SARS传播的数学模型文档格式.docx

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健康者，SARS病人，退出者（被治愈者、免疫者和死亡者）。

3．在政府的强制措施下，人口基本不流动，故无病源的流入和流出，避免了交叉感染，降低了感染基数。

4．隔离的人断绝了与外界的联系，不具有传染性。

5．SARS康复者二度感染的概率为0。

6．国家完善了监控手段，加强了对SARS病毒监控的力度，故可假设所有感染SARS病毒的人群都进入了SARS病人类和疑似类。

7．由于对SARS病原体的研究不够深入，无有效药物可以使人体免疫，同时SARS病毒感染后，大量繁殖，破坏免疫系统，故不可免疫。

三、模型的建立

（一）参数的设定和符号说明

s（t）：

t时刻健康者在总体人群中的比例

i（t）：

t时刻SARS病人在总体人群中的比例

l（t）：

t时刻疑似病人在总体人群中的比例

r（t）：

t时刻被治愈者、死亡者和免疫者在总体人群中的比例之和。

：

SARS病人日接触率。

为每个病人每天有效接触（足以使健康者受感染变为病人）的平均人数。

日治愈率。

为每天被治愈的病人占病人总数的比例。

日转化率。

为每天危险群体中的疑似病人被确诊为SARS患者的比例。

日死亡率。

为每天SARS病人死亡的数量和当天病人总数量的比值。

疑似感染率。

为每天感染为疑似病人的比例。

（二）模型建立

模型一感染为SARS患者情况

由假设，每个病人每天可使个健康者变为病人，因为病人人数为，所以每天共有个健康者被感染，于是就是病人数的增加率，又因为每天被治愈率为，死亡率为，所以每天有个病人被治愈，有个病人死亡。

那么病人的感染为

由于

对于退出者

（）

由假设可知：

故SARS患者率模型一的方程建立如下：

（3）

模型二疑似患者的变化情况

与前面同样的分析，得到疑似患者率模型二：

（5）

四、模型求解

（一）参数的确定和分析：

1.的确定

=，=，=

用EXCEL电子表格处理题目附件2中所给数据得：

=0.055076，=0.038183，=0.002443。

（处理数据见附件）

2．的确定

确定

很明显从我们建立的模型是无法得到s、i、、的解析解。

为了解决这个问题我们用MATLAB软件中龙格—库塔方法求出他们的数值解。

先通过实际统计数据算出每一天的s、i、、做出它们与时间的函数图象图1，然后我们再对取一组数，分别画出由通过模型解出的数值解随时间变化的图象图2，将这组图象与由实际数据所得图象相比较,调试。

我们发现当1.5时，理论图形与实际图形有最佳的吻合。

图形如下：

<

图1>

:

根据实际数据拟合的图象（画图程序见附件）

图2>

通过数值解作出的关于时间t的变化（画图程序见附件）

分析两个图形可知，它们的高峰期、缓解期和平稳期曲线相当符合，具有相同的发展趋势。

但是在[0,10]的SARS初期范围内，曲线变化不相同。

这主要是因为在4月24日之前，没有相关数据的统计和报道，由于数据的不全，根据边界值画出来的曲线与通过数值解得到的曲线相比较，不能准确反映SARS产生初期时的趋势，所以边界值应该去掉，而通过数值解模拟的曲线可以得到之前的发展趋势。

并且通过对SARS蔓延期特点的分析，<

在符合所给数据反映的规律基础上，还能够模拟缺乏数据的SARS初始状态，所以曲线是合理的。

（2）确定

与确定时类似，先根据实际数据画出图形

图3>

实际数据图形

然后再对取一组数，分别画出通过模型解出的数值解随时间变化的图象，将这组图象与由实际数据所得图象相比较,调试。

发现当1.0时，理论图形与实际图形有最佳的吻合。

图4>

在[0,10]的初期范围内，曲线趋势不同，原因同前。

整个曲线反映了疑似患者在SARS的过程中的变化规律。

五、结果分析与检验

（一）讨论的性质

平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域为

从模型

（一）中消去，利用的定义，可得

（6）

由（6）式解得

（7）

（二）对于合理确定的，我们可以画出图，图形如下：

图5>

（画图程序见附件

由于在这个SARS病毒发展过程中，是变化的，故可以画出取不同值时的图形，如下

取0.4192，0.2858、0.1858时的图形。

图6>

分析（3）式和（7）式，可知：

1．不论初始条件，如何，病人终会消失，即SARS最终会被消灭,亦即。

证明省略。

从图形上看，相轨线终将与s轴相交（t充分大）。

2．设最终未被感染的健康者的比例是，在（7）式中令得到方程

（8）

是（8）在（0,1/）内的根，在图形上是相轨线与s轴在（0,1/）内交点的横坐标。

对于确定下来的=0.0383，可以代入（8）式解出≈0

3．SARS疾病传染过程分析

整个传染过程，随着政府和公众对SARS的重视程度的变化，可知接触数随着治愈率、死亡率和接触率的不断变化而变化。

（1）在SARS爆发的初期，由于潜伏期的存在，社会对SARS病毒传播的速度和危害程度认识不够，所以政府和公众没有引起重视。

治愈率和死亡率很小，而接触率相对较大，所以很小。

当，则开始增加，可认为是疾病蔓延阶段。

（2）当=时，达到最大值

（9）

对于我们确定的，可以求出0.8368，可认为是疾病传染到达了高峰期。

（3）当<

时，单调减小至零，单调减小至。

这一时期病人比例绝不会增加，传染病不会蔓延，进入缓解期。

4．群体免疫和预防

根据对模型的分析，当≤是传染病不会蔓延。

所以为制止蔓延，除了提高卫生和医疗水平，使阈值1/变大以外，另一个途径是降低，这可以通过预防接种使群体免疫。

第二个途径通过预防接种使群众免疫，免疫后就不会被感染上病毒。

按照我们人群的分类系统，将免疫人群归为退出者类，所以免疫人群的出现，不与模型的分类系统相矛盾。

忽略病人比例的初始值，有=1-，于是SARS不再蔓延的条件≤可以表示为：

（10）

所以只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例满足（10），就可以制止SARS的蔓延。

5．数值验证与估量

根据上面的分析，阻止SARS蔓延有两种手段，一是提高卫生水平和医疗水平，即降低日接触率，提高日治愈率，二是群体免疫，即提高移出者比例的初值。

我们以最终未感染的健康者的比例和病人比例达到最大值，作为传染病蔓延程度的度量指标。

给定不同的，，，，用（）式计算，用（9）式计算

1.0

0.3

0.98

0.02

0.0398

0.3449

0.6

0.5

0.1965

0.1635

0.8122

0.0200

0.4

1.25

0.9172

0.70

0.0840

0.1685

0.3056

0.0518

0.6528

0.6755

从计算得到的和可以看出：

（1）对于一定的，降低，提高，使阈值1/变大，会使变大，变小。

于是验证了群体免疫和预防中提出的提高卫生水平和医疗水平，可以使SARS最终的患者比例缩小，健康群体增加。

（2）对于一定的，，提高，会使变大，变小。

所以实行群体免疫，降低受感染的基数，可以有效地减缓SARS蔓延的速度。

在（8）式中略去很小的，即有

（11）

6．模型验证

首先，由方程

（1）和（3）可以得到

（12）

（13）

当时，取（13）式右端Taylor展开的前三项，在初始值下的解为

（14）

其中,,从（14）式算出

（15）

将（14）代入（12），再将（12）代入（7），得到

（其中，）

对于表达式中的参数，已通过前面的参数分析得出，代入表达式，就可以对t时的患病率做预测，达到了预测的目的，满足题目的要求。

7．对卫生部措施的评估

在模型中，的取值大小能充分反映接触率的变化。

若采取的隔离措施提前T天，那么将相应减小，反之则增加。

不妨将的值取为1.3和1.7，作出相应的图形7和图8。

〈图7〉

〈图8〉

由以上图形可见，T对SARS病人的增长有显著影响，因此，卫生部采取的提前或延后5天的隔离措施有其数学背景和科学依据。

至于到底提前或延后几天最好，还有待进一步研究。

六、模型评价及改进

1、评价

模型首先根据所给数据的分析，采用微分方程建立两个模型，分设变量。

再通过统计数据与数据拟和求得各自的参数值，利用数值计算得到结果并加以分析，得出传染病的传染规律，最后根据此分析提出对传染病预测与控制的方案。

模型采用了数值计算，图形观察与理论分析相结合的方法，先有感性认识，再用相轨线做理论分析，最后进行数值验证和估算，可以看作计算机技术与建模的配合。

模型采用微分方程本身就有一定的缺限，其计算结果的准确性、可靠性将受到限制，再加之数值解的不确定性，模型对长时间的预测有它的局限性。

因时间限制模型没能更多考虑交叉分类进行。

2、改进

若能建立以随机偏微分方程组为基础的数学模型，将大大提高计算的准确性与可靠性，使得预测更加准确，但这样做将遇到模型求解，数据准确收集和数值求解的不精确性等诸多困难。

七、对附件1模型的评价

1、合理性

该模型的基本假设符合事实，对照解得的结果与实际病例数据也相当吻合，所以该模型基本是合理的。

具体表现：

模型中的参数K（平均每病人每天可传染K个人）、L（平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天）的确定是由已公布的数据统计计算和数据拟合得来，具有一定的可靠性。

特别是对K的分段处理，反映了传染病的许多特性，同时也反应了社会的警觉