七年级数学寒假班讲义.docx

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七年级数学寒假班讲义

七年级数学寒假班讲义

--------------平行与平移

一、知识梳理（回顾所学知识，完成填空）

1．下图中，

同位角、内错角一定相等吗？

同旁内角一定互补嘛？

是同位角的是；

是内错角的是；

是同旁内角的是　．　

2．直线平行的条件：

（1）基本事实：

，两直线平行；

如何由基本事实证明后面两个定理？

（2）定理：

，两直线平行；

（3）定理：

，两直线平行．

3．平行线的性质：

（1）基本事实：

两直线平行，；

（2）定理：

两直线平行，；

描述平移，必须说清：

按...方向，平移...距离

（3）定理：

两直线平行，．

4．在平面内，，

画“平移”的依据和方法

这样的图形运动叫做图形的平移．

5．平移的性质：

（1）平移不改变图形的、；

（2）一个图形．

2、典型例题

证明：

因为BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC（），

所以∠1=

，∠3=

（）．

（已知），

所以∠1=∠3（），

因为∠１=∠2（已知），

平行的条件与平行线性质的综合运用

所以∠2=∠3（　　　　　　）．

所以　　　　∥　　　　（　　　　　　　　　　　　）．

所以∠A+∠　　　　=180°,

∠C+∠　　　　=180°（）．

所以∠A＝∠C（　　　　　　　　　　　　）．

3、课堂检测

1．如图，能判定EB∥AC的条件是（）

A．∠C＝∠ABEB．∠A＝∠EBD

C．∠C＝∠ABCD．∠A＝∠ABE

2．如图，直线a∥b，∠1＝70°，那么∠2=°．

3．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝130°，则∠2＝°．

（第2题）（第3题）（第4题）（第5题）

4．如图，把边长为3cm的正方形ABCD先向右平移1cm，再向上平移1cm，得到正方形

EFGH，则阴影部分的面积为　　cm²．

5．把图中的一个三角形先横向平移x格，再纵向平移y格，可以与另一个三角形拼合成一

些不同形状的四边形．那么移动的总格数（x+y）的值最小为．

6．如图，点D在AB上，直线DG交AF于点E．

请从①DG∥AC，②AF平分∠BAC，③∠ADE＝∠DEA．

中任选两个作为条件，余下一个作为

结论，构造一个真命题，并说明理由．

已知：

，

求证：

．（填写序号）

证明：

7．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．

（1）CD与EF平行吗？

为什么？

（2）如果∠1=∠2，且∠3=115°，求∠ACB的度数．

四：

拓展归类

1.如图、直线a、b被c所截，所标出的角中有哪些角是同位角？

同位角一定相等吗？

2.三类角的位置特征、基本图形、图形结构特征如下表：

3.

（1）同位角和同旁内角在位置上有什么相同点和不同点？

内错角和同旁内角在位置上有什么相同点和不同点？

（2）这三类角的共同特征是什么？

与两被截直线的位置关系

与截线的位置关系

同位角

两直线同侧

截线的同旁

内错角

两直线之间

截线异侧

同旁内角

两直线之间

截线同侧

总结：

五、范例点睛

例1、如图

（1），∠1和∠2是直线_______、_______被直线_______所截得的_______角，∠2和∠3是直线_______、_______被直线_______所截得的_______角；如图

（2），∠1和∠2是直线_______、_______被直线_______所截得的_______角，∠4和∠3是直线_______、_______被直线_______所截得的_______角。

例2、填空

1.∠1和∠3是，它是直线和被直线所截而成的；

2.∠4和∠5是，它是直线和被直线AC所截而成的；

3.∠2和∠6是，它是直线和BC被直线所截而成的；

4.∠5和∠7是，它是直线和被直线AC所截而成的.

例4、如图，∠1和∠2是同位角的是（）

六、随堂演练

1、如图，能与∠1构成同位角的角（）A、2个B、3个C、4个D、5个

2、若∠1与∠2是同旁内角，∠1=50º，则（）

A、∠2=50ºB、∠2=130ºC、∠2=50º或∠2=130ºD、∠2的大小不定

3、如图，直线AB、CD相交，连结AC。

（1）∠3和∠A是直线______和______被_____所截得的______角。

（2）∠1和∠C是直线______和______被______所截得的______角。

4、如图，直线AB、CD被EF、EG所截，在∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6中，同旁内角有____________对。

作业设计

一、填空题

1、如图

（1），直线AB、CD被直线AE所截，∠A和______是同位角，

∠A和______是内错角，∠A和_____是同旁内角.

1、如图

（2），∠1和∠5是直线________、_______被直线_______所截而成的______角；∠2和∠3是直线______、_______被直线_______所截而成的_______角；

∠6和∠9是直线_____、______被直线________所截而成的_______角。

（图1）（图2）（图3）

3、如图（3），直线AF和AC被直线EB所截，∠EBC的同位角是_______，∠EBC的同旁内角是______，∠EBC的内错角是_____；直线DC、AC被直线AF所截，∠FAC的同位角是________，内错角是_____，同旁内角是_________.

4、图（4）中的角，∠6与∠2是________角，∠5和∠6是________角，∠5和∠7是________角，∠1与∠5是________，∠4和∠6是________角，∠3与∠1是________角.

5、如图（5），BE、CF是射线，则图中的内错角共有______对，它们是_____．

二、选择题

1．如图（6），下列说法中错误的是（）

A．∠2与∠6是同位角B．∠2与∠5是同旁内角C．∠3与∠5是内错角D．∠4与∠7是同位角

2．如图（7），下列说法错误的是（）

A．∠1和∠B是同位角B．∠2与∠B是同位角C．∠2与∠C是内错角D．∠EAC与∠C是内错角

3．如图（8），下列结论不正确的是（）

A．∠1与∠3是内错角B．∠1与∠2是同位角C．∠1与∠6是同位角D．∠5与∠6是同旁内角

4．如图（9），与∠C是同旁内角的角有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

5．下列各对角中，只有一条公共边，并且有公共顶点的是（）

A．对顶角B．内错角C．邻补角D．同位角

6．如图（10），与

组成同位角，与

组成内错角的角分别有（）

A．2对，4对B．4对，2对C．2对，2对D．4对，4对

7．如图（11），能与

构成同位角的角有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

8．如图（12），下列判断正确的是（）

A．4对同位角，4对内错角，2对同旁内角B．4对同位角，4对内错角，4对同旁内角

C．6对同位角，4对内错角，4对同旁内角D．以上判断都不对.

七年级数学寒假班讲义

------------------------平行线的性质和判定

一、范例点睛

例1.如图，∠1=∠2，∠B+∠BDE=1800，图中那些线互相平行，为什么？

解：

（1）AB∥EF

∵∠1=∠2（）

∴AB∥EF（）

（2）DE∥BC

∵（）

∴DE∥BC（）

例2、如图，∠1=∠C，∠2=∠C，请你找出图中互相平行的直线，并说明理由。

例3、如图，∠1=∠2，∠B+∠BDE=1800。

图中哪些线互相平行？

并说明理由。

例4、．填写证明的理由．

已知：

如图，AB∥CD，EF、CG分别是∠AEC、∠ECD的角平分线；求证：

EF∥CG．

证明：

∵AB∥CD（已知）∴∠AEC=∠DCE（　　）

又∵EF平分∠AEC（已知）

∴∠1=

∠　　（　　）

同理∠2=

∠　　∴∠1=∠2

∴EF∥CG（　　）

例5．如图，已知CF⊥AB于F，ED⊥AB于D，∠1=∠2，求证：

FG∥BC．

例6．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．求证：

DG∥BA．

例7．将下列证明过程补充完整：

已知：

如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠1=∠2，∠A=∠F．

求证：

∠C=∠D．

证明：

因为∠1=∠2（已知）．

又因为∠1=∠ANC（　　　　　　），

所以　　　　　　（等量代换）．

所以　　　　　　∥　　　　　　（同位角相等，两直线平行）．

所以∠ABD=∠C（　　　　　　）．

又因为∠A=∠F（已知），

所以　　　　　　∥　　　　　　（　　　　　　）．

所以　　　　　　（两直线平行，内错角相等）．

所以∠C=∠D（　　　　　　）．

例8．如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，D、F为垂足，G是AB上一点，且∠FEC=∠GDB，

试说明：

∠AGD=∠ABC．

二：

拓展提优

例1．如图，已知AB∥CD，分别探究下面四个图形中∠P和∠A、∠C的关系，并从所得的四个关系中任选一个加以说明，证明所探究的结论的正确性．

结论

（1）　　　　　　

（2）　　　　　　（3）　　　　　　（4）　　　　　　．我选择结论　　　　　　．

说明理由．

例2．已知：

如图①、②，解答下面各题：

（1）图①中，∠AOB=55°，点P在∠AOB内部，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，

求∠EPF的度数．

（2）图②中，点P在∠AOB外部，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F，那么∠P与∠O

有什么关系？

为什么？

（3）通过上面这两道题，你能说出如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角是什么关系？

（4）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角是什么关系？

（请画图说明结果，不需要过程）

作业设计

一、填空题

1、在同一平面内,若直线a,b,c满足a⊥b,a⊥c,则b与c的位置关系是______.

2、如图所示,BE是AB的延长线,量得∠CBE=∠A=∠C.

（1）由∠CBE=∠A可以判断______∥______,根据是_________.

（2）由∠CBE=∠C可以判断______∥______,根据是_________.

3．如图，

（1）∠B=∠1，那么根据，可得AD∥BC；

（2）∠D=∠1，那么根据，可得AB∥CD．

4．如图，直线a∥b，EF⊥CD于点F，∠2=65︒，则∠1的度数是．

5．如图，∠1=120°，∠2=60°，∠3=100°，则∠4=　　　　　　时，AB∥EF．

6、如下图，在甲、乙两地之间要修一条公路，从甲地测得公路的走向是北偏东55°．若甲、乙两地同时开工，那么在乙地公路走向按________施工，才能使公路准确接通．

二、选择题

1、如图1,下列条件中,能判断AB∥CD的是（）毛

A.∠BAD=∠BCDB.∠1=∠2;C.∠3=∠4D.∠BAC=∠ACD

2、如图2,如果∠D=∠EFC,那么（）

A.AD∥BCB.EF∥BCC.AB∥DCD.AD∥EF

3、如图3,能判断AB∥CE的条件是（）

A.∠A=∠ACEB.∠A=∠ECDC.∠B=∠BCAD.∠B=∠ACE

4、如图4，已知∠1=∠2=∠3=∠4，则图形中平行的是（）

A．AB∥CD∥EF;B．CD∥EF;C．AB∥EF;D．AB∥CD∥EF，BC∥DE

5、如图5，已知∠1=∠2，则在结论：

（1）∠3=∠4，

（2）AB∥CD，（3）AD∥BC中（）

A．三个都正确B．只有一个正确;C．三个都不正确D．只有一个不正确

6、如图6，在△ABC中，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，

只需再有下列条件中的（）

A．∠1=∠2B．∠1=∠DFEC．∠1=∠AFDD．∠2=∠AFD

7、如图7，直线a,b被直线c所截,现给出下列四个条件:

①∠1=∠5;②∠1=∠7;

③∠2+∠3=180°;④∠4=∠7.其中能说明a∥b的条件序号为（）

A.①②B.①③C.①④D.③④

三、解答题

8、如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠1=∠2，直线AB和CD平行吗？

为什么？

9、如图，有一对相关的角相等，就可以判断AE∥BF，请你根据图中所标注的角，写出四组这些相关的角，

并说明理由．

10、如图，已知直线EF和AB,CD分别相交于K,H,且EG⊥AB,∠CHF=600,∠E=30°,试说明AB∥CD.

11．已知：

如图AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2，试说明：

BE∥CF．

解：

∵AB⊥BC，BC⊥CD（已知）

∴　　　　　　=　　　　　　=90°（　　　　　　）

∵∠1=∠2（已知）

∴　　　　　　=　　　　　　（等式性质）

∴BE∥CF（　　　　　　）

12.如图，在ΔABC中，CD是高，点E、F、G分别在BC、AB、AC上且EF⊥AB，DG∥BC，

试说明，则判断∠1与∠2的大小关系，并理由。

解：

（１）

（２）理由:

13.如图，在ΔABC中，CD是高，点E、F、G分别在BC、AB、AC上且EF⊥AB，∠1=∠2，

试判断DG与BC的位置关系，并说明理由。

14.如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．

（1）CD与EF平行吗？

为什么？

（2）如果∠1=∠2，且∠3=105°，求∠ACB的度数.

15．如图1，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2=　　　　　　度．

如图2，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3=　　　　　　度．

如图3，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=　　　　　　度．

如图4，MA1∥NA5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=　　　　　　度．从上述结论中你发现了什么规律？

如图5，MA1∥NAn，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=　　　　　　度．