高等数学教学指导.docx
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高等数学教学指导
第一章函数与极限
一、教材分析
函数是微积分的主要研究对象，同时又是联系初等数学与微积分的纽带。
在初等数学中，是用初等数学的方法研究函数。
在微积分中，则用导数、微分等一些高等方法来研究函数及函数中一些新的问题，因此，函数的概念也是微积分中的基本概念。
极限是研究函数的一种重要手段之一，同时也是整个微积分的基础，后继内容：
连续、导数、定积分、偏导数、重积分、曲线积分、曲面积分及无穷级数均建立在极限定义的基础之上，所以极限的概念显得非常重要。
然而由于极限是揭示“无限”的概念，所以从思维的角度看，极限的概念又是一道不易跨越的“鸿沟”，尤其是极限精确定义
和
语言，更是让初学者感到“迷雾重重”。
学生在高中阶段虽学习了数列极限、函数极限，但并未涉及极限的精确定义，因此，在教学中要注意帮助学生在由形象到抽象、由描述定义到精确定义的过程中逐步理解。
二、教学内容及课时划分
§1—1映射与函数2课时
§1—2数列的极限2课时
§1—3函数的极限2课时
§1—4无穷小与无穷大1课时
§1—5极限运算法则2课时
§1—6极限存在准则，两个重要极限2课时
§1—7无穷小比较1课时
§1—8函数的连续与间断2课时
§1—9连续函数的运算与初等函数的连续性2课时
§1—10闭区间上的连续函数的性质2课时
习题课2课时
合计20课时
三、教学要求
1、理解映射与函数的概念；
2、初步理解极限的定义，掌握极限的性质；
3、了解无穷小与无穷大的概念及其关系；
4、掌握极限的运算法则；
5、了解极限存在准则，掌握两个重要极限；
6、掌握无穷小的比较；
7、掌握函数的连续性与间断点的概念；
8、掌握初等函数的连续性；
9、掌握闭区间上连续函数的性质。
四、教学重点与难点
重点：
求极限的方法，零点定理、介值定理的应用
难点：
极限的定义
五、教学建议
1、映射与函数这节内容，是初等数学与高等数学的衔接内容，要注意帮助学生复习五种基本初等函数的解析式、定义域、值域、性质、图像，这对于以后各章的学习是非常重要的；
2、对极限概念，力求阐述清楚，若学生一时难以理解，可以暂且放下，待在以后学习中逐步理解；
3、对于求极限的方法，重点放在极限的运算法则，两个重要极限，无穷小比较；
4、对于连续性，强调连续定义的不同形式，对于间断点则强调间断点类型；
5、对于闭区间上连续函数的性质，重点放在零点定理、介值定理在证明中的应用。
定义
六、本章知识结构图
性质
函数
反函数
函数
与
极限
复合函数
数列极限
函数极限
定义
性质
定义
阶的分类
无穷大量
极限
利用极限运算法则及连续性
利用极限存在准则
利用两个重要极限
求极限方法
利用无穷小比较
利用无穷小量乘有界变量
第二章导数与微分
一、教材分析
微分学是高等数学的重要组成部分,作为研究分析函数的工具和方法,其主要包含导数与微分两个重要的基本概念,其中导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度,即变化率问题,而微分刻画了当自变量有微小变化时,函数变化量的近似值。
物理和其他学科（如经济）的许多重要问题都涉及到研究函数变化率和增量问题，因此本章的导数与微分问题，是学习后继课程和工程技术中不可缺少的工具。
同时，许多重要的应用问题都涉及到导数概念，因此在教学中要注意导数在实际问题中的应用。
求导数、微分是学习高等数学必备的基本功，要加强训练，使学生熟练掌握。
由于学生在高中阶段已学习了一些有关导数的内容，包括概念、求导运算法则和几种常见函数的导数公式，因此，对第一、二两节，重点在于帮助学生进一步理解和熟练掌握，而对学生未曾接触过的内容应有所侧重。
二、教学内容及课时划分
§2—1导数概念2学时
§2—2函数的求导法则3学时
§2—3高阶导数1学时
§2—4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率2学时
§2—5函数的微分2学时
习题课2学时
合计12学时
三、教学要求
1、理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系，会用导数描述一些物理量。
2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。
3、了解高阶导数的概念。
4、掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。
5、会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
6、掌握微分的定义和运算法则，会计算函数的微分，会利用微分作近似计算。
四、本章重点与难点
重点：
导数的概念、导数的运算法则与基本求导公式；微分的概念与微分的运算法则；
难点：
复合函数求导法，一阶微分形式不变性，隐函数求导
五、教学建议
1、通过物理、几何问题的分析讨论，作两方面的概括：
（1）局部范围的不变代变（均匀代非均匀）
（2）数学结构为平均变化率的极限，以此抽象出导数的定义。
2、对复合函数求导，注意分析函数结构，“由表及里，逐层求导”，教学中可采取两步走：
第一步，写出中间变量，将复合函数分解为基本初等函数或由基本初等函数经过四则运算所得到的关系式，再应用法则求导。
第二步，中间变量在每一步求导过程中体现，由表及里，逐层求导。
3、在隐函数的求导及对数求导法中要以复合函数求导法为依据展开，要提醒学生对中间变量求导后，还要乘上中间变量对自变量的导数。
4、微分概念中要突出线性代替的思想，把握微分定义中函数增量等于函数微分与自变量高阶无穷小之和的结构特征；形象解释用函数微分近似代替函数增量的几何意义，建立“以直代曲”的思想；强调利用微分进行近似计算的理论依据是：
在函数导数不为零时，函数的增量近似等于函数微分。
对微分形式不变性要强调：
在函数微分表达式中把自变量换成中间变量后，函数微分表达式的形式不变。
要通过利用微分形式不变性求导例题加深对微分形式不变性的理解。
六、本章知识结构图
定义
导数存在的充要条件
左、右导数
几何意义
导数与连续关系
导数
导
数
与
微分
定义（左、右导数）
四则运算
基本公式
复合函数求导
隐函数求导
求导数的方法
参数方程求导
对数求导法
莱布尼茨公式
求高阶导数方法
导数与微分的关系
微分
高阶微分
第三章微分中值定理与导数的应用
一、教材分析
本章内容是上一章的延续，主要是利用导数与微分来分析和研究函数的性态，其理论基础即为在微分学中占有重要地位的微分中值定理。
微分中值定理建立了导数通向应用的桥梁。
中值定理无论是在理论研究中还是在实际应用中都具有十分重要的作用，中值定理证明中的方法称为构造辅助函数法，此方法是一个十分常用的数学方法，在不等式的证明，方程根的存在性等证明中都具有广泛的应用。
洛比达法则提供了求未定型的极限的一种重要方法，一定要将前面所介绍过的求极限的方法与之结合起来，融会贯通，真正掌握和灵活使用洛必达法则。
泰勒公式是将一些函数近似地转化为多项式函数表达的桥梁，在函数的近似研究中具有重要的理论价值，特别是在近似计算方面。
从教学实践看，学生对这一节内容难以理解，要注意帮助学生理解这种近似表达的意义与作用。
导数的应用，主要是利用导数研究函数的单调性和极值，最值，曲线的凹凸性和拐点等，对它们的研究，最基本的方法是利用定义和判定定理，这是很重要的。
要注意所研究的问题与导数之间的联系，并加以比较。
利用导数研究函数性态，其求法比较规范，步骤明确，并且学生在高中阶段已学会利用导数研究函数的单调性和极值，因此，这里的教学重点应放在利用导数进一步研究曲线的凹凸性和拐点上。
二、教学内容及其课时的划分
§3—1微分中值定理2课时
§3—2洛必达法则2课时
§3—3泰勒公式2课时
§3—4函数的单调性与曲线的凹凸性2课时
§3—5函数的极值与最大值最小值2课时
§3—6函数图形的描述2课时
§3—7曲率1课时
§3—8方程的近似解1课时
习题课2课时
合计16课时
三、教学要求
1、掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理；
2、会用洛必达法则求未定式的极限；
3、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用；
4、用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形；
5、了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径；
6、了解方程近似解的二分法及切线法。
四、本章重点与难点
重点：
罗尔定理、拉格朗日中值定理、洛必达法则、利用导数研究函数的性态
难点：
罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理的证明，泰勒公式的证明与应用
五、教学建议
1、对中值定理的教学，要引导学生比较几个中值定理条件与结论中的共同点与不同点，弄清它们之间的关系：
罗尔定理是拉格朗日定理的特例；拉格朗日定理又是柯西中值定理的特例；注意罗尔、拉格朗日、柯西中值定理的中值定理的中值点是开区间内的某一点，而非区间内的任意点或指定一点，换言之，这三个中值定理都仅“定性”地指出了中值点的存在性，而非“定量”地指明的具体数值；结合这三个中值定理在本节中的应用以及在以后各章节的应用，反复体会这些定理在微积分学的意义与作用，可要求较好学生掌握通过设辅助函数来运用微分中值定理。
2、要让学生懂得洛必达法则是求0/0型与∞/∞型未定式极限的一种比较有效的方法，但也有一定的使用范围；另外要强调洛必达法则不是求0/0型或与∞/∞型未定式的唯一方法，在计算时应该结合使用等价无穷小的替换、带有佩亚诺余项的泰勒公式等方法，以使计算简便、准确。
3、重点讲解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式．要求学生理解并熟记几个重要函数的麦克劳林公式。
4、利用导数研究函数的性态是本章的一个重点，要在例题教学的基础上，让学生总结研究的步骤。
由于教材中例题未使用列表法，所以在教学中要特别强调列表法的优越性。
5、曲率和曲率半径在实际生活中具有广泛的应用，在教学中不仅要求学生会计算曲率半径，更要让学生了解在实际生活中的应用。
6、在利用二分法和切线法计算方程的近似解及其近似计算的教学中，要注意体现逐步逼近的思想和方法。
六、本章知识结构图
罗尔定理
柯西定理
拉格朗日定理（两个重要推论）
洛必达法则：
用于求
、
、
、
、
、
、
型极限
极值与最值
利用微分中值定理
证明不等式
个数
函数单调性
单调性及极值
存在性
凹凸性及判别法
方程根的讨论
第一、二判别法
驻点定义
罗尔定理
凹凸性
连续函数的介值定理
中值定理
利用函数单调性
利用极（最）值（区别最值与极值）
中值定理与
导数的应用
第四章不定积分
一、教材分析
本章中不定积分的概念是从求已知函数的原函数引入的，是求已知函数的导函数的逆运算，这种运算虽然本质上属于微分学的范畴，但它的引入是为了定积分的计算及微分方程的求解，因此，本章在教材中起到了承上启下的作用，占有重要地位。
本章主要内容是不定积分的计算，在由基本微分公式导出基本积分公式的基础上，介绍了第一类、第二类换元积分法、分部积分法，以及有理函数的积分。
不定积分的计算方法灵活，有些题还可以一题多解，需要学生做一定量的题，以达到熟练程度。
对于一些有规律性的方法，应让学生在做题的基础上加以总结。
从本章起的不定积分、定积分内容是学生未曾接触过的，从教学实践看，学生对这些内容的理解上还是有些困难的，因此，要注意新概念的引入应建立在学生已有知识基础之上，同时要注意教学节奏的控制。
二、教学内容及课时划分
§4—1不定积分的概念与性质2课时
§4—2换元积分法3课时
§4—3分部积分法2课时
§4—4有理函数的积分2课时
§4—5积分表的使用1课时
习题课2课时
合计12课时
三、教学要求
1、理解不定积分的概念及性质。
2、熟悉不定积分的基本公式。
熟练掌握换元积分法和分部积分法。
掌握较简单的有理函数的积分。
四、教学重点与难点
重点：
不定积分的基本公式，不定积分的换元积分法和分部积分法。
难点：
第二类换元积分法、简单的有理函数的积分。
五、教学建议
1、不定积分的概念与性质
在原函数概念的基础上，引入不定积分的概念，要突出不定积分与求导、微分间的关系，并在理解曲线簇的基础上，强调不定积分结果中的任意常数项。
对于基本积分公式，要求学生在联系求导公式的基础上并在运用中熟记。
不定积分的性质可结合导数的性质进行教学。
2、换元积分法
（1）第一类换元积分法（凑微分法）：
主要强调如何将所给不定积分凑成基本公式形式。
（2）第二类换元积分法：
要引导学生对不同形式的被积函数的换元方法的总结，同时要强调换元后的积分变量的回代。
特别要注意在用三角代换进行换元时，利用辅助三角形求相应的三角函数值是学生学习中的难点。
另外，要引导学生进行两类换元积分法的比较。
3、分部积分法
分部积分公式是在两个函数乘积的导数公式基础上得到的，要引导学生在理解的基础上记忆。
分部积分法的应用主要强调
（1）在什么情况下适用
（2）u和dv如何选取，要让学生概括总结对被积函数是几种特殊形式时u和dv的选取方法。
4、有理函数的积分
有理函数的积分主要强调将有理函数部分分式的方法。
对可化为有理函数的积分主要强调针对不同形式的被积函数进行相应的换元。
5、关于本章的习题
对不定积分的熟练程度如何，将直接影响后面积分学内容的学习，因此，要使学生对不定积分的计算达到熟练程度，就要适当增加习题量（每次课10小题左右）。
同时，对于本章习题，还要强调方法的灵活性，并注意展示学生作业中的不同解法。
六、本章知识结构图
不定积分
基本概念
基本性质
积分公式
积分法
换元法
第一类换元法（凑微分法）
第二换元法
分部积分法
有理函数的积分
三角函数有理式的积分
某些无理函数的积分
与导数、微分的关系
第五、六章定积分及其应用
一、教材分析
定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题。
古希腊阿基米德用“穷竭法”，我国古代刘徽用“割圆术”，都曾解决过一些面积和体积问题，这些都是定积分的雏形。
直到17世纪中叶，牛顿和莱布尼兹先后提出了定积分的概念，并发现了积分与微分之间的内在联系，给出了计算定积分的N—L公式，从而才使定积分成为解决有关实际问题的有力工具。
定积分是积分学的一个基本概念，后续的重积分、曲线积分和曲面积分都是在定积分基础上的推广。
因此，本章在积分学中占有重要的基础地位。
定积分概念的形成反映了微积分的重要思想，定积分的计算则依赖于N—L公式。
二、教学内容及课时划分
§5—1定积分的概念与性质3课时
§5—2微积分基本公式2课时
§5—3定积分的换元法和分部积分法3课时
§5—4反常积分2课时
习题课2课时
§6—1定积分的元素法1课时
§6—2定积分在几何学上的应用3课时
§6—3定积分在物理上的应用2课时
总计18课时
三、教学要求
1、理解定积分的概念及性质
2、熟练掌握定积分的换元法和分部积分法。
3、理解积分上限函数及其求导定理。
熟悉牛顿（Newton）-莱布尼兹（Leibniz）公式。
4、了解反常积分的概念
5、知道定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）
6、熟练掌握用定积分来表达一些几何量和物理量（面积、体积、弧长和功等）的方法
四、教学重点与难点
重点：
定积分的概念及性质、N—L公式、定积分的换元法和分部积分法、元素法、定积分在几何上的应用。
难点：
积分上限函数及其求导定理、反常积分。
五、教学建议
1、定积分的概念与性质
定积分的概念是由求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程两个实际问题引入并抽象而成，定积分的概念的形成中反映了微积分的重要思想。
在教学中要让学生感受到分割——近似——求和——取极限这一过程的必要性，逐步认识其中的重要数学思想。
定积分性质的教学可结合定积分的几何意义进行，便于学生的理解。
同时要注意闭区间上连续函数的性质的复习。
2、N—L公式
N—L公式是定积分理论的核心，它揭示了积分与微分之间的联系，反映了定积分的值与被积函数的原函数在积分区间端点函数值之间的关系，在教学中重点要强调“F（x）是
f（x）的原函数”。
3、积分上限函数及其求导定理
积分上限函数是一类重要的函数形式，是N—L公式证明的基础，而且由于这类函数的良好性质（连续性、可导性）和应用背景（表示变动面积、变动弧长等），常见于一些习题中，但这一内容是学生学习中的一个难点。
在教学中应着重帮助学生理解：
（1）
是
一个原函数，即
（2）
是关于x的复合函数，
另外，教学中要注意对含有积分上限函数习题类型的概括和总结，如求极限问题、求导问题、积分问题、求表达式的问题等。
4、定积分的换元法和分部积分法
定积分的换元法和分部积分法是定积分计算的基本方法。
定积分的换元法的教学要注意强调换元后积分限的相应改变，并引导学生找出定积分的换元法与不定积分换元法之间的联系和区别。
对定积分分部积分法，与不定积分分部积分法类似，只需在最后应用N—L公式即可。
5、反常积分
反常积分是积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分，是常规定积分的极限形式。
在教学中应重点把握其定义以及与定积分的联系。
6、元素法、用微元法求几何量和物理量
元素法，又称微元法，是对定积分定义的进一步的抽象与简化，本节内容的教学主要强调元素法的步骤：
（1）（建立坐标系），选积分变量，确定积分区间
（2）取微段，表示微元（3）用定积分表示所求量。
对于几何量（平面图形面积、体积、平面曲线弧长）和物理量（功、水压力、引力）的计算，首先要注意基本几何量和物理量表示，然后再应用微元法进行计算。
六、本章知识结构图
定义
分割、近似、求和、取极限
几何意义
可积函数类
性质
积分上限函数
定积分的计算
定义
N—L公式
换元法
分部积分法
利用函数的周期性、奇偶性
广义积分定义
无穷积分与瑕积分的计算、收敛性判别
定积分的应用
闭区间上连续函数
闭区间上至多有有限个第一类间断点
单调有界函数
用定积分求和式的极限
证明不等式、等式
几何应用
面积（直角坐标、极坐标、参数方程）
弧长
旋转体体积
定积分及其应用
物理应用
功、水压力、引力等
第七章微分方程
一、教材分析
微分方程分为常微分方程和偏微分方程.本章只介绍了常微分方程的一部分而不涉及多元微积分.因而在实际教学中可以结合专业特点适当提前.
分类研究构成了全章的主导思想,与不定积分类似,许多微分方程,求解思路较难想,很难求解。
探索着研究,先易后难,一类一类地解决问题,因而尽快地识别微分方程的类型是重要的突破口.而识别微分方程类型的关键是对每一类微分方程特征的把握。
微分方程在实际中有广泛的应用，因此在教学中，对其概念的引入，各种类型微分方程求解的应用要落实到实际问题的解决上。
二、教学内容及课时划分
§12—1微分方程的概念 1课时
§12—2可分离变量微分方程 1课时
§12—3齐次方程 1课时
§12—4一阶线性微分方程 2课时
§12—5全微分方程 1课时
§12—6可降阶的高阶微分方程 2课时
§12—7高阶线性微分方程 1课时
§12—8常系数齐次线性方程 1课时
§12—9常系数非齐次线性方程 2课时
习题课2课时
合计14课时
三、教学要求
1、了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念;
2、会识别下列几种一阶微分方程：
变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分方程;
3、熟练掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法;
4、会解齐次方程和伯努利方程，从中领会用变量代换求解方程的思想;
5、会解较简单的全微分方程;
6、知道下列几种特殊的高阶方程;
，
和
的降阶法
7、了解二阶线性微分方程解的结构;
8、熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并知道高阶常系数齐次线性微分方程的解法;
9、了解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法.
四、教学重点与难点
重点：
可分离变量的方程、一阶线性微分方程、二阶常系数齐次线性微分方程
难点：
二阶常系数非齐次线性微分方程
关键：
微分方程类型的识别
五、教学建议
1、在第一节课，要把微分方程的概念交待清楚，建议补充微分方程是否线性的定义。
2、可分离变量的微分方程的求解，其关键是把变量分离到方程两边。
3、齐次方程的求解，一方面要注意进行齐次方程的判断,另一方面，还要对齐次方程进行变量代换变方程为可分离变量的形式。
4、一阶线性微分方程.
（a）方程的判别.特别注意x,y地位的对等，都可以作为未知函数或自变量,要注意引导学生多角度观察方程，准确判断方程的类型。
（b）常数变易法.例如，非齐次线性方程
求解,它对应齐次方程
的解为
，把常数替换成待定函数
，即
，再把它代入非齐次方程，可确定一个
.常数变易法的本质也是变量代换,它将非齐次形式的方程变为可分离变量方程。
（c）可以让学生记住一阶线性非齐次方程的阶的公式，但要注意其中的
在原方程中代表什么。
（d）伯努利方程的求解思想是将其转化为一阶线性微分方程，学生对于所做的变量代换不易理解，在教学中要把为什么作此变换说清楚。
5、线性方程解的结构与《线性代数》中线性方程组的解的结构完全类似：
非齐次方程通解=齐次方程通解+非齐次方程一特解.
6、可降阶的高阶微分方程的求解思想，就是降阶。
以二阶为例,主要是不显含x（或y）的形式,建立
与x（或y）的关系，转化为一阶微分方程,达到降阶的目的.
7、二阶常系数线性方程分为线性齐次方程和线性非齐次方程，这部分内容理论难度较大,要注意分析清楚。
对线性齐次方程，重点分析怎样将方程与其特征方程联系起来，怎样将微分方程的解的形式与特征方程根的情况联系起来；对线性非齐次方程，重点要解决特解问题，要根据自由项的不同形式，确定特解的不同设法，再利用待定系数法，求出特解，这部分内容比较繁琐，要注意分情况讨论。
六、本章知识结构图
微分方程的解
基本概念
微分方程的通解
初始条件和特解
可用初等积分解的方程类型
可分离变量的方程
齐次方程
微分方程
一阶线性方程
全微分方程
贝努利方程
可用简单的变量代换求解的方程
可降阶的高阶微分方程
线性微分方程解的性质及解的结构定理
二阶常系数线性微分方程
常系数齐次线性微分方程
常系数非齐次线性微分方程
欧拉方程*
微分方程的幂级数解法*
微分方程的简单应用问题
注:
图中打*号内容仅作了解.
第八章空间解析几何与向量代数
一、教材分析
本章是中学数学中的平面向量和空间向量的一个延伸。
本章的内容将直接服务于多元微积分的各章（第八、九、十章），对后续内容的学习具有很大的影响，
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