SARS传播的数学模型_精品文档.doc

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SARS传播的数学模型

摘要

通过对题目附件1的SARS模型进行分析和评价，加深了对SARS的认识和了解。

根据传染病的传播特点，建立了关于SARS病人率和疑似病人率两个常微分方程模型。

以所给数据为基本依据，用Matlab软件进行数值计算，与图形模拟方法求得模型中的有关参数。

当λ1=1.5和λ2=1时，理论图形与实际图形有良好的吻合，分别得到了SARS病人率和疑似病人率比较符合实际数据的变化图，能正确地预测它们的发展趋势。

他们对于模型中的参数有非常强的灵感性，λ1的值作微小的改变对于整个疫情的发展有很大的影响，所以政府采取对SARS疫情的有关措施是完全正确的。

本文重点分析了关于SARS病人率的模型一，根据求得的参数，利用相轨线理论对结果加以分析并对整个疫情作出预测，并推论出SARS病人率关于t的表达式i（t）,然后提出了对传染病的控制方案，同时列举了具体方法，并论证了方法的合理性和可行性，用其它地区的数据对模型进行检验，说明模型的参数有区域性。

关键词：

SARS微分方程曲线拟合数学模型相轨线

一、问题的提出

SARS俗称非典型肺炎，是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。

我国作为发展中大国深受其害：

SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响。

在党和政府的统一领导下，全国人民与SARS顽强抗争，取得了可喜的阶段性胜利，并从中得到了许多重要的经验和教训，认识到在没有找出真正病因和有效治愈方法前，政府采取的强制性政策对抑制SARS自然发展最有效办法。

而本题的目的就是要建立一个适当的模型对SARS传播规律进行定量地分析、研究，为预测和控制SARS蔓延提供可靠、足够的信息，无论对现在还是将来都有其重要的现实意义。

二、模型的假设

1．地总人数N可视为常数，即流入人口等于流出人口。

2．据人口所处的健康状态，将人群分为：

健康者，SARS病人，退出者（被治愈者、免疫者和死亡者）。

3．在政府的强制措施下，人口基本不流动，故无病源的流入和流出，避免了交叉感染，降低了感染基数。

4．隔离的人断绝了与外界的联系，不具有传染性。

5．SARS康复者二度感染的概率为0。

6．国家完善了监控手段，加强了对SARS病毒监控的力度，故可假设所有感染SARS病毒的人群都进入了SARS病人类和疑似类。

7．由于对SARS病原体的研究不够深入，无有效药物可以使人体免疫，同时SARS病毒感染后，大量繁殖，破坏免疫系统，故不可免疫。

三、模型的建立

（一）参数的设定和符号说明

s（t）：

t时刻健康者在总体人群中的比例

i（t）：

t时刻SARS病人在总体人群中的比例

l（t）：

t时刻疑似病人在总体人群中的比例

r（t）：

t时刻被治愈者、死亡者和免疫者在总体人群中的比例之和。

：

SARS病人日接触率。

为每个病人每天有效接触（足以使健康者受感染变为病人）的平均人数。

：

日治愈率。

为每天被治愈的病人占病人总数的比例。

：

日转化率。

为每天危险群体中的疑似病人被确诊为SARS患者的比例。

：

日死亡率。

为每天SARS病人死亡的数量和当天病人总数量的比值。

：

疑似感染率。

为每天感染为疑似病人的比例。

（二）模型建立

模型一感染为SARS患者情况

由假设，每个病人每天可使个健康者变为病人，因为病人人数为，所以每天共有个健康者被感染，于是就是病人数的增加率，又因为每天被治愈率为，死亡率为，所以每天有个病人被治愈，有个病人死亡。

那么病人的感染为

由于

对于退出者

（）

由假设可知：

故SARS患者率模型一的方程建立如下：

（3）

模型二疑似患者的变化情况

与前面同样的分析，得到疑似患者率模型二：

（5）

四、模型求解

（一）参数的确定和分析：

1.的确定

=，=，=

用EXCEL电子表格处理题目附件2中所给数据得：

=0.055076，=0.038183，=0.002443。

（处理数据见附件）

2．的确定

确定

很明显从我们建立的模型是无法得到s、i、、的解析解。

为了解决这个问题我们用MATLAB软件中龙格—库塔方法求出他们的数值解。

先通过实际统计数据算出每一天的s、i、、做出它们与时间的函数图象图1，然后我们再对取一组数，分别画出由通过模型解出的数值解随时间变化的图象图2，将这组图象与由实际数据所得图象相比较,调试。

我们发现当1.5时，理论图形与实际图形有最佳的吻合。

图形如下：

<图1>:

根据实际数据拟合的图象（画图程序见附件）

<图2>通过数值解作出的关于时间t的变化（画图程序见附件）

分析两个图形可知，它们的高峰期、缓解期和平稳期曲线相当符合，具有相同的发展趋势。

但是在[0,10]的SARS初期范围内，曲线变化不相同。

这主要是因为在4月24日之前，没有相关数据的统计和报道，由于数据的不全，根据边界值画出来的曲线与通过数值解得到的曲线相比较，不能准确反映SARS产生初期时的趋势，所以边界值应该去掉，而通过数值解模拟的曲线可以得到之前的发展趋势。

并且通过对SARS蔓延期特点的分析，<图2>在符合所给数据反映的规律基础上，还能够模拟缺乏数据的SARS初始状态，所以曲线是合理的。

（2）确定

与确定时类似，先根据实际数据画出图形

<图3>实际数据图形

然后再对取一组数，分别画出通过模型解出的数值解随时间变化的图象，将这组图象与由实际数据所得图象相比较,调试。

发现当1.0时，理论图形与实际图形有最佳的吻合。

图形如下：

<图4>

在[0,10]的初期范围内，曲线趋势不同，原因同前。

整个曲线反映了疑似患者在SARS的过程中的变化规律。

五、结果分析与检验

（一）讨论的性质

平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域为

从模型

（一）中消去，利用的定义，可得

（6）

由（6）式解得

（7）

（二）对于合理确定的，我们可以画出图，图形如下：

<图5>（画图程序见附件

由于在这个SARS病毒发展过程中，是变化的，故可以画出取不同值时的图形，如下

取0.4192，0.2858、0.1858时的图形。

<图6>

分析（3）式和（7）式，可知：

1．不论初始条件，如何，病人终会消失，即SARS最终会被消灭,亦即。

证明省略。

从图形上看，相轨线终将与s轴相交（t充分大）。

2．设最终未被感染的健康者的比例是，在（7）式中令得到方程

（8）

是（8）在（0,1/）内的根，在图形上是相轨线与s轴在（0,1/）内交点的横坐标。

对于确定下来的=0.0383，可以代入（8）式解出≈0

3．SARS疾病传染过程分析

整个传染过程，随着政府和公众对SARS的重视程度的变化，可知接触数随着治愈率、死亡率和接触率的不断变化而变化。

（1）在SARS爆发的初期，由于潜伏期的存在，社会对SARS病毒传播的速度和危害程度认识不够，所以政府和公众没有引起重视。

治愈率和死亡率很小，而接触率相对较大，所以很小。

当，则开始增加，可认为是疾病蔓延阶段。

（2）当=时，达到最大值

（9）

对于我们确定的，可以求出0.8368，可认为是疾病传染到达了高峰期。

（3）当<时，单调减小至零，单调减小至。

这一时期病人比例绝不会增加，传染病不会蔓延，进入缓解期。

4．群体免疫和预防

根据对模型的分析，当≤是传染病不会蔓延。

所以为制止蔓延，除了提高卫生和医疗水平，使阈值1/变大以外，另一个途径是降低，这可以通过预防接种使群体免疫。

第二个途径通过预防接种使群众免疫，免疫后就不会被感染上病毒。

按照我们人群的分类系统，将免疫人群归为退出者类，所以免疫人群的出现，不与模型的分类系统相矛盾。

忽略病人比例的初始值，有=1-，于是SARS不再蔓延的条件≤可以表示为：

（10）

所以只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例满足（10），就可以制止SARS的蔓延。

5．数值验证与估量

根据上面的分析，阻止SARS蔓延有两种手段，一是提高卫生水平和医疗水平，即降低日接触率，提高日治愈率，二是群体免疫，即提高移出者比例的初值。

我们以最终未感染的健康者的比例和病人比例达到最大值，作为传染病蔓延程度的度量指标。

给定不同的，，，，用（）式计算，用（9）式计算

1.0

0.3

0.3

0.98

0.02

0.0398

0.3449

0.6

0.3

0.5

0.98

0.02

0.1965

0.1635

0.5

0.5

1.0

0.98

0.02

0.8122

0.0200

0.4

0.5

1.25

0.98

0.02

0.9172

0.0200

1.0

0.3

0.3

0.70

0.02

0.0840

0.1685

0.6

0.3

0.5

0.70

0.02

0.3056

0.0518

0.5

0.5

1.0

0.70

0.02

0.6528

0.0200

0.4

0.5

1.25

0.70

0.02

0.6755

0.0200

从计算得到的和可以看出：

（1）对于一定的，降低，提高，使阈值1/变大，会使变大，变小。

于是验证了群体免疫和预防中提出的提高卫生水平和医疗水平，可以使SARS最终的患者比例缩小，健康群体增加。

（2）对于一定的，，提高，会使变大，变小。

所以实行群体免疫，降低受感染的基数，可以有效地减缓SARS蔓延的速度。

在（8）式中略去很小的，即有

（11）

6．模型验证

首先，由方程

（1）和（3）可以得到

（12）

（13）

当时，取（13）式右端Taylor展开的前三项，在初始值下的解为

（14）

其中,,从（14）式算出

（15）

将（14）代入（12），再将（12）代入（7），得到

（其中，）

对于表达式中的参数，已通过前面的参数分析得出，代入表达式，就可以对t时的患病率做预测，达到了预测的目的，满足题目的要求。

7．对卫生部措施的评估

在模型中，的取值大小能充分反映接触率的变化。

若采取的隔离措施提前T天，那么将相应减小，反之则增加。

不妨将的值取为1.3和1.7，作出相应的图形7和图8。

〈图7〉

〈图8〉

由以上图形可见，T对SARS病人的增长有显著影响，因此，卫生部采取的提前或延后5天的隔离措施有其数学背景和科学依据。

至于到底提前或延后几天最好，还有待进一步研究。

六、模型