SARS传播的数学模型.docx

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SARS传播的数学模型

SARS传播的数学模型

摘要：

我们以传统的微分方程为理论基础，从经典的传染病模型SIR模型入手，参考用2003

年6月以前的有关SARS的统计数据，对SARS病情的特殊性进行了分析，建立了描述SARS疫情传播的微分方程模型。

还用曲线拟合的方式，给出了模型中参数的确定方法，以及模型的数值解法。

关键词：

SARS，传染病模型，微分方程，曲线拟合

SARS的简介：

SARS（SevereAcuteRespiratorySyndrome，严重急性呼吸道综合症,俗称：

非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。

SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。

与以往的传染病不同，SARS具有其自身的特征：

除了考虑易感染者、已感染者和移出者外，还要考虑疑似者、疑似者中的确诊者、不可控者、不可控者中转化为病人（感染）者。

我们从经典的传染病模型SIR模型出发，考虑了传染病蔓延过程中政府部门的决策和措施对抑制疾病蔓延的积极作用

基本假设：

1.除感病特征外，人群的个体间没有差异、感病者与易感者的个体在人群中混合是均匀的

人群的数量足够大，只考虑传染过程的平均效应。

2.易感者感病的机会与他接触感病者的机会成正比。

3.疾病的传染率为常数。

4.不考虑出生与死亡的过程和人群的迁出和迁入

5.已感染者以固定的比率痊愈或死亡。

6.对于一个SARS康复者我们可以假设他二度感染SARS的概率为0，这些人既不是健康者（易感染者），也不是病人（已感染者）。

符号说明：

S（t）为易感染者在总人口中所占的比例

I（t）为已感染者在总人口中所占的比例

R（t）为移出者在总人口中所占的比例

N（t）为疑似者在总人口中所占的比例

M（t）为不可控者在总人口中所占的比例

k为每个易感染者平均每天感染的有效人数

h为移出率（即SARS患者的日死亡率和日治愈率之和）

为不可控者中转化为病人的日转化率

为被不可控者有效感染的人中可以控制的比率

y1为疑似者中每日被诊断为未被感染者占疑似者的比例

y2为疑似者中每日被诊断为被感染者占疑似者的比例

对问题一的回答：

某种函数的形式，引入一些参量因子进行考虑。

对问题二的回答：

模型的建立

模型I（SIR）

如果假设S（t）为易感染者在总人口中所占的比例，I（t）为已感染者在总人口中所占的比例，R（t）为移出者在总人口中所占的比例，k为每个易感染者平均每天感染的有效人数，h为移出率，则通过机理分析，这种情况可以用经典的传染病模型SIR模型来描述，其表达式为如下的微分方程组：

，S（0）=S0

，I（0）=I0

，R（0）=R0

其中S（t）+I（t）+R（t）=1。

（相对移出率）

解为：

讨论：

当

时，

无论初始条件

如何，感病者终将在系统中消失，即有

。

事实上，

，而

故

存在。

由

且

故

存在。

若

，则

。

对于充分大的

有

。

从而对充分大的

有

。

这将导致

。

与

存在矛盾。

可得

。

设法提高模型中

（改善卫生条件、减少传染期的接触数）的值，在模型Ⅱ中，参数

是重要的，通常称之为相对移出率。

我们可以用S的极值来表示

，因此

可以由观测数据给出估计。

当传染病流行结束后得到

和

，由上式就可给出

的估计。

模型Ⅱ（针对SARS特征建立的模型）

SARS的传播机理又与一般的传染病不尽相同。

不仅有易感染者、已感染者和移出者，还有疑似者和不可控者（自由带菌者），同时疑似者和不可控者中都可能有一部分转化为易感染者，也有一部分转化为易感染者。

所以，传统的传染病模型无法描述SARS的传播机理，必须对其进行修改。

假设S（t）为易感染者在总人口中所占的比例，I（t）为已感染者在总人口中所占的比例，R（t）为移出者在总人口中所占的比例，N（t）为疑似者在总人口中所占的比例，M（t）为不可控者在总人口中所占的比例。

又设k为每个不可控者发病后被收治前平均每天感染的有效人数，为不可控者中转化为病人的日转化率，h为移出率（即SARS患者的日死亡率和日治愈率之和），为被不可控者有效感染的人中可以控制的比率，y1为疑似者中每日被诊断为未被感染者占疑似者的比例，y2为疑似者中每日被诊断为被感染者占疑似者的比例。

于是，从经典的传染病模型SIR模型出发，通过机理分析动态地修正，得到描述SARS传播的微分方程模型如下：

，S（0）=S0

，I（0）=I0

，R（0）=R0

，N（0）=N0

，M（0）=M0

参数的确定

上述的SARS传播模型中，共有6个参数。

根据政府发布的统计数据信息，每天的y1、y2和h可以使用如下的公式进行估计：

一．

=

初步用曲线拟合处理一下原始数据，如图所示：

图1

y1的值主要分布2%—4.5%之间，其中概率最大的取值为：

3.51%，故我们在模型建立过程中，就取3.51%为y1的概率平均值。

二．

=

初步用曲线拟合处理一下原始数据，如图2所示：

三．h=

初步用曲线拟合处理一下原始数据，如图3所示：

将每天估计的参数数据作为原始数据集，用曲线进行拟合（图1为对13天中h数据的拟合），求出相应的近似概率分布，从而可以求得三个参数的估计值。

四．

从数据可推算出其值在12%—30%之间我们在这里令

五．

与城市的人口密度、生活习惯等因素有关，由于在强化控制阶段对人员的流动控制的相当严格，还采取了比如封校、小区隔离、公共场合的关闭、减少聚集活动等有效措施，故我们可估计

模型的求解

从建立的模型来看很难直接得到S，I，R，和M的解析解，这里采用三阶龙格—库塔方法，通过Matlab进行数据拟合来求出它们的数值解。

通过采集到的实际数据计算出每一天的S，I，R，N和M，画出它们作为时间的函数的图象，然后画出我们通过模型解出的数值解随时间变化的图形。

对比这两组图形曲线，可以发现实际和理论存在着一定的差异。

这一方面是因为在疫情发展过程中的偶然因素造成的，另一方面也是因为我们的参数估计不精确造成的。

所以，我们必须通过不断的动态的调整那些非计算得到的参数（k，ε，）来使实际图象和理论图象趋于一致。

例如，初步用曲线拟合处理一下原始数据，如图2所示。

经过不断调试，找到适当的k，ε，，使实际图象和理论图象有最好的符合，从而得到非计算的三个参数，进而求得模型的数值解。

初步用曲线拟合处理一下原始数据，如图4所示：

图4

经过多次调试,我们发现，当K=0.71人,ε=0.2,α=0.8时,实际图象和理论图象有最好的符合。

而这三个值均在我们估计的范围内，所以我们认为这三个值的得到是比较合理的。

对政府措施的评价：

如果提前5天采取严格的隔离措施，那么在我们建立的模型中参数K将大大减小，也就是可控人数N中感染sars的人对易感人群的感染率将大大降低。

反之，若延后5天采取严格的隔离措施，可控人数N中感染sars的人对易感人群的感染率将大大升高。

由式

可得出，可控制比例

将增大，不可控人群变化率将降低。

由于所建模型中，常微分方程涉及到的参数特别多，所以对参数的确定有一定的困难，我们仅仅通过图形法对数据进行拟合，显然其拟合的结果可靠性、准确性受到一定限制，数值解也有相对的不确定性。

对问题三的回答：

旅游业经济模型

由于SARS的原因，我国经济受到了很大的影响，我们通过对北京对海外旅游业的统计数据，建立了如下模型。

[符号说明]

表示n年k月份北京接待海外旅游人数。

[方程]

如图5所示

图4

平均年增长率

如图5所示

图5

由于8月非典得到有效抑制，全国非典病人也实现了零增长，故经济开始慢慢恢复，如图，在5，6月份，经济增长与去年同期相比，增长率快达到负1，之后，由于非典得到控制，开始回升，估计在11月，可达到正常水平。

从图中，我们算得9月份，海外旅游人数22.35万人，10月份，海外旅游人数22.35万人，11，12月份，如果说非典不反弹，有望达到正常水平。

03年海外旅游数据统计如图6所示

图6

（注：

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）