一元高次方程分析案例.docx

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一元高次方程分析案例

一元三次方程的解法可以吗?

一元三次方程求根公式的解法

-------摘自高中数学网站

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。

归纳出来的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^（1/3）+B^（1/3）型，即为两个开立方之和。

归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。

方法如下：

（1）将x=A^（1/3）+B^（1/3）两边同时立方可以得到

（2）x^3=（A+B）+3（AB）^（1/3）（A^（1/3）+B^（1/3））

（3）由于x=A^（1/3）+B^（1/3），所以

（2）可化为

x^3=（A+B）+3（AB）^（1/3）x，移项可得

（4）x^3－3（AB）^（1/3）x－（A+B）＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知

（5）－3（AB）^（1/3）＝p,－（A+B）=q，化简得

（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3

（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而（6）则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即

（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a

（9）对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a

（10）由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为

y1＝－（b＋（b^2－4ac）^（1/2））/（2a）

y2＝－（b－（b^2－4ac）^（1/2））/（2a）

可化为

（11）y1＝－（b/2a）-（（b/2a）^2-（c/a））^（1/2）

y2＝－（b/2a）+（（b/2a）^2-（c/a））^（1/2）

将（9）中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得

（12）A＝－（q/2）-（（q/2）^2＋（p/3）^3）^（1/2）

B＝－（q/2）+（（q/2）^2＋（p/3）^3）^（1/2）

（13）将A，B代入x=A^（1/3）+B^（1/3）得

（14）x=（－（q/2）-（（q/2）^2＋（p/3）^3）^（1/2））^（1/3）+（－（q/2）+（（q/2）^2＋（p/3）^3）^（1/2））^（1/3）

式（14）只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。

x^y就是x的y次方

好复杂的说

塔塔利亚发现的一元三次方程的解法

一元三次方程的一般形式是

x3+sx2+tx+u=0

如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消

去。

所以我们只要考虑形如

x3=px+q

的三次方程。

假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。

代入方程，我们就有

a3-3a2b+3ab2-b3=p（a-b）+q

整理得到

a3-b3=（a-b）（p+3ab）+q

由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时，

3ab+p=0。

这样上式就成为

a3-b3=q

两边各乘以27a3，就得到

27a6-27a3b3=27qa3

由p=-3ab可知

27a6+p3=27qa3

这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。

进而可解出b和根x。

费拉里发现的一元四次方程的解法

和三次方程中的做法一样，可以用一个坐标平移来消去四次方程

一般形式中的三次项。

所以只要考虑下面形式的一元四次方程：

x4=px2+qx+r

关键在于要利用参数把等式的两边配成完全平方形式。

考虑一个参数

a，我们有

（x2+a）2=（p+2a）x2+qx+r+a2

等式右边是完全平方式当且仅当它的判别式为0，即

q2=4（p+2a）（r+a2）

这是一个关于a的三次方程，利用上面一元三次方程的解法，我们可以

解出参数a。

这样原方程两边都是完全平方式，开方后就是一个关于x

的一元二次方程，于是就可以解出原方程的根x。

最后，对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算），这称为阿贝耳定理

这3个网站都是一元四次方程的解法!

第三讲 简易高次方程的解法

来源：

初中数学竞赛2005-09-0916:

21:

37

[标签：

解法]

在整式方程中，如果未知数的最高次数超过2，那么这种方程称为高次方程．一元三次方程和一元四次方程有一般解法，但比较复杂，且超过了初中的知识范围，五次或五次以上的代数方程没有一般的公式解法，这由挪威青年数学家阿贝尔于1824年作出了证明，这些内容我们不讨论．本讲主要讨论用因式分解、换元等方法将某些高次方程化为低次方程来解答．

　　例1解方程

x3-2x2-4x＋8=0．

　　解原方程可变形为

x2（x-2）-4（x-2）=0，

（x-2）（x2-4）=0，

（x-2）2（x+2）=0．

所以

x1＝x2＝2，x3=-2．

　　说明当ad=bc≠0时，形如ax3＋bx2＋cx＋d=0的方程可这样

=0可化为

bkx3+bx2+dkx+d=0，

即（kx+1）（bx2+d）=0．

　　方程ax4+bx3+cx+d=0也可以用类似方法处理．

　　例2解方程

　　　　（x-2）（x＋1）（x＋4）（x+7）=19．

　　解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得

（x2+5x-14）（x2＋5x＋4）=19．

设

则

（y-9）（y+9）=19，

即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　y2-81＝19．

　　说明在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之．

　　例3解方程

（6x＋7）2（3x+4）（x+1）=6．

　　解我们注意到

　　　　2（3x+4）=6x＋8=（6x+7）+1，

　　　　6（x+1）=6x＋6=（6x＋7）-1，

所以利用换元法．设y=6x＋7，原方程的结构就十分明显了．令

y=6x＋7，①

由（6x＋7）2（3x＋4）（x＋1）=6得

（6x＋7）2（6x＋8）（6x＋6）=6×12，

即

y2（y＋1）（y-1）=72，

y4-y2-72＝0，

（y2＋8）（y2-9）=0．

因为y2＋8＞0，所以只有y2-9=0，y=±3．代入①式，解得原方程的根为

　　例4解方程

12x4-56x3+89x2-56x+12=0．

　　解观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：

x4的系数与常数项相同，x3的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程．由

　　例5解方程

　　解方程的左边是平方和的形式，添项后可配成完全平方的形式．

所以

　　经检验，x1=-1，x2=2是原方程的根．

　　例6解方程

（x+3）4+（x+1）4=82．

　　分析与解由于左边括号内的两个二项式只相差一个常数，所以设

于是原方程变为

（y＋1）4＋（y-1）4＝82，

整理得

y4+6y2-40=0．

解这个方程，得y=±2，即

x+2=±2．

解得原方程的根为x1=0，x2=-4．

　　说明本题通过换元，设y=x＋2后，消去了未知数的奇次项，使方程变为易于求解的双二次方程．一般地，形如

（x＋a）4＋（x+b）4=c

　　例7解方程

　　　　　x4-10x3-2（a-11）x2＋2（5a+6）x+2a+a2=0，其中a是常数，且a≥-6．

　　解这是关于x的四次方程，且系数中含有字母a，直接对x求解比较困难（当然想办法因式分解是可行的，但不易看出），我们把方程写成关于a的二次方程形式，即

　　　　a2-2（x2-5x-1）a+（x4-10x3＋22x2+12x）=0，

　　　　△=4（x2-5x-1）2-4（x4-10x3＋22x2＋12x）

　　　　　=4（x2-2x+1）．

所以

所以

a=x2-4x-2或a=x2-6x．

从而再解两个关于x的一元二次方程，得

练习三

　　1．填空：

（1）方程（x＋1）（x＋2）（x＋3）（x＋4）=24的根为_______．

（2）方程x3-3x＋2=0的根为_____．

　　（3）方程x4+2x3-18x2-10x+25=0的根为_______．

　　（4）方程（x2+3x-4）2＋（2x2-7x＋6）2=（3x2-4x+2）2的根为______．

　　2．解方程

（4x＋1）（3x+1）（2x+1）（x+1）=3x4．

　　3．解方程

x5＋2x4-5x3＋5x2-2x-1=0．

　　4．解方程　

　　5．解方程

（x+2）4+（x-4）4=272．

　　6．解关于x的方程

x3+（a-2）x2-（4a+1）x-a2＋a+2=0．

一元高次方程解法例说

教学2009-10-2108:

05:

02阅读636评论2字号：

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一元高次方程解法举例

阿丹

一个整式方程经过整理后，如果只含有一个未知数，并且未知数的最高次数大于2，这样的方程就是一元高次方程。

和解分式方程、无理方程一样，有些特殊的高次方程也可以化为一元一次方程或一元二次方程来解。

解一元高次方程的基本思想是降次，基本方法有因式分解法和换元法。

下面通过举例介绍简单的一元高次方程的两种基本解法。

一、因式分解法

因式分解法是解一元高次方程首选的方法。

这种解法的理论根据是两个因式的积等于零的充分必要条件是这两个因式至少要有一个等于零，即：

。

因式分解法解一元高次方程的一般步骤：

（1）将方程右边化为零

（2）将方程左边分解为几个一次因式乘积

（3）令每个因式分别为零，得到几个一元一次方程或一元二次方程

（4）解这几个一元一次方程或一元二次方程，它们的解就是原方程的解

［例题1］解下列一元高次方程：

（1）x3–4x2+3x=0

（2）x3–3x2–4x+12=0

分析：

这两个一元高次方程的右边等于零，解题的关键是通过因式分解将方程的左边化成几个因式的积的形式。

解：

（1）x3–4x2+3x=0

x（x2–4x+3）=0

x（x–1）（x–3）=0

∴x=0或x–1=0或x–3=0

∴x1=0，x2=1，x3=3

（2）x3–3x2–4x+12=0

x2（x–3）–4（x–3）=0

（x–3）（x2–4）=0

（x–3）（x+2）（x–2）=0

∴x–3=0或x+2=0或x–2=0

∴x1=3，x2=-2，x3=2

〖练一练〗解下列一元高次方程：

（1）x3–2x2–3x=0［x1=0，x2=-1，x3=3］

（2）x3–2x2–4x+8=0［x1=x2=2，x3=-2］

二、换元法

对于某些特殊的一元高次方程，可以添设一个辅助元替换原来的未知数，达到使高次方程降次的目的，这种解一元高次方程的方法称为换元法。

换元法是一种重要的数学方法，它不仅可以用在解方程中，在其他许多领域都有着广泛的应用。

换元法解一元高次方程的一般步骤：

（1）设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式

（2）解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值

（3）把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值，即原方程的解

［例题2］解下列一元高次方程：

（1）x4–7x2–18=0

（2）（x2–x）2–8（x2–x）+12=0

分析：

第

（1）题是一个双二次方程，它是只含有未知数的偶次幂的一元四次方程，这类方程通过换元法可以转化为一元二次方程求解，只需令x2=y。

第

（2）题观察方程的特点，可以把x2–x看成一个整体，通过换元法可以转化为一元二次方程求解，只需令x2–x=y。

解：

（1）x4–7x2–18=0

令x2=y，则原方程变为y2–7y–18=0

∴y1=9，y2=-2

当y=9时，x2=9，∴x1=3，x2=-3

当y=-2时，x2=-2，此方程无实数解

∴原方程的解为x1=3，x2=-3

（2）（x2–x）2–8（x2–x）+12=0

令x2–x=y，则原方程变为y2–8y+12=0

∴y1=6，y2=2

当y=6时，x2–x=6，即x2–x–6=0

∴x1=3，x2=-2

当y=2时，x2–x=2，即x2–x–2=0

∴x3=2，x4=-1

∴原方程的解为x1=3，x2=-2，x3=2，x4=-1

注：

如果把第

（1）题中的x2，第

（2）题中的x2–x看成一个整体，即把两方程分别看成关于x2和x2–x的一元二次方程，也可直接用因式分解法求解。

另解：

（1）x4–7x2–18=0

（x2–9）（x2+2）=0

∴x2–9=0或x2+2=0

解方程x2–9=0，得x1=3，x2=-3

解方程x2+2=0，此方程无实数根

∴原方程的解为x1=3，x2=-3

（2）（x2–x）2–8（x2–x）+12=0

（x2–x–6）（x2–x–2）=0

∴x2–x–6=0或x2–x–2=0

解方程x2–x–6=0，得x1=3，x2=-2

解方程x2–x–2=0，得x3=2，x4=-1

∴原方程的解为x1=3，x2=-2，x3=2，x4=-1

〖练一练〗解下列一元高次方程：

（1）x4–5x2+6=0［］

（2）x6–26x3–27=0［x1=-1，x2=3］

（3）（x2–2x）2–11x2+22x+24=0［x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4］

三、一元高次方程解法巧用

［例题3］解方程

解：

原方程变为：

（x2–2x）2–2（x2–2x）–3=0

设x2–2x=y，则原方程变为y2–2y–3=0

∴y1=3，y2=-1

当y=3时，x2–2x=3，即x2–2x–3=0，

∴x1=3，x2=-1

当y=-1时，x2–2x=-1，即x2–2x+1=0

∴x3=x4=1

经检验，x1=3，x2=-1，x3=x4=1都是原方程的根

［例题4］若，求2x2–5x–1的值

解：

原方程变为：

∴（2x2–5x+1）2–6（2x2–5x+1）+8=0

设2x2–5x+1=y，则原方程可变为：

y2–6y+8=0

∴y1=2，y2=4

当y=2时，2x2–5x+1=2，即2x2–5x–1=0

当y=4时，2x2–5x+1=4，即2x2–5x–1=2

∴2x2–5x–1=0或2x2–5x–1=2