届一轮复习北师大版垂直关系教案.docx
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届一轮复习北师大版垂直关系教案
第四节 垂直关系
[考纲传真] 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．
1．直线与平面垂直
（1）定义：
如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．
（2）定理
2.二面角
（1）定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．
（2）二面角的度量——二面角的平面角：
以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫作直二面角．
3．平面与平面垂直
（1）定义：
两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
（2）定理
1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.（ ）
（2）垂直于同一个平面的两平面平行．（ ）
（3）若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．（ ）
（4）若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．（ ）
[答案]
（1）×
（2）× （3）× （4）×
2．（教材改编）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ.（ ）
A．若l⊥β，则α⊥β
B．若α⊥β，则l⊥m
C．若l∥β，则α∥β
D．若α∥β，则l∥m
A [∵l⊥β，lα，∴α⊥β（面面垂直的判定定理），故A正确．]
3．（2016·浙江高考）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥lD．m⊥n
C [∵α∩β＝l，∴lβ.
∵n⊥β，∴n⊥l.]
4．如图7 4 1，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
图7 4 1
4 [∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，
则△PAB，△PAC为直角三角形．
由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC.
因此△ABC，△PBC也是直角三角形．]
5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________.
【导学号：
66482336】
a [如图所示，取BD的中点O，连接A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′BDC的平面角．
即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝
a，
∴A′C＝
＝a，即折叠后AC的长（A′C）为a.]
线面垂直的判定与性质
如图7 4 2，在三棱锥ABCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.
图7 4 2
（1）求证：
CD⊥平面ABD；
（2）若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积．
[解]
（1）证明：
因为AB⊥平面BCD，CD平面BCD，
所以AB⊥CD.2分
又因为CD⊥BD，AB∩BD＝B，
AB平面ABD，BD平面ABD，
所以CD⊥平面ABD.5分
（2）由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD.
又AB＝BD＝1，所以S△ABD＝
×12＝
.8分
因为M是AD的中点，所以S△ABM＝
S△ABD＝
.
根据
（1）知，CD⊥平面ABD，
则三棱锥CABM的高h＝CD＝1，
故VAMBC＝VCABM＝
S△ABM·h＝
.12分
[规律方法] 1.证明直线和平面垂直的常用方法：
（1）判定定理；
（2）垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）；
（3）面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；
（4）面面垂直的性质．
2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．
[变式训练1] 如图7 4 3所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝
DB，点C为圆O上一点，且BC＝
AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.
图7 4 3
求证：
PA⊥CD.
[证明] 因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由
AC＝BC，得∠ABC＝30°.3分
设AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝2
，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos30°＝3，
所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.8分
因为PD⊥平面ABC，CD平面ABC，
所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB，又PA平面PAB，所以PA⊥CD.12分
面面垂直的判定与性质
（2017·郑州调研）如图7 4 4，三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．
图7 4 4
（1）求证：
BD∥平面FGH；
（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：
平面BCD⊥平面EGH.
[证明]
（1）如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF＝M，
连接MH.1分
在三棱台DEFABC中，
AB＝2DE，G为AC的中点，
可得DF∥GC，DF＝GC，
所以四边形DFCG为平行四边形.3分
则M为CD的中点，
又H为BC的中点，
所以HM∥BD，
由于HM平面FGH，BD
平面FGH，
故BD∥平面FGH.5分
（2）连接HE，CE，CD.
因为G，H分别为AC，BC的中点，
所以GH∥AB.6分
由AB⊥BC，得GH⊥BC.
又H为BC的中点，
所以EF∥HC，EF＝HC，
因此四边形EFCH是平行四边形，
所以CF∥HE.10分
由于CF⊥BC，所以HE⊥BC.
又HE，GH平面EGH，HE∩GH＝H.
所以BC⊥平面EGH.
又BC平面BCD，
所以平面BCD⊥平面EGH.12分
[规律方法] 1.面面垂直的证明的两种思路：
（1）用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；
（2）用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．
2．垂直问题的转化关系：
[变式训练2] 如图7 4 5，在三棱锥PABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．
图7 4 5
（1）求证：
PB∥平面MNC；
（2）若AC＝BC，求证：
PA⊥平面MNC.
[证明]
（1）因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB，2分
又因为MN平面MNC，PB
平面MNC，
所以PB∥平面MNC.5分
（2）因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN.
因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.7分
因为平面PAB⊥平面ABC，
CM平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB.
所以CM⊥平面PAB.10分
因为PA平面PAB，所以CM⊥PA.
又MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC.12分
平行与垂直的综合问题
☞角度1 多面体中平行与垂直关系的证明
（2016·江苏高考）如图7 4 6，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
图7 4 6
求证：
（1）直线DE∥平面A1C1F；
（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.
[证明]
（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1∥AC.
在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，
所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.3分
又因为DE
平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，
所以直线DE∥平面A1C1F.5分
（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.
因为A1C1平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.7分
又因为A1C1⊥A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.
因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.10分
又因为B1D⊥A1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.
因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.12分
[规律方法] 1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．
2．垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．
☞角度2 平行垂直中探索开放问题
（2017·秦皇岛调研）如图7 4 7
（1）所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图7 4 7
（2）所示．
（1）
（2）
图7 4 7
（1）求证：
A1F⊥BE；
（2）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？
并说明理由.
【导学号：
66482337】
[证明]
（1）由已知，得AC⊥BC，且DE∥BC.
所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，
因为DC∩DA1＝D，
所以DE⊥平面A1DC.2分
由于A1F平面A1DC，所以DE⊥A1F.
又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，
所以A1F⊥平面BCDE，
又BE平面BCDE，
所以A1F⊥BE.5分
（2）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.6分
理由如下：
如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，则PQ∥BC.
又因为DE∥BC，则DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEQP.9分
由
（1）知，DE⊥平面A1DC，
所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
所以A1C⊥DP.
又DP∩DE＝D，
所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.12分
[规律方法] 1.对命题条件探索性的主要途径：
（1）先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；
（2）先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．
2．平行（垂直）中点的位置探索性问题：
一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.
线面角的求法与应用
（2016·浙江高考）如图7 4 8，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.
图7 4 8
（1）求证：
BF⊥平面ACFD；
（2）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．
[解]
（1）证明：
延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.1分
因为平面BCFE⊥平面ABC，
且AC⊥BC，
所以AC⊥平面BCK，3分
因此，BF⊥AC.
又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.
所以BF⊥平面ACFD.5分
（2）因为BF⊥平面ACK，所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.8分
在Rt△BFD中，BF＝
，DF＝
，得cos∠BDF＝
，所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为
.12分
[规律方法] 1.利用综合法求空间角的步骤：
（1）找：
根据图形找出相关的线面角或二面角．
（2）证：
证明找出的角即为所求的角．
（3）算：
根据题目中的数据，通过解三角形求出所求角．
2．线面角的求法：
找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解．
[变式训练3] 如图7 4 9，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
图7 4 9
（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；
（2）证明：
AE⊥平面PCD.
[解]
（1）在四棱锥PABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD，
故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，
从而AB⊥平面PAD，2分
故PB在平面PAD内的射影为PA，
从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．
在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.
∴PB和平面PAD所成的角的大小为45°.5分
（2）证明：
在四棱锥PABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，
故CD⊥PA.
由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC.7分
又AE平面PAC，∴AE⊥CD.
由PA＝AB＝BC，
∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，
∴AE⊥PC.10分
又PC∩CD＝C，
故AE⊥平面PCD.12分
[思想与方法]
1．证明线面垂直的方法：
（1）线面垂直的定义：
a与α内任一直线都垂直⇒a⊥α；
（2）判定定理1：
⇒l⊥α；
（3）判定定理2：
a∥b，a⊥α⇒b⊥α；
（4）面面垂直的性质：
α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥l⇒a⊥β.
2．证明面面垂直的方法．
（1）利用定义：
两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
（2）判定定理：
aα，a⊥β⇒α⊥β.
3．转化思想：
垂直关系的转化
[易错与防范]
1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．
2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．
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