高中数学知识点总结大全空间向量与立体几何.docx

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高中数学知识点总结大全空间向量与立体几何

高中数学知识点总结空间向量与立体几何

一、考点概要：

    1、空间向量及其运算

（1）空间向量的基本知识：

          ①定义：

空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。

          ②空间向量基本定理：

           ⅰ定理：

如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的有序实数组x、y、z，使。

且把叫做空间的一个基底，都叫基向量。

           ⅱ正交基底：

如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。

           ⅲ单位正交基底：

当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用表示。

           ⅳ空间四点共面：

设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使。

        ③共线向量（平行向量）：

          ⅰ定义：

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作。

          ⅱ规定：

零向量与任意向量共线；

          ⅲ共线向量定理：

对空间任意两个向量平行的充要条件是：

存在实数λ，使。

        ④共面向量：

           ⅰ定义：

一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量；空间的任意两个向量都是共面向量。

          ⅱ向量与平面平行：

如果直线OA平行于平面或在α内，则说向量平行于平面α，记作。

平行于同一平面的向量，也是共面向量。

ⅲ共面向量定理：

如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是：

存在实数对x、y，使。

          ⅳ空间的三个向量共面的条件：

当、、都是非零向量时，共面向量定理实际上也是、、所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。

          ⅴ共面向量定理的推论：

空间一点P在平面MAB内的充要条件是：

存在有序实数对x、y，使得，或对于空间任意一定点O，有。

       ⑤空间两向量的夹角：

已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，（两个向量的起点一定要相同），则叫做向量与的夹角，记作，且。

⑥两个向量的数量积：

        ⅰ定义：

已知空间两个非零向量、，则叫做向量、的数量积，记作，即：

。

        ⅱ规定：

零向量与任一向量的数量积为0。

        ⅲ注意：

两个向量的数量积也叫向量、的点积（或内积），它的结果是一个实数，它等于两向量的模与其夹角的余弦值。

        ⅳ数量积的几何意义：

叫做向量在方向上的投影（其中θ为向量和的夹角）。

          即：

数量积等于向量的模与向量在方向上的投影的乘积。

        ⅴ基本性质：

ⅵ运算律：

（2）空间向量的线性运算：

      ①定义：

与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下：

      ②加法：

 ③减法：

      ④数乘向量：

⑤运算律：

ⅰ加法交换律：

ⅱ加法结合律：

ⅲ数乘分配律：

二、复习点睛：

   1、立体几何初步是侧重于定性研究，而空间向量则侧重于定量研究。

空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。

   2、根据空间向量的基本定理，出现了用基向量解决立体几何问题的向量法，建立空间直角坐标系，形成了用空间坐标研究空间图形的坐标法，它们的解答通常遵循“三步”：

一化向量问题，二进行向量运算，三回到图形问题。

其实质是数形结合思想与等价转化思想的运用。

   3、实数的运算与向量的运算既有联系又有区别，向量的数量积满足交换律和分配律，但不满足结合律，因此在进行数量积相关运算的过程中不可以随意组合。

值得一提的是：

完全平方公式和平方差公式仍然适用，数量积的运算在许多方面和多项式的运算如出一辙，尤其去括号就显得更为突出，下面两个公式较为常用，请务必记住并学会应用：

。

2、空间向量的坐标表示：

（1）空间直角坐标系：

        ①空间直角坐标系O-xyz，在空间选定一点O和一个单位正交基底，以点O为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：

x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，点O叫做原点，向量叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。

        ②右手直角坐标系：

右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以90°角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向；

③构成元素：

点（原点）、线（x、y、z轴）、面（xOy平面，yOz平面，zOx平面）；

         ④空间直角坐标系的画法：

作空间直角坐标系O-xyz时，一般使∠xOy=135°（或45°）, ∠yOz=90°，z轴垂直于y轴，z轴、y轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的一半；   

（2）空间向量的坐标表示：

         ①已知空间直角坐标系和向量，且设为坐标向量（如图），

由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组叫做向量在此直角坐标系中的坐标，记作。

        ②在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任一点A，对应一个向量，若，则有序数组（x，y，z）叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记为A（x，y，z），其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。

        ③空间任一点的坐标的确定：

过P分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于A、B、C三点，│x│=│OA│，│y│=│OB│，│z│=│OC│，当与的方向相同时，x＞0，当与的方向相反时，x＜0，同理可确y、z（如图）。

④规定：

一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应。

       ⑤一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

          设，，

          则：

  （3）空间向量的直角坐标运算：

 ⑦空间两点间距离：

；

      ⑧空间线段的中点M（x，y，z）的坐标：

；

      ⑨球面方程：

二、复习点睛：

   4、过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位。

这三条轴分别叫做z轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴）；统称坐标轴。

通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。

　  5、空间直角坐标系中的特殊点:

（1）点（原点）的坐标：

（0,0,0）；

（2）线（坐标轴）上的点的坐标：

x轴上的坐标为（x,0,0），y轴上的坐标为（0,y,0），z轴上的坐标为（0,0,z）；

     （3）面（xOy平面、yOz平面、zOx平面）内的点的坐标：

平面上的坐标为（x,y,0）、平面上的坐标为（0,y,z）、平面上的坐标为（x,0,z）

6、要使向量与z轴垂直，只要z=0即可。

事实上，要使向量与哪一个坐标轴垂直，只要向量的相应坐标为0即可。

   7、空间直角坐标系中，方程x=0表示yOz平面、方程y=0表示zOx平面、方程z=0表示xOy平面，方程x=a表示平行于平面yOz的平面、方程y=b表示平行于平面zOx的平面、方程z=c表示平行于平面xOy平面；

   8、只要将和代入，即可证明空间向量的运算法则与平面向量一样；

   9、由空间向量基本定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成．任意不共面的三个向量都可以构成空间的一个基底，此定理是空间向量分解的基础。

立体几何中的向量方法

1．空间向量的坐标表示及运算

（1）数量积的坐标运算

设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），

则①a±b＝（a1±b1，a2±b2，a3±b3）；

②λa＝（λa1，λa2，λa3）；

③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.

（2）共线与垂直的坐标表示

设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），

则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R），

a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0（a，b均为非零向量）．

（3）模、夹角和距离公式

设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），

则|a|＝＝，

cos〈a，b〉＝＝.

设A（a1，b1，c1），B（a2，b2，c2），

则dAB＝||＝.

2．立体几何中的向量方法

（1）直线的方向向量与平面的法向量的确定

①直线的方向向量：

l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．

②平面的法向量可利用方程组求出：

设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为

（2）用向量证明空间中的平行关系

①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2（或l1与l2重合）⇔v1∥v2.

②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.

③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.

④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.

（3）用向量证明空间中的垂直关系

①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.

②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.

③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.

（4）点面距的求法

如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝.

一种思想

向量是既有大小又有方向的量，而用坐标表示向量是对共线向量定理、共面向量定理和空间向量基本定理的进一步深化和规范，是对向量大小和方向的量化：

（1）以原点为起点的向量，其终点坐标即向量坐标；

（2）向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标．

得到向量坐标后，可通过向量的坐标运算解决平行、垂直等位置关系，计算空间成角和距离等问题．

三种方法

主要利用直线的方向向量和平面的法向量解决下列问题：

（1）平行

（2）垂直

（3）点到平面的距离

求点到平面距离是向量数量积运算（求投影）的具体应用，也是求异面直线之间距离，直线与平面距离和平面与平面距离的基础．

双基自测

1．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝（1,0，－1），v2＝（－2,0,2），则l1与l2的位置关系是（　　）．

A．平行B．相交C．垂直D．不确定

解析　∵v2＝－2v1，∴v1∥v2.

答案　A

2．已知平面α内有一个点M（1，－1,2），平面α的一个法向量是n＝（6，－3,6），则下列点P中在平面α内的是（　　）．

A．P（2,3,3）B．P（－2,0,1）

C．P（－4,4,0）D．P（3，－3,4）

解析　∵n＝（6，－3,6）是平面α的法向量，

∴n⊥，在选项A中，＝（1,4,1），∴n·＝0.答案　A

3．（2011·唐山月考）已知点A，B，C∈平面α，点P∉α，则·＝0，且·＝0是·