数学物理方法课后答案.docx
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数学物理方法课后答案
数学物理方法课后答案
【篇一：
数学物理方法习题】
1、求解定解问题：
utt?
a2uxx?
0,（0?
x?
1）,
u|x?
0?
u|x?
l?
0,
l?
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x?
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（p-223）?
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x）,（?
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x?
l）.
2、长为l的弦，两端固定，弦中张力为t，在距一端为x0的一点以力f0把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。
[提示：
定解问题为
utt?
a2uxx?
0,（0?
x?
l）,
u（0,t）?
u（l,t）?
0,
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?
tl
ut|t?
0?
0.
]（p-227）
3、求解细杆导热问题，杆长l，两端保持为零度，初始温度分布u|t?
0?
bx（l?
x）/l2。
[定解问题为
k?
22u?
au?
0,（a?
）（0?
x?
l）,xx?
tc?
?
?
]（p-230）u|x?
0?
u|x?
l?
0,?
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u|t?
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bx（l?
x）/l2.?
?
?
4、求解定解问题
?
?
2u?
2u2?
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a?
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x?
l,t?
022?
?
t?
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3?
x?
u?
u?
asin,?
0.?
t?
0l?
tt?
0?
4、长为l的均匀杆，两端受压从而长度缩为l（1?
2?
），放手后自由振动，求解杆的这一振动。
[提示：
定解问题为
?
utt?
a2uxx?
0,（0?
x?
l）,?
ux|x?
0?
ux|x?
l?
0,?
?
]（p-236）?
2u|?
2?
（?
x）,t?
0?
l?
ut|t?
0?
0.?
?
5、长为l的杆，一端固定，另一端受力f0而伸长，求解杆在放手后的振动。
[提示：
定解问题为
?
utt?
a2uxx?
0,（0?
x?
l）,?
u|x?
0?
0,ux|x?
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]（p-238）x?
uxf?
0?
u（x,0）?
?
0dx?
?
0,?
xys?
ut|t?
0?
0.?
?
6、长为l的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由、电梯下降，当速度为v0时突然停止，求解杆的振动。
[提示：
定解问题为
?
vtt?
a2vxx?
0,（0?
x?
l）,?
?
v（0,t）?
0,vx（l,t）|x?
l?
0,]（p-242）?
v（x,0）?
v0,?
?
vt（x,0）|t?
0?
0.?
7、求解细杆导热问题，杆长l，初始温度均匀为u0，两端分别保持温度为u1和u2。
[提示：
定解问题为
?
ut?
a2uxx?
0,?
?
u|x?
0?
u1,u|x?
l?
u2,]（p-251）
?
u|t?
0?
u0.?
8、在矩形区域0?
x?
a,0?
y?
b上求解拉氏方程?
u?
0，使满足边界条件
u|x?
0?
ay（b?
y）,u|x?
a?
0.
u|y?
0?
bsin?
x
a,u|y?
b?
0.（p-265）
9、均匀的薄板占据区域0?
x?
a,0?
y?
?
，边界上温度u|x?
0?
0,u|x?
a?
0,u|y?
0?
u0，limu?
0。
[提示：
泛定方程为：
uxx?
uyy?
0.]（p-269）y?
?
10、矩形膜，边长l1和l2，边缘固定，求它的本征振动模式。
[提示：
定解问题为
utt?
a2（uxx?
uyy）?
0,（0?
x?
l1,0?
y?
l2）,
u|x?
0?
0,u|x?
l1?
0,
u|y?
0?
0,u|x?
l2?
0.
11、细圆环，半径为r，初始温度分布已知为f（?
），?
是以环心为极点的极角，环的表面是绝热的。
求解环内温度变化情况。
[提示：
其定解问题为]（p-271）
?
ut?
a2u?
?
?
0,0?
?
?
2?
?
]（p-274）ut?
f（?
）,?
?
u（?
?
2?
）?
u（?
）.?
12、在圆形域内求解?
u?
0使满足边界条件
（1）u|?
?
a?
acos?
（2）u|?
?
a?
a?
bsin?
。
[提示：
泛定方程为
u?
?
?
1
?
u?
?
?
0?
?
?
a?
u?
0,?
?
.]（p-275）2?
?
?
?
0?
?
?
2?
?
1
13、半圆形薄板，板面绝热，边界直径上温度保持零度，圆周上保持u0，求稳定状态下的板上温度分布。
[提示：
定解问题为
11?
u?
u?
?
?
?
?
?
?
2u?
?
?
0,（0?
?
?
r,0?
?
?
?
）,
?
?
u|?
?
0?
0,]（p-276）?
?
u|?
?
?
?
0,（0?
?
?
r）,?
u|?
?
r?
u0,0?
?
?
?
）.?
?
214、在以原点为心，以r1和r2为半径的两个同心圆所围城的环域上求解?
u?
0，使满足
边界条件u|?
?
r1?
f1（?
）,u|?
?
r2?
f1（?
）。
[提示：
泛定方程为
u?
?
?
1
?
u?
?
?
r1?
?
?
r2?
u?
0,?
?
.]（p-282）2?
?
0?
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2?
?
?
?
1
15、两端固定的弦在线密度为?
f（x,t）?
?
?
（x）sin?
t的横向力作用下振动，求解其振动情况，研究共振的可能性，并求共振时的解。
[提示：
定解问题为
?
utt?
a2uxx?
?
（x）sin?
t,?
?
u|x?
0?
0,u|x?
l?
0,]（p-292）
?
u|?
0,u|?
0.t?
0tt?
0?
16、两端固定弦在点x0受谐变力?
f（x,t）?
?
f0sin?
t作用而振动，求解振动情况。
[提示：
外加力的线密度课表为?
f（x,t）?
?
f0sin?
t?
（x?
x0），所以定解问题为
?
utt?
a2uxx?
f0sin?
t?
（x?
x0）,?
]（p-297）u|x?
0?
0,u|x?
l?
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u|t?
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0,ut|t?
0?
0.?
bb17、在矩形域0?
x?
a,?
?
y?
上求解?
2u?
?
2且u在边界上的值为零。
（p-303）22
第二章球函数
?
?
1、在本来是匀强的静电场e0中放置导体球，球的半径为a，试研究导体球怎样改变了匀强
静电场。
[提示：
定解问题为
?
2u?
0,
（1）
?
u|r?
?
?
?
e0z?
?
e0rcos?
（设导体放入前，u|r?
0=0）,
（2）和（3）]（p-369）?
u|?
c.r?
a?
2、在点电荷4?
?
0q的电场中放置导体球，球的半径为a，球心与点电荷相距d（d?
a），求解这个静电场。
[提示：
定解问题为
?
?
2v?
0,?
q?
?
u?
?
v,]（p-370）d?
?
v|?
0,?
r?
a
?
?
v|r?
?
?
0.
3、求解
?
?
2u?
0,（r?
a）,（p-372）?
2u|?
cos?
.?
r?
0
4、在球坐标系中利用分离变量法求下列定解问题。
?
?
2u?
0（0?
r?
a）?
?
1?
?
2?
ur?
a?
4sin?
?
cos?
sin?
?
?
（08~09）2?
?
?
?
u有限?
r?
0
5、用一层不导电的物质把半径为a的导体球壳分隔为两个半球壳，使半球各充电到电势为v1和v2，试解电场中的电势分布。
[提示：
定解问题为
?
?
?
?
?
?
2ui?
0,（r?
a）,?
ui|r?
0有限，（自然边界条件）（p-373）?
?
?
?
?
v,（0?
?
?
）或（0?
x?
1）,1?
?
2?
u|?
.?
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a?
?
?
v,（?
?
?
?
）或（?
1?
x?
0）?
2?
?
2?
6、半球的球面保持一定温度u0，半球底面
（1）保持0?
c，
（2）绝热，试求这个半球里的稳定温度分布。
[提示：
定解问题为
?
2?
u?
0,（r?
a）,?
?
?
u|r?
0有限，u|r?
a?
u0,]（p-375）
?
u|?
?
0.?
?
?
?
2
第三章柱函数
1、半径为r的圆形膜，边缘固定，初始形状是旋转抛物面u|t?
0?
（1?
?
2/r2）h，初速为零，求解膜的振动情况。
[提示：
定解问题为
1?
2u?
a（u?
u）?
0,?
?
?
tt?
?
?
?
?
u|?
?
0有限，u|?
?
r?
0,]（p-399）
?
2?
?
u|t?
0?
h（1?
2）,ut|t?
0?
0.?
r?
12、利用递推公式证明j2（x）?
j0?
?
（x）?
j0?
（x）并计算?
x4j1（x）dxx
3、半径为r的圆形膜，在?
0,?
0受到冲量k作用，求解其后的振动。
[提示：
定解问题为
utt?
a2?
2u?
0,
（1）
（膜边缘固定），?
?
u|?
?
r?
0,
（2）?
u|有限，?
?
?
0?
（初位移为零），?
u|t?
0?
0,?
（3）]（p-401）k?
u|=?
（?
-?
）?
?
（?
-?
）。
00?
tt?
0p?
?
0
4、半径为r的圆形膜，边缘固定，求其本征频率和本征振动。
[提示：
定解问题为
【篇二：
数学物理方法习题】
一章：
应用矢量代数方法证明下列恒等式1、?
?
r?
32、?
?
r?
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
）a?
b（?
?
a）?
（a?
?
）b?
a（?
?
b）3、?
?
（a?
b）?
（b?
1
?
2（）?
0
r4、
?
（?
?
a）?
05、?
?
第二章：
1、下列各式在复平面上的意义是什么?
（1）z?
a?
z?
b;
z?
z0?
2
（2）
0?
arg
z?
i?
?
re（）?
2
z?
i4;
2、把下列复数分别用代数式、三角式和指数式表示出来。
i;
1?
e1?
i
3、计算数值（a和b为实常数，x为实变数）
i
i
sin?
5
a?
z
sina（?
ib）ie
siibnz
4、函数
w?
2
1
z将z平面的下列曲线变为w平面上的什么曲线？
2
（1）x?
y?
4
（2）y?
x
5、已知解析函数f（z）的实部u（x,y）或虚部?
（x,y），求解析函数。
x22
u?
esiny;u?
x?
y?
xy,f（0）?
0;u?
?
f
（1）?
0；
（1）
?
?
f（0?
0）
（2
）
6、已知等势线族的方程为x?
y?
常数，求复势。
第三章：
1、计算环路积分：
22
（1）.（3）.
?
（5）.
（2）.z?
1?
1z?
1
sinz?
z?
22（4）.
（z?
）
23z?
1
?
z?
4（z?
1）（z?
3）2
sin
?
z
ez
?
z?
i?
11?
z2dz
ez
?
z?
1z3
zn21znez?
d?
（）?
?
?
ln!
?
n?
n!
2?
i2、证明：
其中l是含有?
?
0的闭合曲线。
3、估计积分值
?
第四章：
1、泰勒展开
（1）lnz在z0?
i
（2）e
?
z
2?
i
i
dz?
2z2
z?
1
2
在z0?
0（3）函数z?
1在z?
1
f（z）?
2、
（1）
1
z（z?
1）在区域0?
z?
1展成洛朗级数。
1
（z?
3）（z?
4）按要求展开为泰勒级数或洛朗级数：
①以z?
0为中心展开；
f（z）?
（2）
②在z?
0的邻域展开；③在奇点的去心邻域中展开；④以奇点为中心展开。
3、确定下列函数的奇点和奇点性质
z5
（1;2
（1?
z）
第五章：
1、计算留数
1
（sizn?
czos
z
2
（1）（z?
1）（z?
1）在z?
?
1,?
点。
ez?
13
（2）sinz，在z?
0点；
（3）
z3cos
1
z?
2在孤立奇点和无穷远点（不是非孤立奇点）；
ez
（4）1?
z在孤立奇点和无穷远点（不是非孤立奇点）；
2、计算围道积分
1
3、计算实变函数的定积分
?
（1）
2?
2
2?
sinxdxdx
2?
cosx
（2）?
0a?
bcosx
（a?
b?
0）
?
（3）
2?
cosxdx1?
2?
cosx?
?
2
（?
?
1）
4、计算实变函数的定积分
?
x2?
11
?
?
0x4?
a4?
?
x4?
1
（1）
（2）
?
5、计算实变函数的定积分
?
cosxcosmx（m?
0）?
40（x2?
a2）（x2?
b2）1?
x
（2）
（1）第六章：
?
?
（3）
?
?
sin2x
2x
1、在x0?
0的邻域上求解y?
?
?
xy?
0
2
?
?
?
6xy?
?
6y?
02、在x0?
0的邻域上求解（1?
x）y
2
3、在x0?
0的邻域上求解y?
?
?
?
y?
0
第七章：
1、长为l的均匀弦，两端x?
0和x?
l固定，弦中张力为t0。
在x?
h点以横向力f0拉弦，达到稳恒后放手任其自由振动，写出初始条件。
2、一均匀细棒长l，其一端固定在电梯的天花板上，另一端自由，杆身竖直向下，当
电梯速度达到?
0时突然停止，问此时细棒振动的初始条件是什么？
第八章：
1、长为l的均匀弦，两端x?
0和x?
l固定，弦中张力为t。
在距一端为x0的一点以力f0把弦拉开平衡位置，然后突然撤除此力，求弦的自由振动。
2、一均匀细棒长l，其一端固定在电梯的天花板上，另一端自由，杆身竖直向下，当电梯速度达到?
0时突然停止，秋节竿的振动。
3、求解薄膜限定浓度的扩散问题
薄膜厚度为l，杂质从两面进入薄膜，设单位表面积下杂质总量为?
0，此外不再有杂质进入薄膜。
在半导体扩散工艺中，有的工序是只让硅片表面已有的杂质向硅片内部扩散，但不让新的杂质通过硅片，这就是所谓的限定源扩散。
4、在矩形区域0?
x?
a,0?
y?
b上求解拉普拉斯方程，并满足边界条件
ux?
0?
ay（b?
y）;ux?
a?
0;uy?
0?
bsin
?
x
a
uy?
b?
0
5、细圆环，半径为?
0，初始温度分布已知为f（?
），?
是以环心为极点的极角，环表面绝热，求解环内的温度变化。
6、求解绕圆柱的水流问题。
在远离圆柱出水流是均匀的，流速为?
0，圆柱半径为a。
7、半圆形薄板，半径为?
0，板面绝热，边界直线上保持为零度，圆周上保持为u0，求稳定状态下的板上温度分布。
8、一均匀细棒长l，一端固定，另一端在纵向力f（t）?
f0sin?
t的长期作用下，求解杆的稳恒振动。
?
ut?
a2uxx?
asin?
t
?
?
?
uxx?
0?
0ux?
l?
0?
?
ut?
0?
?
（x）9、用冲量定理法求解?
?
ut?
a2uxx?
?
bux?
?
?
ux?
0?
0ux?
l?
0?
?
ut?
0?
?
（x）（0?
x?
l）b为常数10、用冲量定理法求解?
第十章：
1、用一层不导电的物质把半径为r0的导体球壳分隔为两个半球壳，并分别充电到?
1和
?
2，计算电势分布。
2、一空心圆球区域，内半径为r1，外半径为r2，内球面上有恒定电势u0,外球面上有
2
ucos?
u0,u1均为常数，试求内外球壳之间、空心球区域中的电势分布。
1电势保持为
?
3、在本来均强的静电场e0中，放置半径为r0的导体球，使求解球外的静电场。
4、将f（?
?
）?
（1?
3cos?
）sin?
cos?
按照求函数yl,m（?
?
）展开。
5、设有一均匀球体，在球面上温度为（1?
3cos?
）sin?
cos?
，试在稳定状态下球球内的温度分布。
6、求证：
?
cosx?
j0（x）?
2?
（?
）mj2m（x）
m?
1
sinx?
2?
（?
）mj2m?
1（x）
m?
0
?
7、试证平面波能用柱面波展开，即
?
e
ik?
co?
s
?
j0（k?
）?
2（k）c?
ons?
（in）nj?
n?
1
其中e
ik?
cos?
为平面波的振幅因子。
8、计算积分（反复利用递推关系）
4
x?
j1（x）dx
2
f（?
）?
?
ha9、半径为，高位的圆柱体，其下底和侧面保持零度，上底温度分布为
求解柱体内各点的温度分布。
【篇三：
数学物理方法习题】
一章：
应用矢量代数方法证明下列恒等式
?
?
?
r?
31、
?
?
?
r?
02、
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
（a?
b）?
（b?
?
）a?
b（?
?
a）?
（a?
?
）b?
a（?
?
b）3、
1?
2（）?
0
r4、
?
（?
?
a）?
05、?
?
第二章：
1、下列各式在复平面上的意义是什么?
（1）
z?
a?
z?
b;
0?
arg
z?
z0?
2
（2）
z?
i?
?
re（）?
2
z?
i4;
2、把下列复数分别用代数式、三角式和指数式表示出来。
1?
e1?
i
3、计算数值（a和b
为实常数，x为实变数）
i;ii
sin5?
sin（a?
ib）
w?
eiaz?
ibsinz
4、函数
1
z将z平面的下列曲线变为w平面上的什么曲线？
22x?
y?
4
（1）
（2）
y?
x
5、已知解析函数f（z）的实部u（x,y）或虚部?
（x,y），求解析函数。
x22u?
esiny;u?
x?
y?
xy,f（0）?
0;u?
?
f
（1）?
0；
（1）
（2）
?
?
f（0?
0）
22
x?
y?
常数，求复势。
6、已知等势线族的方程为
第三章：
1、计算环路积分：
（1）.（3）.
（5）.
z
（2）.?
z?
1?
1z2?
1sinz?
z?
22（4）.
（z?
）
23z?
1
?
z?
4（z?
1）（z?
3）sin
?
ez
?
z?
i?
11?
z2ez
?
z?
1z3
zn21znez?
d?
（）?
?
?
ln!
?
n?
n!
2?
i2、证明：
其中l是含有?
?
0的闭合曲线。
3、估计积分值
?
第四章：
1、泰勒展开
2?
i
i
dz
?
22z
z?
i
（2）e
（1）lnz在0
f（z）?
2、
（1）
?
z
z?
1
z?
0（3）函数z2?
1在z?
1在0
1
z（z?
1）在区域0?
z?
1展成洛朗级数。
f（z）?
（2）
1
（z?
3）（z?
4）按要求展开为泰勒级数或洛朗级数：
①以z?
0为中心展开；
②在z?
0的邻域展开；③在奇点的去心邻域中展开；④以奇点为中心展开。
3、确定下列函数的奇点和奇点性质
z51
（1）;
（2）（1?
z）2sinz?
cosz
第五章：
1、计算留数
z
2
（1）（z?
1）（z?
1）在z?
?
1,?
点。
ez?
13
（2）sinz，在z?
0点；
z3cos
（3）
1
z?
2在孤立奇点和无穷远点（不是非孤立奇点）；
ez
（4）在孤立奇点和无穷远点（不是非孤立奇点）；
1?
z
2、计算围道积分
1
?
?
l（z?
3）（z5?
1）dz;l:
z?
2
（1）z1
dz;l:
z?
2?
?
?
l（z?
1）（z?
2）2
（2）
3、计算实变函数的定积分
?
（1）
2?
2
2?
sinxdxdx
2?
cosx
（2）?
0a?
bcosx
（a?
b?
0）
?
（3）
2?
cosxdx1?
2?
cosx?
?
2
（?
?
1）
4、计算实变函数的定积分
?
x2?
11
?
?
0x4?
a4?
?
x4?
1
（1）
（2）
?
5、计算实变函数的定积分
?
（1）第六章：
?
?
cosxcosmxdx（m?
0）?
40（x2?
a2）（x2?
b2）1?
x
（2）
（3）
?
?
sin2x
x2
1、在
x0?
0的邻域上求解y?
?
?
xy?
0
x0?
0的邻域上求解（1?
x2）y?
?
?
6xy?
?
6y?
0
2、在
2
x?
0?
?
y?
?
y?
003、在的邻域上求解
第七章：
t在x?
h点以横向力f0
1、长为l的均匀弦，两端x?
0和x?
l固定，弦中张力为0。
拉弦，达到稳恒后放手任其自由振动，写出初始条件。
2、一均匀细棒长l，其一端固定在电梯的天花板上，另一端自由，杆身竖直向下，当
电梯速度达到第八章：
?
0时突然停止，问此时细棒振动的初始条件是什么？
x1、长为l的均匀弦，两端x?
0和x?
l固定，弦中张力为t。
在距一端为0的一点
以力
f0把弦拉开平衡位置，然后突然撤除此力，求弦的自由振动。
2、一均匀细棒长l，其一端固定在电梯的天花板上，另一端自由，杆身竖直向下，当
电梯速度达到
?
0时突然停止，秋节竿的振动。
3、求解薄膜限定浓度的扩散问题
薄膜厚度为l，杂质从两面进入薄膜，设单位表面积下杂质总量为
?
0，此外不再有杂
质进入薄膜。
在半导体扩散工艺中，有的工序是只让硅片表面已有的杂质向硅片内部扩散，但不让新的杂质通过硅片，这就是所谓的限定源扩散。
4、在矩形区域0?
x?
a,0?
y?
b上求解拉普拉斯方程，并满足边界条件
ux?
0?
ay（b?
y）;ux?
a?
0;uy?
0?
bsin
?
x
a
uy?
b?
0
5、细圆环，半径为
?
0，初始温度分布已知为f（?
），?
是以环心为极点的极角，环
表面绝热，求解环内的温度变化。
6、求解绕圆柱的水流问题。
在远离圆柱出水流是均匀的，流速为
?
0，圆柱半径为a。
7、半圆形薄板，半径为
?
0，板面绝热，边界直线上保持为零度，圆周上保持为u0，
求稳定状态下的板上温度分布。
8、一均匀细棒长l，一端固定，另一端在纵向力杆的稳恒振动。
f（t）?
f0sin?
t的长期作用下，求解
?
ut?
a2uxx?
asin?
t
?
?
?
uxx?
0?
0ux?
l?
0?
?
u?
?
（x）9、用冲量定理法求解?
t?
0
?
ut?
a2uxx?
?
bux?
?
?
ux?
0?
0ux?
l?
0
10、用冲量定理法求解?
u为常数
?
?
t?
0?
?
（x）（0?
x?
l）b
第十章：
1、用一层不导电的物质把半径为
r0的导体球壳分隔为两个半球壳，并分别充电到?
1和
?
2，计算电势分布。
2、一空心圆球区域，内半径为1，外半径为电势保持为
r
r2，内球面上有恒定电势u0,外球面上有
u1cos2?
u0,u1
均为常数，试求内外球壳之间、空心球区域中的电势分布。
?
re3、在本来均强的静电场0中，放置半径为0的导体球，使求解球外的静电场。
y（?
?
）
4、将f（?
?
）?
（1?
3cos?
）sin?
cos?
按照求函数l,m展开。
5、设有一均匀球体，在球面上温度为（1?
3cos?
）sin?
cos?
，试在稳定状态下球球内的温度分布。
6、求证：
cosx?
j0（x）?
2?
（?
）mj2m（x）
m?
1
?
sinx?
2?
（?
）mj2m?
1（x）
m?
0
?
7、试证平面波能用柱面波展开，即
?
e
ik?
cos?
?
j0（k?
）?
2?
（i）njn（k?
）cosn?
n?
1
其中e
ik?
cos?
为平面波的振幅因子。
8、计算积分（反复利用递推关系）
?
xj（x）dx
1
4
2
f（?
）?
?
ha9、半径为，高位的圆柱体，其下底和侧面保持零度，上底温度分布为
求解柱体内各点的温度分布。
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