1920版 第3章 331 二元一次不等式组与平面区域.docx

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1920版第3章331二元一次不等式组与平面区域

3.3　二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

3.3.1　二元一次不等式（组）与平面区域

学习目标

核心素养

1.会从实际情景中抽象出二元一次不等式（组）.

2.理解二元一次不等式（组）的几何意义.

3.会画二元一次不等式（组）表示的平面区域（重点、难点）．

通过二元一次不等式（组）表示的平面区域及其应用的学习，培养直观想象素养.

1．二元一次不等式的概念

我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式．

2．二元一次不等式组的概念

我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组．

思考：

点（2，1）是否是不等式3x－2y＋1>0的解？

[提示]　是．把（2，1）代入，不等式成立．

3．二元一次不等式（组）的解集概念

满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成一个有序数对（x，y），称为二元一次不等式（组）的一个解，所有这样的有序数对（x，y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集．

思考：

把二元一次不等式的解看作有序数对，它与平面内的点之间有什么关系？

[提示]　一一对应．

4．二元一次不等式表示的平面区域及确定

（1）直线l：

ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：

①直线l上的点（x，y）的坐标满足ax＋by＋c＝0．

②直线l一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足ax＋by＋c>0，另一侧平面区域内的点（x，y）的坐标满足ax＋by＋c<0．

（2）在直角坐标平面内，把直线l：

ax＋by＋c＝0画成实线，表示平面区域包括这一边界直线；画成虚线表示平面区域不包括这一边界直线．

（3）①对于直线ax＋by＋c＝0同一侧的所有点，把它的坐标（x，y）代入ax＋by＋c所得的符号都相同．

②在直线ax＋by＋c＝0的一侧取某个特殊点（x0，y0），由ax0＋by0＋c<0的符号可以断定ax＋by＋c>0表示的是直线ax＋by＋c＝0哪一侧的平面区域．

5．二元一次不等式组表示的平面区域

二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分．

思考：

y≥ax＋b所表示的平面区域与y>ax＋b表示的平面区域有什么不同？

如何体现这种区别？

[提示]　前者表示的平面区域含有该直线上的点，后者表示的平面区域不含该直线上的点．画图时用实线表示前者，用虚线表示后者．

1．以下不等式所表示的平面区域中包含原点的是（　　）

A．x－y＋1＜0　B．2x＋3y－6＞0

C．2x＋5y－10≥0D．4x－3y≤12

D　[将点（0，0）代入不等式验证即可．]

2．直线x＋2y－1＝0右上方的平面区域可用不等式________表示．

x＋2y－1>0　[用右上方特殊点（1，1）代入x＋2y－1得结果为2>0.所以所求为x＋2y－1>0.]

3．不等式组

所表示的平面区域的面积是________．

10　[画出不等式组表示的平面区域（图略），它是一个底边长为5，高为4的三角形区域，其面积S＝

×5×4＝10.]

4．已知点A（1，0），B（－2，m），若A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，则m的取值集合是________．

　[因为A，B两点在直线x＋2y＋3＝0的同侧，所以把点A（1，0），B（－2，m）代入可得x＋2y＋3的符号相同，即（1＋2×0＋3）（－2＋2m＋3）>0，解得m>－

.]

二元一次不等式表示的平面区域

【例1】　

（1）画出不等式3x＋2y＋6＞0表示的区域；

（2）写出如图表示平面区域的二元一次不等式：

[解]　

（1）如图：

第一步：

画出直线3x＋2y＋6＝0（注意应画成虚线），

第二步：

直线不过原点，把原点坐标（0，0）代入3x＋2y＋6得6＞0，∴不等式表示的区域为原点所在的一侧．

（2）①x＋y－1≤0；②x－2y＋2＜0；

③x＋y≥0.

二元一次不等式表示平面区域的判定方法

第一步：

直线定界．画出直线ax＋by＋c＝0，不等式为ax＋by＋c＞0（＜0）时直线画虚线，不等式为ax＋by＋c≥0（≤0）时画成实线；

第二步：

特殊点定域．在平面内取一个特殊点，当c≠0时，常取原点（0，0）．若原点（0，0）满足不等式，则原点所在的一侧即为不等式表示的平面区域；若原点不满足不等式，则原点不在的一侧即为不等式表示的平面区域．当c＝0时，可取（1，0）或（0，1）作为测试点．

简记为：

直线定界，特殊点定域．

1．画下列不等式表示的平面区域：

（1）2x＋y－10<0；

（2）y≥－2x＋3.

[解]　

（1）先画出直线2x＋y－10＝0（画成虚线）．

取原点（0，0），代入2x＋y－10＝2×0＋0－10<0，

∴原点在2x＋y－10<0表示的平面区域内，

不等式2x＋y－10<0表示的平面区域如图所示．

（2）先画出直线2x＋y－3＝0（画成实线）．

取原点（0，0），代入2x＋y－3＝2×0＋0－3<0，

∴原点不在2x＋y－3≥0表示的平面区域内，

不等式y≥－2x＋3所表示的平面区域如图所示．

二元一次不等式组表示的平面区域

【例2】　画出不等式组

表示的平面区域．

思路探究：

①你能作出各不等式对应的直线吗？

②如何确定各不等式表示的区域？

③各线是实线还是虚线？

[解]　不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0及其右下方的点的集合；x＋y≤0表示直线x＋y＝0及其左下方的点的集合；y≥－3表示直线y＝－3及其上方的点的集合．不等式组表示的平面区域即为下图所示的三角形区域：

1．二元一次不等式组表示的平面区域是由每个不等式所表示的平面区域来确定的，是它们所表示平面区域的交集．

2．画平面区域的步骤

（1）画线——画出不等式对应的方程所表示的直线；

（2）定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律，确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧；

（3）求“交”——如果平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各个不等式所表示的区域后，再求这些区域的公共部分，这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域．

2．画出不等式（x－y＋1）（x＋y－2）≥0表示的平面区域．

[解]　原不等式等价于

或

平面区域如图．

二元一次不等式（组）表示平面区域的应用

[探究问题]

1．若点P（1，2），Q（1，1）在直线x－3y＋m＝0的同侧，如何求m的取值范围？

[提示]　直线x－3y＋m＝0将坐标平面内的点分成三类：

在直线x－3y＋m＝0上的点和在直线x－3y＋m＝0两侧的点，而在直线x－3y＋m＝0同侧点的坐标，使x－3y＋m的值同号，异侧点的坐标使x－3y＋m的值异号．

故有（1－3×2＋m）（1－3×1＋m）>0，即（m－5）（m－2）>0，

所以m>5或m<2.

2．不等式组

表示的区域是什么图形，你能求出它的面积吗？

该图形若是不规则图形，如何求其面积？

[提示]　不等式组表示的平面区域如图阴影部分△ABC，该三角形的面积为S△ABC＝

×6×3＝9.若该图形不是规则的图形．我们可以采取“割补”的方法，将平面区域分为几个规则图形求解．

3．点（0，0），（1，0），（2，1），（3，4）在不等式组

表示的平面区域内吗？

该平面区域内有多少个纵、横坐标均为整数的点？

[提示]　若所给点在不等式组所表示的平面区域内，则该点的坐标一定适合不等式组，否则，该点不在这个不等组表示的平面区域内．经代入检验可知，在（0，0），（1，0），（2，1），（3，4）中只有点（2，1）在不等式组表示的平面内．在寻求平面区域内整数点时，可根据不等式组表示的平面区域（探究2提示中的图形）边界的顶点，先给其中的一个未知数赋值，如x＝1，则不等式组可化为

显然该不等式组无解；再令x＝2，则原不等式组化为

则0

表示的平面区域内，共有4个整点．当然，也可在作图时，利用打网格线的方法寻求．

【例3】　已知不等式组

（1）画出不等式组表示的平面区域；

（2）求不等式组所表示的平面区域的面积；

（3）求不等式组所表示的平面区域内的整点坐标．

思路探究：

（1）怎样画出不等式组表示的平面区域？

（2）该平面区域是什么图形？

如何求其面积？

（3）整点是什么样的点？

怎样求其坐标？

[解]　

（1）不等式4x＋3y≤12表示直线4x＋3y＝12上及其左下方的点的集合；x>0表示直线x＝0右方的所有点的集合；y>0表示直线y＝0上方的所有点的集合，故不等式组表示的平面区域如图

（1）所示．

（1）　　　　　　　　

（2）

（2）如图

（1）所示，不等式组表示的平面区域为直角三角形，其面积S＝

×4×3＝6.

（3）当x＝1时，代入4x＋3y≤12，得y≤

，

∴整点为（1，2），（1，1）．

当x＝2时，代入4x＋3y≤12，得y≤

，

∴整点为（2，1）．

∴区域内整点共有3个，其坐标分别为（1，1），（1，2），（2，1）．如图

（2）．

1．（变条件）若将例题中的条件“

”变为“

”求所表示区域的面积．

[解]　如图所示，其中的阴影部分便是不等式组所表示的平面区域．

由

得A（1，3）．同理得B（－1，1），C（3，－1）．

∴|AC|＝

＝2

，而点B到直线2x＋y－5＝0的距离为d＝

＝

，∴S△ABC＝

|AC|·d＝

×2

×

＝6.

2．若将例题中的条件“

”变为“

”求所表示的平面区域的面积．

[解]　可将原不等式组分解成如下两个不等式组：

①

或②

上述两个不等式组所表示的平面区域如图所示，所围成的面积S＝

×4×2－

×2×1＝3.

1．在应用平面区域时，准确画出不等式组表示的平面区域是解题的关键．

2．画出不等式表示的平面区域后，常常要求区域面积或区域内整点的坐标．

（1）求区域面积时，要先确定好平面区域的形状，注意与坐标轴垂直的直线及区域端点的坐标，这样易求底与高．必要时分割区域为特殊图形．

（2）整点是横纵坐标都是整数的点，求整点坐标时要注意虚线上的点和靠近直线的点，以免出现错误．

1．对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C＞0（或＜0），无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B＞0时，

（1）Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的区域；

（2）Ax＋By＋C＜0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域．

2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．

1．判断正误

（1）由于不等式2x－1>0不是二元一次不等式，故不能表示平面的某一区域．（　　）

（2）点（1，2）不在不等式2x＋y－1>0表示的平面区域内．（　　）

（3）不等式Ax＋By＋C>0与Ax＋By＋C≥0表示的平面区域是相同的．（　　）

（4）二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不等式．（　　）

（5）二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域．（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×　（5）×　

[提示]　

（1）错误．不等式2x－1>0不是二元一次不等式，表示的区域是直线x＝

的右侧（不包括边界）．

（2）错误．把点（1，2）代入2x＋y－1，得2x＋y－1＝3>0，所以点（1，2）在不等式2x＋y－1>0表示的平面区域内．

（3）错误．不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域不包括边界，而不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，所以两个不等式表示的平面区域是不相同的．

（4）错误．在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式，如

也称为二元一次不等式组．

（5）错误．二元一次不等式组表示的平面区域是每个不等式所表示的平面区域的公共部分，但不一定是封闭区域．

2．点（－2，t）在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是________．

　[因为直线2x－3y＋6＝0的上方区域可以用不等式2x－3y＋6<0表示，所以由点（－2，t）在直线2x－3y＋6＝0的上方得－4－3t＋6<0，解得t>

.]

3．平面直角坐标系中，不等式组

表示的平面区域的形状是________．

等腰直角三角形　[画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，

由图易知平面区域为等腰直角三角形．]

4．画出不等式组

表示的平面区域．

[解]　不等式x>0表示直线x＝0（y轴）右侧的点的集合（不含边界）．

不等式y>0表示直线y＝0（x轴）上方的点的集合（不含边界）．

不等式x＋y－3<0表示直线x＋y－3＝0左下方的点的集合（不含边界）．所以原不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．

课时分层作业（二十）　二元一次不等式（组）与平面区域

（建议用时：

60分钟）

[基础达标练]

一、选择题

1．已知点P1（0，1），P2（2，1），P3（－1，2），P4（3，3），则在4x－5y＋1≤0表示的平面区域内的点的个数是（　　）

A．1B．2　　　C．3　　　D．4

C　[经验证，P1，P3，P4均在区域内．]

2．原点（0，0）和点（1，1）在直线x＋y＝a的两侧，则a的取值范围是（　　）

A．a<0或a>2B．0

C．a＝2或a＝0D．0≤a≤2

B　[直线方程为x＋y－a＝0，因为（0，0）和（1，1）在直线两侧，则（0＋0－a）（1＋1－a）<0，∴a（a－2）<0，∴0

3．已知点（a，2a－1），既在直线y＝3x－6的上方，又在y轴的右侧，则a的取值范围是（　　）

A．（2，＋∞）B．（－∞，5）

C．（0，2）D．（0，5）

D　[由题可得

⇒0

4．不等式组

所表示的平面区域的面积等于（　　）

A．

B．

C．

D．

C　[不等式组表示的平面区域如图所示．

交点A

，B（0，4），C（1，1），

∴S△ABC＝

×

×1＝

.]

5．若不等式组

表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范围是（　　）

A．a≥

B．0

C．1≤a≤

D．0

D　[

先画出不含参数的不等式表示的平面区域，如图所示，要使不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，需使直线x＋y＝a在点A（1，0）的下方或在点B

的上方．当直线x＋y＝a过点A时，a＝1.当直线x＋y＝a过点B时，a＝

.又因为直线x＋y＝a必在原点O的上方，所以0

.]

二、填空题

6．表示如图阴影部分所示平面区域的不等式组是________．

　[由所给的图形容易知道，点（3，1）在相应的平面区域内，将点（3，1）的坐标分别代入3x＋2y－6、2x－3y－6、2x＋3y－12中，分别使得3x＋2y－6>0、2x－3y－6<0、2x＋3y－12<0，再注意到包括各边界，故图中阴影部分所示平面区域的不等式组是

]

7．已知x，y为非负整数，则满足x＋y≤2的点（x，y）共有________个．

6　[由题意点（x，y）的坐标应满足

由图可知

整数点有（0，0），（1，0），（2，0），（0，1），（0，2），（1，1），共6个．]

8．若不等式组

表示的平面区域为Ω，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y－a＝0扫过Ω中的那部分区域的面积为________．

　[

如图所示，Ω为△BOE所表示的区域，而动直线x＋y＝a扫过Ω中的那部分区域为四边形BOCD，而B（－2，0），O（0，0），C（0，1），D

，E（0，2），△CDE为直角三角形，

∴S四边形BOCD＝S△BOE－S△CDE＝

×2×2－

×1×

＝

.]

三、解答题

9．一名刚参加工作的大学生为自己制定的每月用餐费的最低标准是240元，又知其他费用最少需支出180元，而每月可用来支配的资金为500元，这名新员工可以如何使用这些钱？

请用不等式（组）表示出来，并画出对应的平面区域．

[解]　不妨设用餐费为x元，其他费用为y元，由题意知x不小于240，y不小于180，x与y的和不超过500，用不等式组表示就是

对应的平面区域如图阴影部分所示．

10．画出不等式（x＋2y＋1）（x－y＋4）＜0表示的平面区域．

[解]　（x＋2y＋1）（x－y＋4）＜0，

等价于

①

或

②

则所求区域是①和②表示区域的并集．

不等式x＋2y＋1＞0表示直线x＋2y＋1＝0右上方的点的集合，

不等式x－y＋4＜0表示直线x－y＋4＝0左上方的点的集合．

所以所求不等式表示区域如图所示．

[能力提升练]

1．设x，y满足约束条件

则z＝x－y的取值范围是（　　）

A．[－3，0]B．[－3，2]

C．[0，2]D．[0，3]

B　[画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

由题意可知，当直线y＝x－z过点A（2，0）时，z取得最大值，即zmax＝2－0＝2；当直线y＝x－z过点B（0，3）时，z取得最小值，即zmin＝0－3＝－3.

所以z＝x－y的取值范围是[－3，2]．故选B.]

2．若不等式组

表示的平面区域为三角形，且其面积等于

，则m的值为（　　）

A．－3B．1

C．

D．3

B　[作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A（2，0），B（1－m，1＋m），C

，D（－2m，0）．

S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝

|AD|·|yB－yC|＝

（2＋2m）

＝（1＋m）

＝

，解得m＝1或m＝－3（舍去）．

]

3．不等式组

表示的平面区域的面积为________．　

4　[画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，

易得B（2，0），C（0，2），D（4，0）．

由

得A（8，－2）．

所以S△ABC＝S△CBD＋S△ABD＝

×2×2＋

×2×2＝4.]

4．已知D是由不等式组

所确定的平面区域，则圆x2＋y2＝4在区域D内的弧长为________．

　[作出区域D及圆x2＋y2＝4如图所示，

图中阴影部分所在圆心角θ＝α＋β所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别为

，－

即tanα＝

，tanβ＝

，tanθ＝tan（α＋β）＝

＝1，

所以θ＝

，故弧长l＝θ·R＝

×2＝

.]

5．设不等式组

表示的平面区域是Q.

（1）求Q的面积S；

（2）若点M（t，1）在平面区域Q内，求整数t的取值集合．

[解]　

（1）作出平面区域Q，它是一个等腰直角三角形（如图所示）．

由

解得A（4，－4），

由

解得B（4，12），

由

解得C（－4，4）．

于是可得|AB|＝16，AB边上的高d＝8.

∴S＝

×16×8＝64.

（2）由已知得

即

亦即

得t＝－1，0，1，2，3，4.

故整数t的取值集合是{－1，0，1，2，3，4}．