高中数学直线与圆的方程知识点总结.docx
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高中数学直线与圆的方程知识点总结
高中数学之直线与圆的方程
一、概念理解：
1、倾斜角：
①找α：
直线向上方向、x轴正方向；
②平行：
α=0°；
③范围：
0°≤α＜180°。
2、斜率：
①找k：
k=tanα（α≠90°）；
②垂直：
斜率k不存在；
③范围：
斜率k∈R。
y1y2y2y1
3、斜率与坐标：
ktan
x1x2x2x1
①构造直角三角形（数形结合）；
②斜率k值于两点先后顺序无关；
③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：
l1:
yk1xb1,l2:
yk2xb2
①相交：
斜率k1k2（前提是斜率都存在）
特例----垂直时：
<1>
l1
x轴，即k1不存在，则k2
0；
<2>
斜率都存在时：
k1k21。
②平行：
<1>斜率都存在时：
k1
k2,b1
b2；
<2>
斜率都不存在时：
两直线都与
x轴垂直。
③重合：
斜率都存在时：
k1
k2,b1
b2；
二、方程与公式：
1、直线的五个方程：
①点斜式：
②斜截式：
yy0k（xx0）将已知点（x0,y0）与斜率k直接带入即可；
ykxb将已知截距（0,b）与斜率k直接带入即可；
③两点式：
y
y1
x
x1，（其中x1
x2,y1y2）将已知两点（x1,y1）,（x2,y2）直接
y2
y1
x2
x1
带入即可；
④截距式：
⑤一般式：
x
y
1
将已知截距坐标（a,0）,（0,b）直接带入即可；
a
b
Ax
ByC
0，其中A、B不同时为0
用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：
直接将两直线方程联立，解方程组即可
3、距离公式：
①两点间距离：
P1P2（x1x2）2
（y1y2）2
②点到直线距离：
d
Ax0By0C
A2B2
C1C2
③平行直线间距离：
d
A2B2
4、中点、三分点坐标公式：
已知两点
A（x1,y1）,B（x2,y2）
①AB中点（x0,y0）：
（x1
x2,y1
y2）
2
2
②AB三分点（s1,t1）,（s2,t2）：
（2x1
x2,2y1
y2）靠近A的三分点坐标
3
3
（x1
2x2,y1
2y2）靠近B的三分点坐标
3
3
中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。
三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。
5.直线的对称性问题
已知点关于已知直线的对称:
设这个点为P（x0，y0）,对称后的点坐标为P’（x，y），则
pp’的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp’的中点坐标在已知直线上。
三、解题指导与易错辨析：
1、解析法（坐标法）：
①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标；
②依据代数关系（点在直线或曲线上）
，进行有关代数运算，并得出相关结果；
③将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”
。
y
2、动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：
①
PA
PB的最小值：
找对称点再连直线，如右图所示：
②
PA
PB
的最大值：
三角形思想“两边之差小于第三边”
；
o
x
③
PA2
PB2
的最值：
函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。
3、直线必过点：
①
含有一个参数----y=（a-1）x+2a+1=>y=（a-1）（x+2）+3
令：
x+2=0=>
必过点（-2,3）
②含有两个参数----（3m-n）x+（m+2n）y-n=0=>m（3x+y）+n（2y-x-1）=0
令：
3x+y=0、2y-x-1=0
联立方程组求解
=>
必过点（-1/7,3/7）
4、易错辨析：
①讨论斜率的存在性：
解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：
<1>斜率不存在时，是否满足题意；
<2>斜率存在时，斜率会有怎样关系。
②注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；
（求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。
）
③直线到两定点距离相等，有两种情况：
<1>直线与两定点所在直线平行；
<2>直线过两定点的中点。
圆的方程
1.定义：
一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径.
2.圆的方程表示方法：
第一种：
圆的一般方程——x2y2
Dx
Ey
F
0
其中圆心C
D,
E
，
2
2
半径r
D2
E2
4F.
2
当D2
E2
4
F
0时，方程表示一个圆，
当D2
E2
4
F
0时，方程表示一个点
D,
E.
2
2
当D2
E2
4F
0时，方程无图形.
第二种：
圆的标准方程——（xa）2（y
b）2
r2.其中点C（a,b）为圆心，r为半径的
圆
第三种：
圆的参数方程——圆的参数方程：
x
a
rcos
（
为参数）
y
b
rsin
注：
圆的直径方程：
已知A（x1,y1）B（x2,y2）
（x
x1）（x
x2）
（y
y1）（yy2）0
3.点和圆的位置关系：
给定点M（x0,y0）及圆C:
（x
a）2（y
b）2
r2.
①M在圆C内
（x0a）2（y0b）2r2
②M在圆C上
（x0a）2（y0b）2r2
③M在圆C外
（x0a）2（y0b）2r2
4.直线和圆的位置关系：
设圆圆
C
：
（
）
2
（
）
2
2
（
0）
2
2
r
；
直线l：
AxByC0（A
B0）；
xa
ybr
圆心C（a,b）到直线l的距离d
Aa
Bb
C
.
A2B2
①d
r时，l与C相切；
②d
r时，l与C相交；，
③dr时，l与C相离.
5、圆的切线方程：
①一般方程若点
0
0
x
0
–a）+（y–b）（y
0
2
特别地，
（x
y）在圆上，则（x–a）（
–b）=R.
过圆x2y2
r2上一点P（x0,y0）的切线方程为x0x
y0y
r2.（注:
该点在圆上，则切线方程只
有一条）
y1y0k（x1x0）
②若点（x0,y0）不在圆上，圆心为（a,b）
则by1k（a
x1），联立求出k
切线方程.（注：
R
R2
1
过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于
X轴的直线。
）
6.圆系方程：
过
两圆的交
点的
圆方程：
假设两圆方程为：
C1:
x2+y2+D1x+E1y+F1=0
2
2222
2
则过两圆的交点圆方程可设为：
22111
C:
x+y+Dx+Ey+F=0
x+y+Dx+Ey+F+λ
（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0
过两圆的交点的直线方程：
x2+y2+D1x+E1y+F1-x2+y2+D2x+E2y+F2=0（两圆的方程相减得到的方
程就是直线方程）
7.与圆有关的计算：
弦长的计算：
AB=2*√R2-d2
AB=（√1+k2）*∣X1-X2∣
其中其中
R是圆的半径，d等于圆心到直线的距离
k是直线的斜率，X1与X2是直线与圆的方程联
立之后得到的两个根
过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线
圆内的最长弦是直径
8.圆的一些最值问题
①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径
②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径
③假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则（x-a）/（y-b）的最值可以转化为圆上的点与
该点（a，b）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。
④假设（Px，y）是在某个圆上的动点，则求x+y或x-y的最值可以转化为：
设T=x+y或T=x-y，在圆上找到点（X,Y）使得以y=x+T或y=x-T在Y轴上的截距最值化。
9.圆的对称问题
①已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。
②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标
圆锥曲线
椭圆
椭圆：
平面内到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间距离）的点的集合
1、定义：
PF1
PF2
2a（2a
F1F2）
PF
e
c（0e1）
第二定义：
d
a
2、标准方程：
x2
y2
1（a
b0）或
y2
x2
1（ab
0）；
a2
b2
a2
b2
xacos
3、参数方程（为参数）几何意义：
离心角
ybsin
4、几何性质：
（只给出焦点在x轴上的的椭圆的几何性质）
①、顶点（a,0）,（0,b）
②、焦点（c,0）
③、离心率e
c（0
e
1）
a
④准线：
x
a2
（课改后对准线不再要求，但题目中偶尔给出）
c
5、焦点三角形面积：
SPF1F2
b2tan
（设
F1PF2
）（推导过程必须会）
2
6、椭圆面积：
S椭
ab（了解即可）
7、直线与椭圆位置关系：
相离（
0）；相交（
0）；相切（
0）
判定方法：
直线方程与椭圆方程联立，利用判别式判断根的个数
8、椭圆切线的求法
1）切点（
x0y0
）已知时，
x2
y2
1（a
b
0）
切线
x0x
y0y
1
a2
b2
a2
b2
y2
x2
1（a
b
0）
切线
y0y
x0x
1
a2
b2
a2
b2
2）切线斜率k已知时，
x2
y2
1（a
b
0）
切线
22
2
a2
b2
y
kx
ak
b
y2
x2
1（a
b
0）
切线y
kx
b2k2
a2
a2
b2
9、焦半径：
椭圆上点到焦点的距离
x2
y2
1（a
b
0）
r
a
ex0（左加右减）
a2
b2
y2
a2
1（a
b
0）
r
a
ey0（下加上减）
a2
b2
双曲线
1、定义：
PF1PF22a
PF
c
第二定义：
e（e1）
d
a
2、标准方程：
x2
y2
1（a
0,b
0）（焦点在x轴）
a2
b2
y2
x2
1（a
0,b
0）（焦点在y轴）
a2
b2
x
asec
（
为参数）用法：
可设曲线上任一点
P（asec,btan）
参数方程：
btan
y
3、几何性质
①顶点（
a,0）
②焦点（
c,0）
c2
a2
b2
c
e
1
③离心率e
a
④准线x
a2
c
⑤渐近线
x2
y2
1（a
0,b
0）
y
bx或x2
y2
0
a2
b2
a
a2
b2
y2
x2
1（a
0,b
0）
y
b
y2
x2
0
a2
b2
a
x或
b2
a2
4、特殊双曲线
①、等轴双曲线
x2
y
2
1
e
2
渐近线y
x
a2
a2
②、双曲线x2
y2
1的共轭双曲线
x2
y2
1
a2
b2
a2
b2
性质1：
双曲线与其共轭双曲线有共同渐近线
性质2：
双曲线与其共轭双曲线的四个焦点在同一圆上
5、直线与双曲线的位置关系
①相离（
0）；②相切（
0）；
③相交（
0）
判定直线与双曲线位置关系需要与渐近线联系一起
1时可以是相交也可以是相切
6、焦半径公式
x2
y
2
1（a0,b0）点P在右支上
r
ex0a（左加右减）
a2
b2
点P在左支上
r
（ex0a）（左加右减）
y2
x
2
1（a0,b0）点P在上支上
a2
b2
点P在上支上
7、双曲线切线的求法
rey0a（下加上减）
r（ey0a）（下加上减）
①切点P
x2
y2
1（a
0,b
0）
切线
x0xy0y
1
（x0
y0）已知
b
a2
b2
a2
2
y2
x2
1（a
0,b
0）
切线
y0y
x0x
1
a2
b2
a2
b2
②切线斜率
x2
y2
1
y
kx
a
2
k
2
b
2
（k
b
K已知
2
b2
）
a
a
y2
x2
1
ykx
a2
b2k2（k
b）
a2
b2
a
8、焦点三角形面积：
SPF1F2b2
cot
2
（
为
F1PF2）
抛物线
1、定义：
平面内与一定点和一定直线的距离相等的点的集合（轨迹）
2、几何性质：
P几何意义：
焦准距焦点到准线的距离设为P
标准方程：
y22px（p0）y22px（p0）
图像：
范
围：
x
0
x
0
对
称轴：
x
轴
x
轴
顶
点：
（0，0）
（0，0）
焦
点：
（p,0）
（
p,0）
2
2
离心率：
e
1
e
1
准
线：
x
p
x
p
2
2
标准方程：
x2
2py（p
0）
x2
2py（p0）
图
像：
范
围：
y
0
y
0
对称轴：
y轴y轴
定
点：
（0，0）
（0，0）
焦
点：
（0，p）
（0,
p）
2
2
离心率：
准线：
e1e1
pp
yy
22
3、参数方程
x
2pt2
（t为参数方程）
y2
2px（p0）
y
2pt
4、通径：
过焦点且垂直于对称轴的弦
椭圆：
双曲线通径长
2b2
抛物线通径长2P
a
5、直线与抛物线的位置关系
1）相交（有两个交点或一个交点）
2
）相切（有一个交点）；
3）相离（没有交点）
6、抛物线切线的求法
1）切点P（x0,y0）已知：
y2
2px（p
0）的切线；y0yp（xx0）
2）切线斜率K已知：
y2
2px（p
0）:
y
kx
p
2k
y2
2px（p
0）:
y
kx
p
2k
2
2py（p
0）:
y
kx
pk2
x
2
x2
2py（p
0）:
y
kx
pk2
2
此类公式填空选择或解答题中（部分）可作公式直接应用
附加：
弦长公式：
ykxb与曲线交与两点A、B则
21
dABx2x11ky2y11k2
解题指导：
轨迹问题：
（一）求轨迹的步骤
1、建模：
设点建立适当的坐标系，设曲线上任一点p（x，y）
2、立式：
写出适条件的p点的集合
3、代换：
用坐标表示集合列出方程式f（x，y）=0
4、化简：
化成简单形式，并找出限制条件
5、证明：
以方程的解为坐标的点在曲线上
（二）求轨迹的方法
1、直接法：
求谁设谁，按五步去直接求出轨迹
2、定义法：
利用已知或几何图形关系找到符合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义
3、转移代入法：
适用
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