2．正态变量在三个特殊区间内取值的概率
若X～N（μ，σ2）时，
（1）落在区间（μ－σ，μ＋σ）上的概率约为68.3%，
（2）落在区间（μ－2σ，μ＋2σ）上的概率约为95.4%，
（3）落在区间（μ－3σ，μ＋3σ）上的概率约为99.7%.
由于落在（μ－3σ，μ＋3σ）内的概率为0.997，落在该区间之外的概率仅为0.003，属小概率事件，因而认为X极大可能取（μ－3σ，μ＋3σ）内的值．
3．中心极限定理
在独立地大数量重复试验时，就平均而言，任何一个随机变量的分布都将趋近于正态分布，这就是中心极限定理．
关于正态分布N（μ，σ2），下列说法正确的是________．（填序号）
①随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件；
②随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件；
③随机变量落在（－3σ，3σ）之外是一个小概率事件；
④随机变量落在（μ－3σ，μ＋3σ）之外是一个小概率事件．
【解析】 ∵P（μ－3σ＜X＜μ＋3σ）＝0.9974，
∴P（X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ）＝1－P（μ－3σ＜X＜μ＋3σ）＝1－0.9974＝0.0026，
∴随机变量落在（μ－3σ，μ＋3σ）之外是一个小概率事件．
【答案】 ④
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
正态密度函数与正态密度曲线的特征
（1）设两个正态分布N（μ1，σ
）（σ1>0）和N（μ2，σ
）（σ2>0）的密度函数图象如图2 6 1所示，则有______________________________________________．
图2 6 1
①μ1<μ2，σ1<σ2；②μ1<μ2，σ1>σ2；
③μ1>μ2，σ1<σ2；④μ1>μ2，σ1>σ2.
（2）设随机变量ξ服从正态分布N（0,1），则下列结论正确的是________．
①P（|ξ|＜a）＝P（ξ＜a）＋P（ξ＞－a）（a＞0）；
②P（|ξ|＜a）＝2P（ξ＜a）－1（a＞0）；
③P（|ξ|＜a）＝1－2P（ξ＜a）（a＞0）；
④P（|ξ|＜a）＝1－P（|ξ|＞a）（a＞0）．
【精彩点拨】
（1）根据μ，σ对密度曲线特征的影响进行比较；
（2）结合N（0,1）的图象特征逐一检验．
【自主解答】
（1）由两密度曲线的对称轴位置知：
μ1<μ2；由曲线的陡峭程度知：
σ1<σ2.
（2）因为P（|ξ|＜a）＝P（－a＜ξ＜a），所以①不正确；
因为P（|ξ|＜a）＝P（－a＜ξ＜a）＝P（ξ＜a）－P（ξ＜－a）＝P（ξ＜a）－P（ξ＞a）＝P（ξ＜a）－（1－P（ξ＜a））＝2P（ξ＜a）－1，所以②正确，③不正确；因为P（|ξ|＜a）＋P（|ξ|＞a）＝1，所以P（|ξ|＜a）＝1－P（|ξ|＞a）（a＞0），所以④正确．
【答案】
（1）①
（2）②④
1．正态密度函数中，有两个参数μ，σ.μ即均值，σ为标准差．
2．在正态密度曲线中，参数μ确定了曲线的对称轴，σ确定了曲线的陡峭程度．
[再练一题]
1．关于正态曲线P（x）＝
e－
，x∈（－∞，＋∞），σ>0有以下命题：
①正态密度曲线关于直线x＝μ对称；
②正态密度曲线关于直线x＝σ对称；
③正态密度曲线与x轴一定不相交；
④正态密度曲线与x轴一定相交；
⑤正态密度曲线所代表的函数是偶函数；
⑥曲线对称轴由μ确定，曲线的形状由σ决定；
⑦当μ一定时，σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．
其中正确的是________（填序号）．
【解析】 根据正态分布曲线的性质可得，由于正态密度曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处处于最高点，并由该点向左、右两边无限延伸，逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x轴的上方，曲线形状由σ决定，而且当μ一定时，比较若干个不同的σ对应的正态曲线，可以发现σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．故①③⑥⑦正确．
【答案】 ①③⑥⑦
利用正态分布的对称性解题
设随机变量X～N（2,9），若P（X＞c＋1）＝P（X＜c－1）．
（1）求c的值；
（2）求P（－4＜x＜8）．
【精彩点拨】
（1）利用对称性求c的值；
（2）利用正态曲线在三个特殊区间内的概率求解．
【自主解答】
（1）由X～N（2,9）可知，密度函数关于直线x＝2对称（如图所示），又P（X＞c＋1）＝P（X＜c－1），故有2－（c－1）＝（c＋1）－2，∴c＝2.
（2）P（－4＜x＜8）＝P（2－2×3＜x＜2＋2×3）＝0.954.
正态总体在某个区间内取值概率的求解策略
1．充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
2．熟记P（μ－σ＜X≤μ＋σ），P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ），P（μ－3σ＜X≤μ＋3σ）的值．
3．注意概率值的求解转化：
（1）P（X＜a）＝1－P（X≥a）；
（2）P（X＜μ－a）＝P（X≥μ＋a）；
（3）若b＜μ，则P（X＜b）＝
.
[再练一题]
2．若随机变量X～N（0,1），查标准正态分布表，求：
（1）P（X≤1.26）；
（2）P（X>1.26）；
（3）P（0.51【解】
（1）P（X≤1.26）＝0.8962.
（2）P（X>1.26）＝1－P（X≤1.26）
＝1－0.8962＝0.1038.
（3）P（0.51（4）P（X≤－2.1）＝P（X≥2.1）＝1－P（X≤2.1）＝1－0.9821＝0.0179.
[探究共研型]
正态分布的实际应用
探究1 若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N（4,0.25），那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？
【提示】 零件外直径的均值为μ＝4，标准差σ＝0.5.
探究2 某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N（4,0.25），若零件的外直径在（3.5,4.5]内的为一等品．试问1000件这种的零件中约有多少件一等品？
【提示】 P（3.5<ε≤4.5）＝P（μ－σ<ε<μ＋σ）＝0.6826，所以1000件产品中大约有1000×0.6826≈683（件）一等品．
探究3 某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N（4，0.25）．质检人员从该厂生产的1000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？
【提示】 由于圆柱形零件的外直径ε～N（4,0.25），
由正态分布的特征可知，正态分布N（4,0.25）在区间（4－3×0.5,4＋3×0.5），
即（2.5,5.5）之外取值的概率只有0.003，而5.7∈（2.5,5.5）．
这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．
设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N（110,202），且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格（即90分以上）的人数和130分以上的人数．
【精彩点拨】 将P（X≥90）转化为P（X－μ≥－σ），然后利用对称性及概率和为1，得到2P（X－μ≤－σ）＋0.6826＝1，进而求出P（X≥90）的值，同理可解得P（X≥130）的值．
【自主解答】 μ＝110，σ＝20，P（X≥90）＝P（X－110≥－20）＝P（X－μ≥－σ），
∵P（X－μ≤－σ）＋P（－σ≤X－μ≤σ）＋P（X－μ≥σ）
＝2P（X－μ≤－σ）＋0.6826＝1，
∴P（X－μ≤－σ）＝0.1587，
∴P（X≥90）＝1－P（X－μ≤－σ）＝1－0.1587＝0.8413.
∴54×0.8413≈45（人），即及格人数约为45人．
∵P（X≥130）＝P（X－110≥20）＝P（X－μ≥σ），
∴P（X－μ≤－σ）＋P（－σ≤X－μ≤σ）＋P（X－μ≥σ）
＝0.6826＋2P（X－μ≥σ）＝1，
∴P（X－μ≥σ）＝0.1587，即P（X≥130）＝0.1587.
∴54×0.1587≈9（人），即130分以上的人数约为9人．
1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．
2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在（μ－σ，μ＋σ]，（μ－2σ，μ＋2σ]，（μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．
[再练一题]
3．（2016·镇江质检）某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X（单位：
分）近似服从正态分布X～N（50,102），求他在（30,60]分内赶到火车站的概率.【导学号：
29440061】
【解】 ∵X～N（50,102），∴μ＝50，σ＝10.
∴P（30＝
P（μ－2σP（μ－σ＝
×0.9544＋
×0.6826＝0.8185.
即他在（30,60]分内赶到火车站的概率是0.8185.
[构建·体系]
1．若随机变量ξ～N（0,1），则P（ξ＜0）＝________.
【解析】 ∵P（ξ＜0）＝P（ξ＞0），且P（ξ＞0）＋P（ξ＜0）＝1，∴P（ξ＜0）＝
.
【答案】
2．设正态密度曲线P（x）＝
e－
，x∈R，则总体的均值为________，方差为________．
【解析】 结合正态密度曲线的定义可知，总体的均值为1，方差为4.
【答案】 1 4
3．若随机变量X～N（μ，σ2），则P（X≤μ）＝________.
【解析】 由于随机变量X～N（μ，σ2），其正态密度曲线关于直线X＝μ对称，故P（X≤μ）＝
.
【答案】
4．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（X<4）＝0.84，则P（X≤0）＝________.【导学号：
29440062】
【解析】 由X～N（2，σ2），可知其正态曲线如图所示，对称轴为x＝2，则P（X≤0）＝P（X≥4）＝1－P（X<4）＝1－0.84＝0.16.
【答案】 0.16
5．随机变量ξ服从正态分布N（0,1），如果P（ξ≤1）＝0.8413，求P（－1<ξ≤0）．
【解】 如图所示，因为P（ξ≤1）＝0.8413，所以P（ξ>1）＝1－0.8413＝0.1587，所以P（ξ≤－1）＝0.1587，所以P（－1<ξ≤0）＝0.5－0.1587＝0.3413.
我还有这些不足：
（1）
（2）
我的课下提升方案：
（1）
（2）
学业分层测评
（建议用时：
45分钟）
[学业达标]
一、填空题
1．已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），则P（X＜3）＝________.
【解析】 由正态分布图象（图略）知，μ＝3为该图象的对称轴，P（X＜3）＝P（X＞3）＝
.
【答案】
2．若随机变量X服从标准正态分布N（0,1），则X在区间（－3,3]上取值的概率等于________．
【答案】 0.997
3．如图2 6 2是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时的三种正态曲线N（0，σ2）的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是________．
图2 6 2
【解析】 由已知得
＝
，∴σ2＝1.
由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，所以σ1＜σ2＜σ3.
【答案】 σ1＜σ2＜σ3
4．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ>0）．若ξ在（0,1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0,2）内取值的概率为________．
【解析】 由对称性知，P（1<ξ<2）＝P（0<ξ<1）＝0.4，
∴P（0<ξ<2）＝P（0<ξ<1）＋P（1<ξ<2）＝0.8.
【答案】 0.8
5．已知正态总体落在区间（0.2，＋∞）内的概率是0.5，那么相应的正态曲线f（x）在x＝________时达到最高点.【导学号：
29440063】
【解析】 由正态曲线的性质知：
μ＝0.2，故x＝0.2时，正态曲线f（x）达到最高点．
【答案】 0.2
6．已知随机变量X～N（2，σ2），若P（X＜a）＝0.32，则P（a≤X＜4－a）＝________.
图2 6 3
【解析】 由正态分布图象的对称性可得：
P（a≤X＜4－a）＝1－2P（X＜a）＝0.36.
【答案】 0.36
7．已知X～N（0，σ2）且P（－2≤X≤0）＝0.4，则P（X＞2）＝________.
【解析】 ∵P（0≤X≤2）＝P（－2≤X≤0）＝0.4，
∴P（X＞2）＝
（1－2×0.4）＝0.1.
【答案】 0.1
8．已知正态分布N（μ，σ2）的密度曲线是
P（x）＝
e－
，x∈R.给出以下四个命题：
①对任意x∈R，P（μ＋x）＝P（μ－x）成立；
②如果随机变量X服从N（μ，σ2），且F（x）＝P（X③如果随机变量X服从N（108,100），那么X的期望是108，标准差是100；
④随机变量X服从N（μ，σ2），P（X<1）＝
，P（X>2）＝p，则P（0其中，真命题的序号是________．（写出所有真命题的序号）
【解析】 画出正态分布N（μ，σ2）的密度曲线如图．
由图可得：
①图象关于x＝μ对称，故①正确；
②随着x的增加，F（x）＝P（ξ③如果随机变量ξ服从N（108,100），那么ξ的期望是108，标准差是10；
④由图象的对称性，可得④正确．故填①②④.
【答案】 ①②④
二、解答题
9．已知某种零件的尺寸X（单位：
mm）服从正态分布，其正态曲线在（0,80）上是增函数，在（80，＋∞）上是减函数，且P（80）＝
.
（1）求正态分布密度函数的解析式；
（2）估计尺寸在72mm～88mm之间的零件大约占总数的百分之几．
【解】
（1）由于正态曲线在（0,80）上是增函数，在（80，＋∞）上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值．
因此得μ＝80，
＝
，所以σ＝8.
故正态分布密度函数的解析式是
P（x）＝
e－
（x∈R）．
（2）由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88，
所以零件尺寸X在区间（72,88）内的概率是0.683.因此尺寸在72mm～88mm间的零件大约占总数的68.3%.
10．设X～N（6,1），求P（4＜X≤5）．
【解】 由已知得μ＝6，σ＝1.
∵P（5＜X≤7）＝P（μ－σ＜X≤μ＋σ）＝0.683，
P（4＜X≤8）＝P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）＝0.954.
如图，由正态分布的对称性知
P（4＜x≤5）＝P（7＜x≤8）．
∴P（4＜x≤5）＝
[P（4＜x≤8）－P（5＜x≤7）]
＝
×0.271＝0.1355.
[能力提升]
1．对于正态分布N（0,1）的概率密度函数P（x）＝
e－
，有下列四种说法：
①P（x）为偶函数；②P（x）的最大值为
；③P（x）在x＞0时是单调减函数，在x≤0时是单调增函数；④P（x）关于σ＝1对称．不正确的是________（填序号）．
【解析】 ∵X～N（0,1），∴曲线的对称轴为x＝μ＝0.
【答案】 ④
2．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ<4）＝0.8，则P（0<ξ<2）等于________．
【解析】 ∵P（ξ<4）＝0.8，
∴P（ξ>4）＝0.2.
由题意知图象的对称轴为直线x＝2，
P（ξ<0）＝P（ξ>4）＝0.2，
∴P（0<ξ<4）＝1－P（ξ<0）－P（ξ>4）＝0.6，
∴P（0<ξ<2）＝
P（0<ξ<4）＝0.3.
【答案】 0.3
3．若随机变量ξ服从正态分布N（0,1），已知P（ξ≤－1.96）＝0.025，则P（|ξ|≤1.96）等于________．
【解析】 由随机变量ξ服从正态分布N（0.1），
得P（ξ＜1.96）＝1－P（ξ≤－1.96），
所以P（|ξ|≤1.96）＝P（－1.96＜ξ＜1.96）
＝P（ξ≤1.96）－P（ξ≤－1.96）
＝1－2P（ξ≤－1.96）
＝1－2×0.025＝0.950.
【答案】 0.950
4．（2014·全国卷Ⅰ）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
图2 6 4
（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数
和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数
，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P（187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用①的结果，求E（X）．
附：
≈12.2.
若Z～N（μ，σ2），则P（μ－σ【解】
（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数
和样本方差s2分别为
＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝（－30）2×0.02＋（－20）2×0.09＋（－10）2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
（2）①由
（1）知，Z～N（200,150），从而P（187.8②由①知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以E（X）＝100×0.6826＝68.26.
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