高一数学必修三第一章汇总.docx

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高一数学必修三第一章汇总

算法初步知识点

1.1.1算法的概念

1、算法概念：

在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.

2.算法的特点:

（1）有限性：

一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的.

（2）确定性：

算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可.

（3）顺序性与正确性：

算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.

（4）不唯一性：

求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法.

（5）普遍性：

很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决.

1.1.2程序框图

1、程序框图基本概念：

（一）程序构图的概念：

程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。

一个程序框图包括以下几部分：

表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明。

（2）构成程序框的图形符号及其作用

程序框

名称

功能

起止框

表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的。

输入、输出框

表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。

处理框

赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。

判断框

判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。

学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下：

1、使用标准的图形符号。

2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。

3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。

判断框具有超过一个退出点的唯一符号。

4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。

5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。

（三）、算法的三种基本逻辑结构：

顺序结构、条件结构、循环结构。

1、顺序结构：

顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。

顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而

下地连接起来，按顺序执行算法步骤。

如在示意图中，A框和B

框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执

行B框所指定的操作。

2、条件结构：

条件结构是指在算法中通过对条件的判断

根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。

条件P是否成立而选择执行A框或B框。

无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。

一个判断结构可以有多个判断框。

3、循环结构：

在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含条件结构。

循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：

（1）、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P不成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。

（2）、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。

当型循环结构直到型循环结构

注意：

1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。

因此，循环结构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。

2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。

计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。

计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。

1.2.1输入、输出语句和赋值语句

1、输入语句

（1）输入语句的一般格式

（2）输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；（4）输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；（5）提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开。

2、输出语句

（1）输出语句的一般格式

（2）输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据；（4）输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。

3、赋值语句

（1）赋值语句的一般格式

（2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；（3）赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。

赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量；（4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式；（5）对于一个变量可以多次赋值。

注意：

①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。

如：

2=X是错误的。

②赋值号左右不能对换。

如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。

③不能利用赋值语句进行代数式的演算。

（如化简、因式分解、解方程等）④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。

1．2．2条件语句

1、条件语句的一般格式有两种：

（1）IF—THEN—ELSE语句；

（2）IF—THEN语句。

2、IF—THEN—ELSE语句

IF—THEN—ELSE语句的一般格式为图1，对应的程序框图为图2。

图1图2

分析：

在IF—THEN—ELSE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；ENDIF表示条件语句的结束。

计算机在执行时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN后面的语句1；若条件不符合，则执行ELSE后面的语句2。

3、IF—THEN语句

IF—THEN语句的一般格式为图3，对应的程序框图为图4。

注意：

“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时，结束程序；ENDIF表示条件语句的结束。

计算机在执行时首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合就执行THEN后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句。

1．2．3循环语句

循环结构是由循环语句来实现的。

对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构。

即WHILE语句和UNTIL语句。

1、WHILE语句

（1）WHILE语句的一般格式是对应的程序框图是

（2）当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。

这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。

因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。

2、UNTIL语句

（1）UNTIL语句的一般格式是对应的程序框图是

DO

循环体

LOOPUNTIL条件

（2）直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOPUNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。

分析：

当型循环与直到型循环的区别：

（先由学生讨论再归纳）

（1）当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；

在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环

1.3.1辗转相除法与更相减损术

1、辗转相除法。

也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：

（1）：

用较大的数m除以较小的数n得到一个商

和一个余数

；

（2）：

若

＝0，则n为m，n的最大公约数；若

≠0，则用除数n除以余数

得到一个商

和一个余数

；（3）：

若

＝0，则

为m，n的最大公约数；若

≠0，则用除数

除以余数

得到一个商

和一个余数

；……依次计算直至

＝0，此时所得到的

即为所求的最大公约数。

2、更相减损术

我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。

在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤：

可半者半之，不可半者，副置分母•子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。

翻译为：

（1）：

任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。

若是，用2约简；若不是，执行第二步。

（2）：

以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。

继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。

3、辗转相除法与更相减损术的区别：

（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到

1.3.2秦九韶算法与排序

1、秦九韶算法概念：

f（x）=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值问题

f（x）=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=（anxn-1+an-1xn-2+….+a1）x+a0=（（anxn-2+an-1xn-3+….+a2）x+a1）x+a0

=......=（...（anx+an-1）x+an-2）x+...+a1）x+a0

求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v1=anx+an-1

然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即

v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0、

这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。

2、两种排序方法：

直接插入排序和冒泡排序

1、直接插入排序

基本思想：

插入排序的思想就是读一个，排一个。

将第１个数放入数组的第１个元素中，以后读入的数与已存入数组的数进行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置．将该位置以及以后的元素向后推移一个位置，将读入的新数填入空出的位置中．（由于算法简单，可以举例说明）

2、冒泡排序

基本思想：

依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第1个数和第2个数,大数放前,小数放后.然后比较第2个数和第3个数......直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的一定沉到最后.重复上过程,仍从第1个数开始,到最后第2个数......由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序.

1.3.3进位制

1、概念：

进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。

可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。

现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。

对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。

比如：

十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。

一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：

，

而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001

（2）表示二进制数,34（5）表示5进制数

一、选择题

1．看下面的四段话，其中是解决问题的算法的是（）.

A．把高一5班的同学分成两组，高个子参加篮球赛，矮个子参加拔河比赛

B．把高一5班的同学分成两组，身高达到170cm的参加篮球赛，不足170cm的参加拔河比赛

C．把a，b的值代入x＝

，求方程ax＝b的解

D．从2开始写起，后一个数为前一个数与2的和，不断地写，写出所有偶数

2．任何一个算法都必须有的基本结构是（）.

A．顺序结构B．条件结构

C．循环结构D．三个都有

3．右边的程序框图（如图所示），能判断任意输入的整数x的奇偶性：

其中判断框内的条件是（）.

A．m＝0?

B．x＝0?

C．x＝1?

D．m＝1?

4．给出以下一个算法的程序框图（如图所示），该程序框图的功能是（）.

A．求输出a，b，c三数的最大数

B．求输出a，b，c三数的最小数

C．将a，b，c按从小到大排列

D．将a，b，c按从大到小排列

5．右图给出的是计算

＋

＋

＋…＋

的值的

一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）.

A．i＞10?

B．i＜10?

C．i＞20?

D．i＜20?

6．直到型循环结构为（）.

AB

CD

7．下列给出的赋值语句中正确的是（）.

A．4＝MB．M＝－MC．2B＝A－3D．x＋y＝0

8．右边程序执行后输出的结果是（）.

A．－1B．0

C．1D．2

9．我国古代数学发展曾经处于世界领先水平，特别是宋、元时期的“算法”，其中可以同欧几里德辗转相除法相媲美的是（）.

A．割圆术B．更相减损术C．秦九韶算法D．孙子乘余定理

10．下面是一个算法的程序．如果输入的x的值是20，则输出的y的值是（）.

A．100B．50C．25D．150

二、填空题

11．下列关于算法的说法正确的是.（填上正确的序号）

①某算法可以无止境地运算下去

②一个问题的算法步骤不能超过1万次

③完成一件事情的算法有且只有一种

④设计算法要本着简单方便可操作的原则

12．下列算法的功能是.

S1输入A，B；（A，B均为数据）

S2A＝A＋B；

S3B＝A－B；

S4A＝A－B；

S5输出A，B．

13．如图，输出的结果是.

14如图，输出的结果是.

x≤3

x＞3

15已知函数y＝

流程图表示的是给定x值，求其相应函数值的算法．请将该流程图补充完整．其中①处应填，②处应填．若输入x＝3，则输出结果为.

16．如图，输出结果为.

第一章算法初步

参考答案

一、选择题

1．解析：

A．何为高个子，何为矮个子，标准不明确.

C．当a＝0时公式是无效的.

D．非有限步可以完成.

只有B符合算法的三个要求，所以答案是B.

解：

选B.

2．A

解析：

顺序结构是最简单的结构，也是最基本的结构.

3．A

解析：

x除以2，如余数为0，则x为偶数；余数不为0，则x为奇数.

4．B

解析：

从程序框图可知：

输出的是三个数中的最小值.

5．A

解析：

这是一个10项求和问题.

6．B

解析：

直到型循环在执行了一次循环体之后，对控制循环条件进行判断，当条件不满足时反复做，满足则停止.

7．B

解析：

依据赋值语句的概念，选B是正确的.

8．B

解析：

程序执行后输出的结果是0，故选B.

9．B

10．D

解析：

∵20＞5，∴y＝20×7.5＝150，∴选D.

二、填空题

11．答案：

④.

解析：

由算法的特点所确定.

12．答案：

实现数据A，B的互换.

解析：

利用赋值语句的意义与题中算法的步骤进行分析.

13．答案：

12.

解析：

m＝2，p＝7，m＝12.

14．答案：

105.

解析：

T＝1，I＝1，T＝1，I＝3，不满足条件；T＝3，I＝5，不满足条件；T＝15，I＝7，不满足条件；T＝105，I＝9，满足条件．输出T.

15．答案：

①x≤3?

；②y＝－3x2；5.

解析：

根据给出函数的解析式分析可填出.

16．答案：

9．

解析：

逐个取值计算．

三、解答题

17．解析：

根据题意，可考虑用条件结构来进行算法设计.

解：

算法步骤：

第一步，输入人数x，设收取的卫生费为m（元）．

第二步，判断x与3的大小．若x＞3，则费用为m＝5＋（x－3）×1.2；若x≤3，则费用为m＝5．

第三步，输出m．

18．分析：

先写出算法，画出程序框图，再进行编程．

程序框图：

程序：

19．解：

用当型用直到型

20．解析：

由91＝49×1＋42，得

42＝91－49×1．

因为余数42≠0，所以由辗转相除法，得

49＝42×1＋7，即7＝49－42×1；

42＝7×6，即0＝42－7×6．

所以，91和49的最大公约数等于7．

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