(x)= ex In(x+ m).(1) 设x= 0是f(x)的极值点，求 m，并讨论f(x)的单调性;(2) 当 m0.1

3、例 6 已知函数 f(x)满足 f(x) f(1)ex1 f(O)x - x22(1)求f(x)的解析式及单调区间；1 2若f (x) - x ax b，求(a 1)b的最大值。例7已知函数f (x) -，曲线y f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为x 1 xx 2y 3 0。(i)求a、b的值；(n )如果当x 0，且x 1时，f(x) -lnx k，求k的取值范围。x 1 x例 8 已知函数 f(x)= (x3+3x2+ax+b)ex.若a= b =-3,求f(x)的单调区间；若f(x)在(a , a ),(2单调增加，在(a ,2),( B单调减少 证明3- a 6.2.在解题中常

4、用的有关结论 探(1)曲线y f (x)在x Xo处的切线的斜率等于 f (xo)，且切线方程为y f (Xo)(X X。)f (xo)。若可导函数y f (x)在x X。处取得极值，则f (xo) 0。反之，不成立。对于可导函数f (x)，不等式f (x) 0( o的解集决定函数f (x)的递增(减)区间。函数f (x)在区间I上递增(减)的充要条件是： x I f (x) o ( o)恒成立(f (x)不恒为o) (5)函数f(x)(非常量函数)在区间I上不单调等价于 f(x)在区间I上有极值，则可等价转化为万程f (x) 0在区间I上有实根且为非二重根。(若 f(X)为二次函数且l=R,

5、则有 0 )。(6) f (x)在区间I上无极值等价于f(x)在区间在上是单调函数，进而得到f (x) 0或 f (x) 0在I上恒成立若 x I ， f (x) 0恒成立，则f (x)min 0；若x I ， f(X) 0恒成立，则f ( x) max 0(8) 若 X。 I，使得 f(X。) 0，则 f (x)max 0 ；若 x0 I，使得 f(X。) 0,则f(x)min 0 .(9) 设f (X)与g(x)的定义域的交集为 D，若 X D f (x) g(x)恒成立，则有f(x) g(x) min .(10)若对X1I1 、 X2 I2,f(xjg(X2)恒成立，则 f(X)ming

6、 ( x) max若对X1I1,X2I 2，使得f (X1)g(X2),则 f (X)ming ( x) min 若对X1I1,X2I 2，使得f (X1)g(X2)，则 f (X)maxg(X)ma:(11)已知f (x)在区间h上的值域为A,，g(x)在区间*上值域为B，若对 Xi丨1, X2 12，使得f(Xi) = g(X2)成立，则A B。(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程 f (x) 0有两个不等实根 儿、X2，且极大值大于0,极小值小于 0.ln xX 1 (X 0)Xe 1XIn xx 1 /(x 1)x 12xX 1 wln(x+1 x (x 1)X e1XIn x

7、21J 2 (x 0)X22x(13)证题中常用的不等式3.题型归纳导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用例1 （切线）设函数f（X）X2（构造函数，最值定位）（分类讨论，区间划分）（极值比较）（零点存在性定理应用） （二阶导转换）（1 ）当a 1时，求函数g（x） xf（x）在区间0,1上的最小值；（2）当a 0时，曲线y f（x）在点P（xi, f（xi）（xi 2）处的切线为I ,1与x轴交于点 A（X2,0）求证：Xi x2 2.1 a例2 （最值问题，两边分求） 已知函数f （x） In x ax 1 （a R）.1当a w时，讨论f(x)的单调性；22 1设g(x) x2

8、2bx 4.当a 时，若对任意 为(0,2)，存在4f (xj g(x2)，求实数b取值范围交点与根的分布3 2例3 (切线交点)已知函数f x ax bx 3x a,b R在点1, f 1 为 y 2 0 .1,2，使处的切线方程求函数f x的解析式;若对于区间 2,2上任意两个自变量的值 Xi,X2都有f治 f X2 c,求实数c的最小值；若过点M 2,m m 2可作曲线y f x的三条切线，求实数 m的取值范围.f (x) In (23x)3 2x .例4 (综合应用)已知函数2求f(x)在0,1上的极值；1 1x _,不等式丨a若对任意 6 3lnx|ln f (x) 3x 0成立，求

9、实数a的取值范围;若关于x的方程f(x) 2x b在【o上恰有两个不同的实根，求实数 b的取值 范围不等式证明(x)ax 1 , a为正常数.9若f(x)lnX (X)，且a 2，求函数f(x)的单调增区间;例5 (变形构造法)已知函数在中当a 0时，函数yf(x)的图象上任意不同的两点A xi, yi线段AB的中点为C(X0,y0)，记直线AB的斜率为k，试证明：kB X2, y2f (xo)g(x2) g(xj若 g(x) lnx (x)，且对任意的 X1,X2 ,2 ,Xi X2，都有 X2 Xi求a的取值范围.2(高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数f(x) x ln(ax)(a

10、0)(1 )若f(x) x?对任意的x 0恒成立，求实数a的取值范围;g(X) XX2 (- ,1),x! X2 1(2 )当a 1时，设函数 x ，若 e ，求证x1 x2(Xi X2)4例7 (绝对值处理)已知函数f(x) x3 ax2 bx c的图象经过坐标原点，且在x 1处取 得极大值.(I)求实数a的取值范围;(II)若方程f(x)2( )恰好有两个不冋的根，求 f (x)的解析式;9(III)对于(II)中的函数 f (x)，对任意 、 R，求证：| f(2sin ) f(2sin ) | 81 .例8 (等价变形) 已知函数f (x) ax 1 In x (a R).(I )讨论

11、函数f (x)在定义域内的极值点的个数；(n )若函数f (x)在x 1处取得极值，对 x (0, ) , f (x) bx 2恒成立,求实数b的取值范围；(川)当0 x y e2且x e时，试比较 与-一的大小.x 1 In x1 2 7f (x) In x, g(x) - x mx (m 0)例9 (前后问联系法证明不等式) 已知 2 2 ，直线I与函数f(x), g(x)的图像都相切，且与函数f(x)的图像的切点的横坐标为1。(I) 求直线1的方程及m的值；(|)若h(x) f (x 1) g(x)(其中g(x)是g(x)的导函数)，求函数h(x)的最 大值。上 上 b a(III)当

12、0b a 时，求证：心 b) f(2a) 2a例10(整体把握，贯穿全题)已知函数f(x) ln 1.x(1) 试判断函数f(x)的单调性；(2) 设m 0，求f (x)在m,2m上的最大值；(3) 试证明：对任意n N*，不等式ln()e 口都成立(其中e是自然对数的底数)n nz 、口 1 1 1 /(川)证明：” ：例11 (数学归纳法)已知函数f(x) ln(x 1) mx，当x 0时，函数f(x)取得极大值.(1) 求实数m的值；(2) 已知结论：若函数f(x) ln(x 1) mx在区间(a,b)内导数都存在，且a 1，则存在x0 (a,b),使得f (怡)f (b) f (a).

13、试用这个结论证明：若 b af (x ) f (x )1 x-1 x2，函数 g (x) - 2 (x x-i) f (xj，则对任意x-1 x2x (x!, x2),都有 f (x) g(x)；3)已知正数1 , 2 丄，n ,满足1 2 Ln 1 ,求证：当n 2 , n N时，对任意大于1 ,且互不相等的实数x! ,x2,L ,人,都有f ( 1为2x2 LnXn)1f(X1)2f(X2)L nf(Xn).4 恒成立、存在性问题求参数范围例12 (分离变量)已知函数f(x) x? alnx为实常数).若a 2，求证：函数f(X)在(1,+ m)上是增函数；求函数f(x)在i,e上的最小值

14、及相应的 x值；a 的取值范围(3)若存在 x 1,e ，使得 f(x) (a 2)x 成立，求实数1 1n(x 1)例13 (先猜后证技巧) 已知函数f(x)x(I )求函数f (x)的定义域(n)确定函数f (x)在定义域上的单调性，并证明你的结论k(川)若x0时f(x) 恒成立，求正整数k的最大值.x 1例 14 (创新题型)设函数 f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x) g(x).(I )若x=0是F(x)的极值点，求a的值；(H )当 a=1 时,设 p(xi,f(xi), Q(X2, g(x 2)(xi0,x20),且 PQ/x 轴，求 P、Q 两点间的最短

15、距离；(川)若 x0寸函数y=F(x)的图象恒在y=F( x)的图象上方,求实数a的取值范围.2例15(图像分析，综合应用)已知函数g(x) ax 2ax 1 b(a 0,b 1)，在区间2,3f(x)致上有最大值4，最小值1，设 x .(I)求a,b的值；(n)不等式 U k 2 0在X 1,1上恒成立，求实数k的范围；(5 Mi 右 3)0有三个不同的实数解,求实数k的范围.5 导数与数列例16 (创新型问题) 设函数f(x) (x a)2(x b)ex, a、b R , x a是f (x)的一个 极大值点.若a 0，求b的取值范围;当a是给定的实常数，设 x, X2, X3是f(x)的3

16、个极值点，问是否存在实数 b，可 找到x4 R，使得Xi, X2, X3, x4的某种排列x, ,X2必3,卷(其中h, i2, i3, i4 =1,2,3,4 )依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的X4 ；若不存在，说明理由.25 / 306 导数与曲线新题型1 2例17(形数转换) 已知函数f(x) Inx, g(x) ax2 bx(a 0).(1)若a 2,函数h(x) f(x) g(x)在其定义域是增函数，求b的取值范围；在的结论下,设函数(x)=e 2x +be x,x 0,In2, 求函数 (x)的最小值；设函数f (x)的图象Ci与函数g(x)的图象C2交于点P、Q,过线段

17、PQ的中点R作x 轴的垂线分别交 G、C2于点M、N，问是否存在点 R使Ci在M处的切线与C2在N 处的切线平行？若存在，求出R的横坐标;若不存在，请说明理由.x例18 (全综合应用)已知函数f(x) 1 亍(。x 2).(1)是否存在点M(a,b),使得函数y f (x)的图像上任意一点 P关于点M对称的点Q也在函数y f (x)的图像上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；2n 1” i上1 上2定义Snff() f()i 1nn n在的条件下,令Sn1 2an ,若不等式求实数m的取值范围2n 1 *f( ),其中 nN，求 S2013； n2an (an)m 1对n N*且n

18、 2恒成立，7 导数与三角函数综合2例 19（换元替代，消除三角） 设函数 f（x） x（x a） （x R ），其中 a R （I）当a 1时，求曲线y f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（n）当a 0时，求函数f（x）的极大值和极小值；（川）当a 3， k 时，若不等式f（k cosx） fk co x）对任意的x R 恒成立 ,求 k 的值。8 创新问题积累例20已知函数f (x)I、求f (x)的极值.II、求证f (x)的图象是中心对称图形f (x)的取值范围是山、设f (x)的定义域为D,是否存在 a,b D 当x a,b时,a,b ?若存在，求实数a、b的值；若不存在，说明理由4 430 / 30