matlab离散傅立叶变换.docx
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matlab离散傅立叶变换
离散傅立叶变换
•、实验目的
♦
掌握离散傅里叶变换的有关性质。
利用matlab验证有关性质。
利用傅立叶变换进行相关运算。
、实验原理及方法
所以“时间”或“频率”取连续还是离散值，就形成
各种不同形式的傅里叶变换对。
傅里叶变换
在工程技术的许多分支中，要掌握的基本内容之一就是正确理解时威和频域的关系。
对于数字系统来说，就是要精通离散傅立叶变换,因此离散傅立叶变换在数字信号处理中占有十分重要的地位。
在实际应用中，有限长序列有相当重要的地位，由于计算机容量的限制，只能对过程进行逐段分析。
由于有限长序列，引入DFT（离散付里叶变换）。
建立以时间t为自变量的“信号”与以频率f为自变量的“频率函数”（频谱）之间的某种变换关系。
傅里叶级数（FS）：
连续时间，离散频率的傅里叶变换。
周期连续时间信号傅里叶级数（FS）得到非周期离散频谱密度函数。
傅里叶变换（FT）：
连续时间，连续频率的傅里叶变换。
非周期连续时间信号通过连续付里叶变换（FT）得到非周期连续频谱密度函数・
序列的傅里叶变换（DTFT）:
离散时间，连续频率的傅里叶变换。
非周期离散的时间信号（单位园上的Z变换（DTFT））得到周期性连续的频率函数。
离散傅里叶变换（DFT）:
离散时间，离散频率的傅里叶变换。
计算机上运算，因为至少在一个域（时域或频域）中，函数是连续的。
因为从数字计算角度
离散傅里叶级数（DFS）
设x（n）为周期为N的周期序列，则其离散傅里叶级数
（DFS）变换对为：
正变换
X{k）=DFS[jc（h）]=工上Nzr-0
逆变换
1N7严腻
兀⑺）=/QFS[X伙）]=—工^伙上N
N
♦其中_芦
必之N
N_\
N-1
=Yx伙）wy*层0
利用MATLAB实现傅立叶级数计算
♦编写函数实现DFS计算
♦functionxk=dfs（xn,N）
n=[O:
l:
N-l]：
k=n;
WN=exp（-j*2*pi/N）;
nk二n'*k;
WNnk^WN.nk：
xk二xn*WNnk：
♦
♦
♦
♦
例：
xn=[O,1,2,3],N=4
xk=dfs（xn,N）'
xn=[0,1,2,3]:
N=4：
逆运算IDFS
♦functionxn=idfs（xk,N）
n=[0：
l：
N-l]：
k=n;
WN=exp（-j*2*pi/N）;
nk=n^*k;
WNnk=WN.d（-nk）:
xn=xk*WNnk/N;
N-\_■込M
x（k）=£>Fn兀（H）i=工兀（"比7刁"
n=0
1N-\m畑
x（n）=/DFT\X伙）]=方工X伙）yN
♦比较正、逆变换的定义式可以看出，只要把DFT公式中
的系数从改为丿芳皿，并最后乘以1/N,那么,
eZeZ
DFT的计算程序就可以用来计算IDFTo
麗例5已知序列x（n）=cos（0<487cn）+cos（0.527rn）,（0N=100;
n=O:
N-l;xn=cos（0.48*pi*n）+cos（0.52*pi*n）;xk=dft（xn,N）:
niagxk=abs（xk）;
subplot（2,1,1）plot（n,xn）subplot（2,1>2）k=0:
length（magxk）-l;plot（k,magxk）
I♦DFT在数字滤波、功率谱分析、仿真、系统分析、通讯理论方面有广泛的应用。
霧DFT的特性
周期性对称性线性时移频移共純折叠实序列的对称性卷积
例：
x（f7）=（O・9exp（7；T/3））",O因为x（n）是复指数，它满足周期性，我们将在两个周期中的401个频点上作计算来观察其周期性。
n=0:
10;
x=（0.9*exp（j*pi/3））."n;k=-200:
200：
w=（pi/100）*k：
X=x*（exp（-j*pi/100））.*（n**k）;magX=abs（X）;
angX=angle（X）;subplot（2,1,1）;plot（w/pi,magX）;
subplot（2,1,2）;
plot（w/pi,angX/pi）;
♦
检验频移特性
乘以复数指数对应于一个频移
令x{n}=cos（z7；r/2）,（）<«
0（）y（^ny=eE'2xQn）
Bl
从图中可以看出幅值和相位均沿频率轴平移了夕
n=0:
100;x=cos（pi*n/2）;
k=-100:
100;w=（pi/100）*k:
X=x*（exp（-j*pi/100））."（n**k）;
y=exp（j*pi*n/4）•*x;
Y=y*（exp（-j*pi/100））."（n**k）;
subplot（2,2H）:
plot（w/pi,abs（X））:
axis（[-l,1,0,60]）;
subplot（2>2>2）:
plot（w/pi,angle（X）/pi）:
axis（[T,1,T,1]）;
subplot（2,2,3）:
plot（w/pi,abs（Y））:
axis（[-l,1,0,60]）:
subplot（2,2,4）:
plot（w/pi,angle（Y）/pi）;axis（[-L1,-L1]）:
从差分方程求频率响应
♦
当LTI系统用差分方程表示如下:
♦
ZM
v（fO十ZdvQi-l）=/«）
/■}mwO
上式做变换
NM
+N同H（严‘2®八=2九&E消去共有项#备
♦
H（"'）
"1十f空一皿
山1
例：
一个LTI系统的差分方程如下:
y（n）=0.8y（n-1）+x（n）
求H（e>）
求出并画出它对输入v（/0=cos（0.05;rH）«（n）的稳态响应
♦
把差分方程改写成
y（n）-0.8y（n-l）=x（n）
利用上面分析的公式，可得
将系统的输入x（ii）带入
因此
y„（n）=4.0928cos（Q.Q5^n-0.53力）=4・0928cos[0.05;r（«-3・42）]
输出端信号放大4.0928倍并移位3.42个采样周期
函数filter
对给定输入和差分方程系数时求解差分方程的数值解。
格式
y=filler（b,a,x）
其中b・a为差分方程的系数向量，X是输入序列。
输出y和输入X的长度一致。
J
□
0
30
ao
5r
.0
20
♦
♦
n=0:
100：
♦
♦
y=fliter（b,a,x）;
♦
♦
xlabel（'rf）:
ylabelCx（n）'）;titleC输入序列'）;
♦
♦
xlabelCI?
）;ylabel（'y（n）'）;titleC输出序列'）;
♦
x=cos（0.05*pi*n）;
b=l：
a=[l,-0.8]:
subplot（2,1,2）;stem（n,y）
subplot（2,1,1）;stem（n,x）
1
11...
sc
90
%•…
7
/
0罗
3
r>
⑥出序列
Cj
%
D>
•05
70
•5
in
FC
an
0
T1
60
7D
m
输入序列
1I
1DU
•5
四、实验报告要求
♦简述实验目的和实验原理。
切
•总结实验中的主要结论，你的收获和体会。
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