八下 平行四边形 专题练习及答案.docx

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八下平行四边形专题练习及答案

《平行四边形》专题练习

一．填空题

1．若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为　　．

2．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=5，∠ABC=60°，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点O作OE⊥AD，则OE=　　．

3．如图，在▱ABCD中，AD=6，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF=　　．

4．如图，将△ABC沿它的中位线MN折叠后，点A落在点A′处，若∠A=30°，∠B=115°，则∠A′NC=　　°．

5．如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为R的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积为　　（结果保留π）

6．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=30°，那么∠1+∠2=　　°．

7．已知：

如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，CF平分∠BCD交AD于F，若AB=3，BC=5，则EF=　　．

8．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交边CD于点E，AB=5cm，BC=3cm，则EC=　　cm．

9．如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t=　　s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．

10．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=220°，则∠P=　　°．

11．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=　　．

12．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：

（1）∠DCF+

∠D=90°；

（2）∠AEF+∠ECF=90°；（3）S△BEC=2S△CEF；（4）若∠B=80°，则∠AEF=50°．

其中一定成立的是　　（把所有正确结论的序号都填在横线上）

13．如图，▱ABCD的对角线相交于O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则▱ABCD的周长为　　．

14．如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=3，则AB的长是　　．

15．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为　　．

16．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD=　　．

17．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是　　．

18．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是　　．

二．解答题

19．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．

（1）求证：

△ABE≌△FCE；

（2）过点D作DG⊥AE于点G，H为DG的中点．判断CH与DG的位置关系，并说明理由．

20．在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．

（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：

EG=AG+BG；

（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．

21．如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H．

（1）求证：

△BEF≌△CEH；

（2）求DE的长．

22．如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=

BC，连接DE，CF．

（1）求证：

DE=CF；

（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．

23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，BC=9cm．M是CD的中点，P是BC边上的一动点（P与B，C不重合），连接PM并延长交AD的延长线于Q．

（1）试说明△PCM≌△QDM．

（2）当点P在点B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？

并说明理由．

24．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．

（1）求证：

四边形ABDE是平行四边形；

（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．

25．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，AB=BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．

（1）求证：

四边形DBFC是平行四边形；

（2）如果BC平分∠DBF，∠F=45°，BD=2，求AC的长．

26．如图，在▱ABCD中，DE是∠ADC的平分线，交BC于点E．

（1）试说明CD=CE；

（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．

27．已知：

如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB=1，BC=

．

（1）求平行四边形ABCD的面积S□ABCD；

（2）求对角线BD的长．

28．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t，求：

（1）当t为何值时，PQ∥CD？

（2）当t为何值时，PQ=CD？

29．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B﹦90°，AB﹦8cm，AD﹦24cm，BC﹦26cm，点p从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为ts．

（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？

（2）t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？

（等腰梯形的两腰相等，两底角相等）

30．如图所示，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O任作一条直线分别交AB、CD于点E、F．

（1）求证：

OE=OF；

（2）若AB=7，BC=5，OE=2，求四边形BCFE的周长．

参考答案与试题解析

一．填空题

1．（2017•无锡一模）若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为　6　．

【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，外角和等于360°列出方程求解即可．

【解答】解：

设多边形的边数是n，

根据题意得，（n﹣2）•180°﹣360°=360°，

解得n=6．

故答案为：

6．

【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键．

2．（2017•新城区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=5，∠ABC=60°，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点O作OE⊥AD，则OE=　

　．

【分析】作CF⊥AD于F，由平行四边形的性质得出∠ADC=∠ABC=60°，CD=AB=4，OA=OC，求出∠DCF=30°，由直角三角形的性质得出DF=

CD=2，求出CF=

DF=2

，证出OE是△ACF的中位线，由三角形中位线定理得出OE的长即可．

【解答】解：

作CF⊥AD于F，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ADC=∠ABC=60°，CD=AB=4，OA=OC，

∴∠DCF=30°，

∴DF=

CD=2，

∴CF=

DF=2

，

∵CF⊥AD，OE⊥AD，CF∥OE，

∵OA=OC，

∴OE是△ACF的中位线，

∴OE=

CF=

；

故答案为：

．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证出OE是三角形的中位线是解决问题的关键．

3．（2017春•徐州期中）如图，在▱ABCD中，AD=6，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF=　3　．

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC=AD=8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD=6，

∵点E、F分别是BD、CD的中点，

∴EF=

BC=

×6=3．

故答案为：

3．

【点评】此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

4．（2017春•宜兴市期中）如图，将△ABC沿它的中位线MN折叠后，点A落在点A′处，若∠A=30°，∠B=115°，则∠A′NC=　110　°．

【分析】先利用内角和定理求∠C，根据三角形的中位线定理可知MN∥BC，由平行线的性质可求∠A′NM、∠CNM，再利用角的和差关系求∠A′NC．

【解答】解：

∵∠A=30°，∠B=115°，

∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣30°﹣115°=35°，

∵MN是三角形的中位线，

∴MN∥BC，

∴∠A′NM=∠C=35°，∠CNM=180°﹣∠C=180°﹣35°=145°，

∴∠A′NC=∠CNM﹣∠A′NM=145°﹣35°=110°．

故答案为：

110．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．

5．（2017春•宜兴市期中）如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为R的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积为　2πR2　（结果保留π）

【分析】根据多边形的内角和定理计算出六边形的内角和为720°，再根据扇形的面积公式计算即可．

【解答】解：

∵六个扇形的圆心角的和=（4﹣2）×180°=720°，

∴S阴影部分=

=2πR2．

故答案为：

2πR2．

【点评】此题主要考查了本题考查了多边形的内角和定理和扇形的面积公式，牢记公式是解答本题的关键．

6．（2017春•工业园区期中）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=30°，那么∠1+∠2=　72　°．

【分析】分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可．

【解答】解：

如图

，

∵∠3=30°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，

∴∠4=180°﹣60°﹣30°=90°，

∴∠5+∠6=180°﹣80°=90°，

∴∠5=180°﹣∠2﹣108°①，

∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1②，

∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=90°，

即∠1+∠2=72°．

故答案为：

72．

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．

7．（2017春•邗江区期中）已知：

如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，CF平分∠BCD交AD于F，若AB=3，BC=5，则EF=　1　．

【分析】先证明AB=AE=3，DC=DF=3，再根据EF=AE+DF﹣AD即可计算．

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD=3，BC=AD=5，AD∥BC，

∵BE平分∠ABC交AD于E，CF平分∠BCD交AD于F，

∴∠ABF=∠CBE=∠AEB，∠BCF=∠DCF=∠CFD，

∴AB=AE=3，DC=DF=3，

∴EF=AE+DF﹣AD=3+3﹣5=1．

故答案为1．

【点评】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于常见题，中考常考题型．

8．（2017春•东台市期中）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交边CD于点E，AB=5cm，BC=3cm，则EC=　2　cm．

【分析】直接利用角平分线的性质结合平行四边形的性质得出∠DAE=∠DEA，进而得出答案．

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC=5cm，BC=AD=3cm，AB∥DC，

∴∠BAE=∠DEA，

∵∠BAD的平分线AE交边CD于点E，

∴∠DAE=∠BAE，

∴∠DAE=∠DEA，

∴AD=DE=3cm，

∴EC=DC﹣DE=5﹣3=2（cm）．

故答案为：

2．

【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及平行四边形的性质，正确得出∠ADE=∠DEA是解题关键．

9．（2017春•柯桥区校级期中）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t=　2或6　s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．

【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．

【解答】解：

①当点F在C的左侧时，根据题意得：

AE=tcm，BF=2tcm，

则CF=BC﹣BF=6﹣2t（cm），

∵AG∥BC，

∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，

即t=6﹣2t，

解得：

t=2；

②当点F在C的右侧时，根据题意得：

AE=tcm，BF=2tcm，

则CF=BF﹣BC=2t﹣6（cm），

∵AG∥BC，

∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，

即t=2t﹣6，

解得：

t=6；

综上可得：

当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．

故答案为：

2或6．

【点评】此题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．

10．（2017春•泰兴市校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=220°，则∠P=　20　°．

【分析】利用四边形内角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC=140°．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得∠PAB+∠ABP=

∠DAB+∠ABC+

（180°﹣∠ABC）=90°+

（∠DAB+∠ABC）=160°，所以根据△ABP的内角和定理求得∠P的度数即可．

【解答】解：

如图，∵∠D+∠C=220°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D=360°，

∴∠DAB+∠ABC=140°．

又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，

∴∠PAB+∠ABP=

∠DAB+∠ABC+

（180°﹣∠ABC）=90°+

（∠DAB+∠ABC）=160°，

∴∠P=180°﹣（∠PAB+∠ABP）=20°．

故答案是：

20．

【点评】本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角．熟知“四边形的内角和是360°”是解题的关键．

11．（2017春•高港区校级月考）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=　540°　．

【分析】根据三角形的内角和与四边形的内角和公式得∠3+∠4+8=180°①，∠6+∠7+∠10+∠11=360°②，∠1+∠2+∠5+∠9=360°③，三式相加，再由邻补角的性质即可得出答案．

【解答】解：

如图，

∵∠3+∠4+8=180°①，

∠6+∠7+∠10+∠11=360°②，

∠1+∠2+∠5+∠9=360°③，

∴①+②+③得，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠9+∠10+∠11+∠12=900°，

∵∠8+∠10=180°，∠9+∠11=180°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7

=900°﹣180°﹣180°

=540°．

故答案为：

540°．

【点评】本题考查了多边形的内角和定理以及三角形外角的性质，是基础知识要熟练掌握．

12．（2017春•建湖县校级月考）如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：

（1）∠DCF+

∠D=90°；

（2）∠AEF+∠ECF=90°；（3）S△BEC=2S△CEF；（4）若∠B=80°，则∠AEF=50°．

其中一定成立的是　

（1）

（2）（4）　（把所有正确结论的序号都填在横线上）

【分析】由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出

（1）正确；

由ASA证明△AEF≌△DMF，得出EF=MF，∠AEF=∠M，由直角三角形斜边上的中线性质得出CF=

EM=EF，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠ECF，得出

（2）正确；

证出S△EFC=S△CFM，由MC＞BE，得出S△BEC＜2S△EFC，得出（3）错误；

由平行线的性质和互余两角的关系得出（4）正确；即可得出结论．

【解答】解：

（1）∵F是AD的中点，

∴AF=FD，

∵在▱ABCD中，AD=2AB，

∴AF=FD=CD，

∴∠DFC=∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠DFC=∠FCB，∠BCD+∠D=180°，

∴∠DCF=∠BCF，

∴∠DCF=

∠BCD，

∴∠DCF+

∠D=90°，

故

（1）正确；

（2）延长EF，交CD延长线于M，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠A=∠MDF，

∵F为AD中点，

∴AF=FD，

在△AEF和△DFM中，

，

∴△AEF≌△DMF（ASA），

∴EF=MF，∠AEF=∠M，

∵CE⊥AB，

∴∠AEC=90°，

∴∠AEC=∠ECD=90°，

∵FM=EF，

∴CF=

EM=EF，

∴∠FEC=∠ECF，

∴∠AEF+∠ECF=∠AEF+∠FEC=∠AEC=90°，

故

（2）正确；

（3）∵EF=FM，

∴S△EFC=S△CFM，

∵MC＞BE，

∴S△BEC＜2S△EFC

故（3）错误；

（4）∵∠B=80°，

∴∠BCE=90°﹣80°=10°，

∵AB∥CD，

∴∠BCD=180°﹣80°=100°，

∴∠BCF=

∠BCD=50°，

∴∠FEC=∠ECF=50°﹣10°=40°，

∴∠AEF=90°﹣40°=50°，

故（4）正确．

故答案为：

（1）

（2）（4）．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明△AEF≌△DMF是解题关键．

13．（2017春•泉山区校级月考）如图，▱ABCD的对角线相交于O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则▱ABCD的周长为　20　．

【分析】由平行四边形的性质得出AB=CD，BC=AD，OB=OD，再根据线段垂直平分线的性质得出BE=DE，由△CDE的周长得出BC+CD=6cm，即可求出平行四边形ABCD的周长．

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，BC=AD，OB=OD，

∵OE⊥BD，

∴BE=DE，

∵△CDE的周长为10，

∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10，

∴平行四边形ABCD的周长=2（BC+CD）=20；

故答案为：

20．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形、平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

14．（2016秋•海宁市校级月考）如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=3，则AB的长是　

　．

【分析】根据直角三角形性质求出CE长，利用勾股定理即可求出AB的长．

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，AB=CD，

∵AE∥BD，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AB=DE=CD，

即D为CE中点，

∵EF⊥BC，

∴∠EFC=90°，

∵AB∥CD，

∴∠DCF=∠ABC=60°，

∴∠CEF=30°，

∵EF=3，

∴CE=

=2

，

∴AB=

，

故答案为：

．

【点评】本题考查了平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强．

15．（2016•武汉）如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为　36°　．

【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：

∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，与三角形内角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大小．

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠D=∠B=52°，

由折叠的性质得：

∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，

∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°﹣∠EAD′﹣∠D′=108°，

∴∠FED′=108°﹣72°=36°；

故答案为：

36°．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键．

16．（2016•常德）如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD=　55°　．

【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD，得出∠D1AD=∠BAE=55°即可．

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD=∠C，

由折叠的性质得：

∠D1AE=∠C，

∴∠D1AE=∠BAD，

∴∠D1AD=∠BAE=55°；

故答案为：

55°．

【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质；由平行四边形和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD是解决问题的关键．

17．（2016•东营）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是　4　．

【分析】首先证明BC∥AE，当DE⊥BC时，DE最短，只要证明四边形ABDE是矩形即可解决问题．

【解答】解：

∵四边形ADCE是平行四边形，

∴BC∥AE，

∴当DE⊥BC时，DE最短，

此时∵∠B=90°，

∴AB⊥BC，

∴DE∥AB，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∵∠B=90°，

∴四边形ABDE是矩形，

∴DE=AB=4，

∴DE的最小值为4．

故答案为4．

【点评】本题考查平行四边形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是找到DE的位置，学会利用垂线段最短解决问题，属于中考常考题型．

18．（2016•镇