学年高中数学第二章概率26正态分布学案.docx

1、学年高中数学第二章概率26正态分布学案2.6正态分布1了解正态密度曲线及正态分布的概念，认识正态密度曲线的特征(重点、难点)2会根据标准正态分布求随机变量在一定范围内取值的概率，会用正态分布解决实际问题(重点)基础初探教材整理1正态密度曲线阅读教材P75P76第三自然段，完成下列问题1正态密度曲线的函数表达式是P(x)e，xR，这里有两个参数和，其中是随机变量X的均值，2是随机变量X的方差，且0，R.不同的和对应着不同的正态密度曲线2正态密度曲线图象具有如下特征：(1)当x时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线；(2)正态曲线关于直线x对称；(3)越大，正态曲线越扁平；越小，

2、正态曲线越尖陡；(4)在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)正态变量函数表达式中参数，的意义分别是样本的均值与方差()(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量()(3)正态曲线是一条钟形曲线()(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述()【解析】(1)因为正态分布变量函数表述式中参数是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计(2)因为离散型随机变量最多取有限个不同值而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值(3)由正态分

3、布曲线的形状可知该说法正确(4)因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述【答案】(1)(2)(3)(4)2把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，下列说法中不正确的是_(填序号)曲线b仍然是正态曲线；曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等；以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2；以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2.【解析】正态曲线向右平移2个单位，不发生变化，故错误【答案】教材整理2正态分布阅读教材P76第四自然段P79部分，完成下列问题1正态分布：若X

4、是一个随机变量，则对任给区间(a，b，P(a0)和N(2，)(20)的密度函数图象如图261所示，则有_图26112，12；12；12，12，12.(2)设随机变量服从正态分布N(0,1)，则下列结论正确的是_P(|a)P(a)P(a)(a0)；P(|a)2P(a)1(a0)；P(|a)12P(a)(a0)；P(|a)1P(|a)(a0)【精彩点拨】(1)根据，对密度曲线特征的影响进行比较；(2)结合N(0,1)的图象特征逐一检验【自主解答】(1)由两密度曲线的对称轴位置知：12；由曲线的陡峭程度知：10有以下命题：正态密度曲线关于直线x对称；正态密度曲线关于直线x对称；正态密度曲线与x轴一定

5、不相交；正态密度曲线与x轴一定相交；正态密度曲线所代表的函数是偶函数；曲线对称轴由确定，曲线的形状由决定；当一定时，越大，曲线越“扁平”，越小，曲线越“尖陡”其中正确的是_(填序号)【解析】根据正态分布曲线的性质可得，由于正态密度曲线是一条关于直线x对称，在x处处于最高点，并由该点向左、右两边无限延伸，逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x轴的上方，曲线形状由决定，而且当一定时，比较若干个不同的对应的正态曲线，可以发现越大，曲线越“扁平”，越小，曲线越“尖陡”故正确【答案】利用正态分布的对称性解题设随机变量XN(2,9)，若P(Xc1)P(Xc1)(1)求c的值；(2)求P(4x8)【精彩点拨】(1

6、)利用对称性求c的值；(2)利用正态曲线在三个特殊区间内的概率求解【自主解答】(1)由XN(2,9)可知，密度函数关于直线x2对称(如图所示)，又P(Xc1)P(Xc1)，故有2(c1)(c1)2，c2.(2)P(4x8)P(223x223)0.954.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略1充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.2熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值3注意概率值的求解转化：(1)P(Xa)1P(Xa)；(2)P(Xa)P(Xa)；(3)若b，则P(Xb).再练一题2若随机变量XN(0,1)，查标准正态分布表，求：(1)P(X1.26)；(2)P(X1.26

7、)；(3)P(0.511.26)1P(X1.26)10.896 20.103 8.(3)P(0.51X1.2)P(X1.2)P(X0.51)0.884 90.695 00.189 9.(4)P(X2.1)P(X2.1)1P(X2.1)10.982 10.017 9.探究共研型正态分布的实际应用探究1若某工厂生产的圆柱形零件的外直径N(4,0.25)，那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？【提示】零件外直径的均值为4，标准差0.5.探究2某工厂生产的圆柱形零件的外直径N(4,0.25)，若零件的外直径在(3.5,4.5内的为一等品试问1 000件这种的零件中约有多少件一等品？【提示】P

8、(3.54.5)P()0.682 6，所以1 000件产品中大约有1 0000.682 6683(件)一等品探究3某厂生产的圆柱形零件的外直径N(4，0.25)质检人员从该厂生产的1 000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？【提示】由于圆柱形零件的外直径N(4,0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25)在区间(430.5,430.5)，即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7(2.5,5.5)这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的设在

9、一次数学考试中，某班学生的分数XN(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数【精彩点拨】将P(X90)转化为P(X)，然后利用对称性及概率和为1，得到2P(X)0.682 61，进而求出P(X90)的值，同理可解得P(X130)的值【自主解答】110，20，P(X90)P(X11020)P(X)，P(X)P(X)P(X)2P(X)0.682 61，P(X)0.158 7，P(X90)1P(X)10.158 70.841 3.540.841 345(人)，即及格人数约为45人P(X130)P(X11020

10、)P(X)，P(X)P(X)P(X)0.682 62P(X)1，P(X)0.158 7，即P(X130)0.158 7.540.158 79(人)，即130分以上的人数约为9人1本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3区间，由特殊区间的概率值求出2解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(，(2，2，(3，3三个区间内的概率在此过程中用到归纳思想和数形结合思想再练一题3(2016镇江质检)某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布XN(50,102)，求他在(30,60分内赶到火车站的概率. 【导学号：2944

11、0061】【解】XN(50,102)，50，10.P(30X60)P(30X50)P(50X60)P(2X2)P(X)0.954 40.682 60.818 5.即他在(30,60分内赶到火车站的概率是0.818 5.构建体系1若随机变量N(0,1)，则P(0)_.【解析】P(0)P(0)，且P(0)P(0)1，P(0).【答案】2设正态密度曲线P(x)e，xR，则总体的均值为_，方差为_【解析】结合正态密度曲线的定义可知，总体的均值为1，方差为4.【答案】143若随机变量XN(，2)，则P(X)_.【解析】由于随机变量XN(，2)，其正态密度曲线关于直线X对称，故P(X).【答案】4已知随机

12、变量X服从正态分布N(2，2)，且P(X4)0.84，则P(X0)_. 【导学号：29440062】【解析】由XN(2，2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x2，则P(X0)P(X4)1P(X4)10.840.16.【答案】0.165随机变量服从正态分布N(0,1)，如果P(1)0.841 3，求P(11)10.841 30.158 7，所以P(1)0.158 7，所以P(10)若 在(0,1)内取值的概率为0.4，则在(0,2)内取值的概率为_【解析】由对称性知，P(12)P(01)0.4，P(02)P(01)P(12)0.8.【答案】0.85已知正态总体落在区间(0.2，)内的概率是0.

13、5，那么相应的正态曲线f(x)在x_时达到最高点. 【导学号：29440063】【解析】由正态曲线的性质知：0.2，故x0.2时，正态曲线f(x)达到最高点【答案】0.26已知随机变量XN(2，2)，若P(Xa)0.32，则P(aX4a)_.图263【解析】由正态分布图象的对称性可得：P(aX4a)12P(Xa)0.36.【答案】0.367已知XN(0，2)且P(2X0)0.4，则P(X2)_.【解析】P(0X2)P(2X0)0.4，P(X2)(120.4)0.1.【答案】0.18已知正态分布N(，2)的密度曲线是P(x)e，xR.给出以下四个命题：对任意xR，P(x)P(x)成立；如果随机变

14、量X服从N(，2)，且F(x)P(Xx)，那么F(x)是R上的增函数；如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100；随机变量X服从N(，2)，P(X2)p，则P(0X2)12p.其中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)【解析】画出正态分布N(，2)的密度曲线如图由图可得：图象关于x对称，故正确；随着x的增加，F(x)P(x)也随着增加，故正确；如果随机变量服从N(108,100)，那么的期望是108，标准差是10；由图象的对称性，可得正确故填.【答案】二、解答题9已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，

15、)上是减函数，且P(80) .(1)求正态分布密度函数的解析式；(2)估计尺寸在72 mm88 mm之间的零件大约占总数的百分之几【解】(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，)上是减函数，所以正态曲线关于直线x80对称，且在x80处取得最大值因此得80，所以8.故正态分布密度函数的解析式是P(x)e(xR)(2)由80，8，得80872，80888，所以零件尺寸X在区间(72,88)内的概率是0.683.因此尺寸在72 mm88 mm间的零件大约占总数的68.3%.10设XN(6,1)，求P(4X5)【解】由已知得6，1.P(5X7)P(X)0.683，P(4X8)P(2X2)

16、0.954.如图，由正态分布的对称性知P(4x5)P(7x8)P(4x5)P(4x8)P(5x7)0.2710.135 5.能力提升1对于正态分布N(0,1)的概率密度函数P(x)e，有下列四种说法：P(x)为偶函数；P(x)的最大值为；P(x)在x0时是单调减函数，在x0时是单调增函数；P(x)关于1对称不正确的是_(填序号)【解析】XN(0,1)，曲线的对称轴为x0.【答案】2已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(02)等于_【解析】P(4)0.2.由题意知图象的对称轴为直线x2，P(4)0.2，P(04)1P(4)0.6，P(02)P(04)0.3.【答案】0.3

17、3若随机变量服从正态分布N(0,1)，已知P(1.96)0.025，则P(|1.96)等于_【解析】由随机变量服从正态分布N(0.1)，得P(1.96)1P(1.96)，所以P(|1.96)P(1.961.96)P(1.96)P(1.96)12P(1.96)120.0250.950.【答案】0.9504(2014全国卷)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：图264(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)

18、，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2.利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用的结果，求E(X)附：12.2.若ZN(，2)，则P(Z)0.682 6，P(2Z2)0.954 4.【解】(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)由(1)知，ZN(200,150)，从而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.682 6.由知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知XB(100，0.682 6)，所以E(X)1000.682 668.26.