立体几何中的建系设点问题.docx
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立体几何中的建系设点问题
全国名校高考数学复习优质学案专题汇编(附详解)
立体几何解答题的建系设点问题
在如今的立体几何解答题中,有些题目可以使用空间向量解决问
题,与其说是向量运算,不如说是点的坐标运算,所以第一个阶段:
建系设点就显得更为重要,建立合适的直角坐标系的原则有哪些?
如
何正确快速写出点的坐标?
这是本文要介绍的内容
、基础知识:
(一)建立直角坐标系的原则:
如何选取坐
标轴
1、z轴的选取往往是比较容易的,依据的是
线面垂直,即z轴要与坐标平面xOy垂直,在
几何体中也是很直观的,垂直底面高高向上
的即是,而坐标原点即为z轴与底面的交点
2、x,y轴的选取:
此为坐标是否易于写出的关键,
有这么几个原则值
”曰G得参考:
(1)尽可能的让底面上更多的点位于x,y轴上
(2)找角:
x,y轴要相互垂直,所以要利用
好底面中的垂直条件
(3)找对称关系:
寻找底面上的点能否存在
轴对称特点
3、常用的空间直角坐标系满足x,y,z轴成右手
系,所以在标x,y轴时要注意。
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4、同一个几何体可以有不同的建系方法,其坐标也会对应不同。
但是通过坐标所得到的结论(位置关系,角)是一致的。
5、解答题中,在建立空间直角坐标系之前,要先证明所用坐标轴为两两垂直(即一个线面垂直+底面两条线垂直),这个过程不能省略。
6、与垂直相关的定理与结论:
(1)线面垂直:
①如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直,则这条直线与该平面垂直
2两条平行线,如果其中一条与平面垂直,那么另外一条也与这个平面垂直
3两个平面垂直,则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂
4直棱柱:
侧棱与底面垂直
(2)线线垂直(相交垂直):
等腰三角形底边上的中线与底边垂直(三线合一)
菱形的对角线相互垂直
勾股定理逆定理:
若AB2+AC2=BC2,则AB丄AC
(二)坐标的书写:
建系之后要能够快速准确的写出点的坐标,按照特点可以分为3类1、能够直接写出坐标的点
(1)坐标轴上的点,例如在正方体(长度为1)中的A,C,D'点,坐标
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特点如下:
X轴:
(X,0,0)y轴:
(0,y,0)z轴:
(0,0,z)
规律:
在哪个轴上,那个位置就有坐标,其余均为0
(2)底面上的点:
坐标均为(x,y,0),即竖坐标z=0,由于底面在作立
体图时往往失真,所以要快速正确写出坐标,强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考:
以上图为例:
则可快速写出H,l点的坐标,位置关系清晰明
f1)
Hl1,2,0JIU,1,0
2、空间中在底面投影为特殊位置的点:
如果A(X1,y1,z)在底面的投影为A(X2,y2,0),那么为=%2,%=丫2(即点与投影点的横纵坐标相同)
由这条规律出发,在写空间中的点时,可看下在底面的投影点,坐标是否好写。
如果可以则直接确定了横纵坐标,而竖坐标为该点到底面的距离。
例如:
正方体中的B'点,其投影为B,而B(1,1,0)所以B'(1,1,z),
而其到底面的距离为1,故坐标为B'(1,1,1)以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点,但总还有一些特殊点,那么就要用到第三个方法:
3、需要计算的点①中点坐标公式:
A(X1,y1,Z1),B(X2,y2,Z2),贝JAB中点
M呼2F,宁]'图冲的H,I,E,F等中点坐标均可计算
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②利用向量关系进行计算(先设再求):
向量坐标化后,向量的关系
也可转化为坐标的关系,进而可以求出一些位置不好的点的坐标,方
法通常是先设出所求点的坐标,再选取向量,利用向量关系解出变量
的值,例如:
求A点的坐标,如果使用向量计算,则设A'(x,y,z),可直接写出A(1,0,0),B(1,1,0b'(1,1,1,观察向量7B=7B,而7B=(0,1,0),
_.妝-1=0
「I
AB=(x_1,y-1,z—1)”{y-1=1=y=
[z—1=0
\-1
0「.A(1,0,)1
izi
二、典型例题:
例1:
在三棱锥P-ABC中,PA丄平面ABC,NBAC=90,,D,E,F分别是
棱AB,BC,CD的中点,AB=AC=1,PA=2,
并确定各点坐标
解军:
;PA丄平面ABC••.PA丄ABPA
'/ZBAC=90”PA,AB,AC两两垂直
以AP,AB,AC为轴建立直角坐标系
坐标轴上的点:
A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2)
<1、
中点:
D:
AB中点b0'0丿
E:
BC中点l?
?
0J
F:
pc中点码寸
综上所述:
B(1,0,0)C(0,1,0)卩心回兀加丿吐,刈屮-11
小炼有话说:
本讲中为了体现某些点坐标的来历,在例题的过程中进
行详细书写。
这些过程在解答题中可以省略。
例2:
在长方体ABCD-AiBiCiDi中,E,F分别是棱BC,CC上的点,
CF=AB=2CE,AB:
AD:
AAi=1:
2:
4,建立适当的直角坐标系并写出点
的坐标
设AB=a,AD=2a,AAi=4a等,则点的坐标都含
有a,不便于计算。
对待此类问题可以通过设单位长度,从而使得坐标都为具体的数。
解:
因为长方体ABCD-ABQDi
二AB,AD,AA两两垂直
二以AB,AD,AAi为轴如图建系,设|AB|为单位长度
1
/.AD=2,AA^4,CF=1,CE=—
2
B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0)B,(1,0,4),A(0,0,4)6(124),U(0,2,4)
例3:
女口图,在等腰梯形ABCD中,AB//CD,AD=DC=CB=1ZABC=60,
CF丄平面ABCD,且CF=1,建立适当的直角
坐标系并确定各点坐标。
意,NBCD不是直角。
所以可以以其中一条边
为轴,在底面上作垂线即可构造出两两垂直的条件,进而可以建立坐标系
方案一:
(选择BC为轴),连结AC
2
AC=AD+DC-2ADDCcosADC=3
二AC=73
由AC=43,BC=1,NABC=60,可解得AB=2,NACB=90,
AC丄BCCF丄平面ABCD
二CF丄AC,CF丄BC
以AC,CF,BC为坐标轴如图建系:
1)
D
C
\
A
B(0,1,0“@,0,02冷-2,0丿F(0,0,1)
方案二(以CD为轴)过C作CD的垂线CMCF丄平面ABCD
/.CF丄CD,CF丄CM
/.以CD,CF,CM为坐标轴如图建系:
J3
(同方案一)计算可得:
CM=-2-,AB=2
討m,0〕B
、
1
-,0,D(0,-1,0),F(0,0,1)
2丿
小炼有话说:
建立坐标系的最重要的条件就是线面垂直(即z轴),对
于x,y轴的选取,如果没有已知线段,可以以垂足所在的某一条直线为坐标轴,然后作这条轴的垂线来确定另一条轴,本题中的两个方案就是选过垂足C的直线为轴建立的坐标系。
1
例4:
已知四边形ABCD满足AD//BC,BA=AD=DC=—BC=a,E是BC中2
思路:
在处理翻折问题时,首先要确定在翻折的过程中哪些量与位置
关系不变,这些都是作为已知条件使用的。
本题在翻折时,Lbae是等
边三角形,四边形AECD为60的菱形是不变的,寻找线面垂直时,根据平面b'AE丄平面AECD,结合LIB'AE是等边三角形,可取AE中点M,则
可证BM丄平面AECD,再在四边形AECD找一组过M的垂线即可建系解:
取AE中点M,连结B'M
yUb'ae是等边三角形
二B'M丄AE
平面B'AE丄平面AECD二B'M丄平面AECD,连结DM二b'm丄ME,b'M丄MM四边形AECD为60的菱形•••LadE为等边三角形
二DM丄AE
二b'm,md,me两两垂直如图建系,设IAB为单位长度
f1)
(1)(爲)
A--,0,0E-,0,0D|0—,0
l2丿l2丿12丿
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F为b'd中点
例5:
如图,已知四棱锥P—ABCD的底面是菱形,对角线AC,BD交于点
O,OA=4,OB=3,OP=4,且OP丄平面ABCD,点M为PC的三等分点(靠
近P),建立适当的直角坐标系并求各点坐标思路:
由OP丄平面ABCD,可得OP作为z轴,在底面上可利用菱形对角
线相互垂直的性质,选取OB,OC作为x,y轴。
在所有点中只有M的坐标相对麻烦’对于三等分点可得PM,从而转化为向量关系即可求出M坐标解:
ToP丄平面ABCD
/.OP丄OB,OP丄OC
二OP,OB,OC两两垂直以OP,OB,OC为坐标轴如图建系
可得:
P(0,0,4)B(3,0,0),C(0,4,0》A(0,",0>D(-3,0,0)
11
设M(x,y,z)由PM=—PC可得:
PM=-PC
33
X=0
I4
iy二
z一4=一4
3
PM=(x,y,z-4)PC=(0,4T)
X=0
I4Me48〕
{y=—/.M0,—,一
3I33丿
8
z=一
3
(2)对于一条线段上的某点分线段成比例,可以利用向量关系将该点
坐标计算出来
例6:
如图所示的多面体中,已知正方形ABCD与直角梯形BDEF所在
的平面互相垂直,EF//BD,ED丄BD,AD=72,EF=ED=1,试建立适当的
空间直角坐标系并确定各点坐标思路:
题目已知面面垂直,从而可以找到DE与底面垂直,再由底面是
正方形,可选AD,DC为x,y轴,图中F点坐标相对麻烦,可以用投影法
和向量法计算得到
坐标轴上的点:
A72,0,0)c(o,72,o),E(o,o,i)
底面上的点:
B(屁逅0)
F点两种确定方式:
①可看其投影,落在BD中点处伶飘,且高度为1,所以②设F(x,y,z)二EF=(x,y,z—1),DB=(72,72,0)
X=——
2
血匚21
z-1=0
a(Q72,o),a(Q-72,ow(M72,o),b(_72,-Qo),
Ci(o,o,^)c(o,—272,^)
方案二:
(利用正方形对角线相互垂直建系)如图建系:
由》氏=2罷计算可得AiH=BiH=2
A(2,0,0)A(0,-2,0)3(020)
B(—2,0,02(0,0,75)
设C(x,y,z),则GC=(x,y,z—)Ai^=(-2^2,0)
由GC=A|A可得:
《y=-2=
乙-亦=0
x=-2
y=—2/.C(2,-2厂)5
z=45
综上所述:
A(2,0,0)A(0,-2,0),Bi(0,2,0),B(-2,0,0),G(0,0,亦),C(—2,-2,亦)
小炼有话说:
本题虽然两种建系方法均可以,但从坐标上可以发现,用方案二写出的坐标相对简单,尤其是底面上