七年级数学上册复习第3章一元一次方程知识点总结及精选题解析.docx

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七年级数学上册复习第3章一元一次方程知识点总结及精选题解析

2018-2019学年七年级数学上册期末复习

第3章【一元一次方程】知识点总结及精选题解析

一、等式与方程

1．等式：

（1）定义：

含有等号的式子叫做等式．

（2）性质：

①等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式的值不变．

若

那么

②等式两边同时乘以一个数或除以同一个不为0的整式，等式的值不变．

若

那么有

或

（

）

③对称性：

若

，则

．

④传递性：

若

，

则

．

（3）拓展：

①等式两边取相反数，结果仍相等．

如果

，那么

②等式两边不等于0时，两边取倒数，结果仍相等．

如果

，那么

③等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的性质．

如移项，运用了等式的性质①；去分母，运用了等式的性质②．

④运用等式的性质，涉及除法运算时，要注意转换后除数不能为0，否则无意义．

2．方程：

（1）定义：

含有未知数的等式叫做方程．

（2）说明：

①方程中一定有含一个或一个以上未知数，且方程是等式，两者缺一不可．

②未知数：

通常设x、y、z为未知数，也可以设别的字母，全部小写字母都可以．

未知数称为元，有几个未知数就叫几元方程．

一道题中设两个方程时，它们的未知数不能一样！

③“次”：

方程中次的概念和整式的“次”的概念相似．

指的是含有未知数的项中，未知数次数最高的项对应的次数，也就是方程的次数．

未知数次数最高是几就叫几次方程．

④方程有整式方程和分式方程．

整式方程：

方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程．

分式方程：

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

二、一元一次方程

1．一元一次方程的概念：

（1）定义：

只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．

（2）一般形式：

（a，b为常数，x为未知数，且

）．

（3）注意：

①该方程为整式方程．

②该方程有且只含有一个未知数．

③该方程中未知数的最高次数是1．

④化简后未知数的系数不为0．如：

，它不是一元一次方程．

⑤未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次．如

，它不是一元一次方程．

2．一元一次方程的解法：

（1）方程的解：

能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一般写作：

“

”的形式．

（2）解方程：

求出方程的解的过程，也可以说是求方程中未知数的值的过程，叫解方程．

（3）移项：

①定义：

从方程等号的一边移到等号另一边，这样的变形叫做移项．

②说明：

Ⅰ移项的标准：

看是否跨过等号，跨过“=”号才称为移项；移项一定改变符号，不移项的不变．

Ⅱ移项的依据：

移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质①．

Ⅲ移项的原则：

移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合并，右边对常数项合并，方便求解．

（4）解一元一次方程的一般步骤及根据：

①去分母——等式的性质②

②去括号——分配律

③移项——等式的性质①

④合并——合并同类项法则

⑤系数化为1——等式的性质②

⑥检验——把方程的解分别代入方程的左右边看求得的值是否相等（在草纸上）

（5）一般方法：

①去分母，程两边同时乘各分母的最小公倍数．

②去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号．

但顺序有时可依据情况而定使计算简便，本质就是根据乘法分配律．

③移项，方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号．（一般都是把未知数移到一起）

④合并同类项，合并的是系数，将原方程化为

（

）的形式．

⑤系数化1，两边都乘以未知数的系数的倒数．

⑥检验，用代入法，在草稿纸上算．

（6）注意：

（对于一元一次方程的一般步骤要熟练掌握，更要观察所求方程的形式、特点，灵活变化解题步骤）

①分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数，局部变形；

②去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，

Ⅰ此时不含分母的项切勿漏乘，即每一项都要乘

Ⅱ分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号（整体思想）；

③去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；

④移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；

⑤系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号（打草稿认真计算）；

⑥不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法；

⑦分数、小数运算时不能嫌麻烦，不要跳步，一步步仔细算．

（7）补充：

分数的基本性质：

与等式基本性质②不同．

分数的分子分母两个整体同时乘以同一个不为0的数或除以同一个不为0的数，分数的值不变．

3．一元一次方程的应用：

（1）解决实际应用题的策略：

①审题：

就是多读题，读懂题，读的时候一定沉下心去，不能慌不要急躁，要细，一个字一个字的精读，要慢，边读边思考．找到已知条件，未知条件，找到数量关系和等量关系，可以用笔在题目中标注下来重要信息和数量关系，审题往往伴随下个步骤．

②设出适当未知数，往往问什么设什么，有时也间接设未知数，然后用未知数通过关系表示出其他相关的量．

③找出等量关系，用符号语言表示就是列出方程．

（2）分析问题方法：

①文字关系分析法，找关键字词句分析实际问题中的数量关系

②表格分析法，借助表格分析分析实际问题中的数量关系

③示意图分析法，通过画图帮助分析实际问题中的数量关系

（3）设未知量方法：

一个应用题，往往涉及到几个未知量，为了利用一元一次方程来解应用题，我们总是设其中一个未知量为x，并用这个未知数的代数式去表示其他的未知量，然后列出方程．

①设未知量的原则就是设出的量要便于分析问题，与其它量关系多，好表示其它量，好表示等量关系；

②有直接设未知量和间接设未知量，还有不常见的辅助设未知量．

（4）找等量关系的方法：

“等量关系”特指数量间的相等关系，是数量关系中的一种．数学题目中常含有多种等量关系，如果要求用方程解答时，就需找出题中的等量关系．

①标关键词语，抓住关键句子确定等量关系．（比如多，少，倍，分，共）解题时只要找出这种关键语句，正确理解关键语句的含义，就能确定等量关系．

②紧扣基本公式，利用基本关系确定等量关系就是根据常见的数量关系确定等量关系．（比如体积公式，单价×数量

总价，单产量×数量＝总产量，速度×时间＝路程，工效×时间＝工作总量等．这些常见的基本数量关系，就是等量关系）

③通过问题中不变的量，相等的量确定等量关系．就是用不同的方法表示同一个量，从而建立等量关系．

④借助线段图确定等量关系。

线段图能使抽象的数量关系具体化，使隐蔽的数量关系明朗化．对于较复杂的题目，同学们可借助线段图找等量关系．

（5）列一元一次方程解应用题的基本步骤及注意点：

①“审”要沉着冷静，耐下心去，慢读细读多读，透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互关系．

②“设”设一个恰当的未知数，若有单位一定加单位，表示多项式加单位括号．

③“列”根据等量关系列出方程，即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位统一，用题目中的原数；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用，重复用一个条件会得到恒等式，解不出来．

④“解”解出方程，一定在草纸上一步步认真计算，先化简往往会简化计算．

⑤“验”检验两方面，一是解得是否正确，用代入法；二是是否符合实际情况．

⑥“答”写出答案，一定要答完整，有单位要加单位．

（6）解应用题关键与核心：

根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系（这是关键一步）．就是抓住问题中的有关数量的相等关系，列出方程．核心是设出适当未知量，根据关系表示出其它量，表示出等量关系中的各个部分，从而列出方程．

（7）实际问题的常见题目类型：

基本量、基本关系、等量关系：

①“和、差、倍、分类问题”：

弄清和谁比，比谁多，比谁少

增长量=原有量×增长率，现有量=原有量+增长量．

②“等积变形问题”：

锻造前的体积=锻造后的体积

长方体的体积=长×宽×高，圆柱的体积=底面积×高．

③“打折利润问题”：

利润是和成本比的

利润=售价-进价，利润率=

，售价=标价×折扣．

④“行程问题”：

（相遇问题和追及问题）

路程=时间×速度，时间=

，速度=

．

（注意单位：

路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米／秒、

、千米／小时）

⑤“销售问题”总价=单价×数量，总钱数=各部分钱数和．

⑥“利率（息）问题”本息和=本金+利息，利息=本金×利率×时间（期数）．

⑦“工程问题”工作总量=工作时间×工作效率，工作总量=各部分工作量的和．

⑧数字问题（包括日历中数字规律）⑨比例分配问题⑩调配问题

注意：

应用题分类只是帮助同学们理解记忆，切不可死记题型，生搬硬套，实际上法无定法，要多加练习，培养分析问题解决问题的能力，熟练掌握列方程解应用题的一般方法．

一元一次方程错题精选

一、选择题

今年“五一”当天，从早晨8：

00开始每小时进入云阳山景区的游客人数约为1000人，同时每小时走出景区的游客人数约为600人，已知云阳山上景区游客的饱和人数约为2000人，则据此可知“五一”当天该景区游客人数饱和的时间约为（）

A．10：

00B．12：

00C．13：

00D．16：

00

某

班级劳动时，将全班同学

分成x个小组，若每小组11人，则余下1人；若每小组12人，则有一组少4人.按下列哪个选项重新分组，能使每组人数相同？

（）

A．3组B．5组C．6组D．7组

某商场卖出两个进价不同的手机，都卖了1200元，其中一个盈利50%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商场（）

A．不赔不赚B．赔100元C．赚100元D．赚360元

某种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，则这种商品每件的进价为（）

A．240元B．250元C．280元D．300元

已知方程

与方程

的解相同，则

的值为（）

A．0B．2C．1D．-1

关于x的方程ax+3=4x+1的解为正整数,则整数a的值为（）

A．2B．3C．1或2D．2或3

方程|x+1|+|x-3|=4的整数解有（）

A．2个B．3个C．5个D．无穷多个

球队训练用的足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，其

中黑皮

可看作正五边形，白皮可看作正六边形，黑、白皮块的数目比为3∶5，要求出黑皮、白皮的块数，若设黑皮的块数为x，则列出的方程正确的是（）

A．3x=32－xB．3x=5（32－x）C．5x=3（32－x）D．6x=32－x

已知面包店的面包一个15元，小明去此店买面包，结账时店员告诉小明：

“如果你再多买一个面包就可以打九折，价钱会比现在便宜45元”，小明说：

“我买这些就好了，谢谢．”根据两人的对话，判断结账时小明买了多少个面包？

（）

A．38B．39C．40D．41

某市出租车起步价是5元（3公里及3公里以内为起步价），以后每公里收费是1.6元，不足1公里按1公里收费，小明乘出租车到达目的地时计价器显示

为11.4元，则此出租车行驶的路程可能为（）

A．5.5公里B．6.9公里C．7.5公里D．8.1公里

为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文⇒密文（加密），接收方由密文⇒明文（解密）．已知加密规则为：

明文a，b，c对应的密文a+1，2b+4，3c+9．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到密文7，18，15，则解密得到的明文为（）

A．4，5，6B．6，7，2C．2，6，7D．7，2，6

设一列数a1，a2，a3，…a2016中任意三个相邻数之和都是35,已知a3=2x,a20=15,a99=3-x,那么a2016=（）

A．2B．5C．15D．18

二、填空题

已知t满足方程

，则

的值为   .

已知关于x的方程kx=7－x有正整数解，则整数k的值为.

我们知道，无限循环小数都可以转化为分数.例如：

将

转化为分数时，可设

=x，则x=0.3+

x，解得x=

，即

=

.仿此方法，将

化成分数是　　.

有m辆校车及n个学生，若每辆校车乘坐40名学生，则还有10名学生不能上车；若每辆校车乘坐43名学生，则只有1名学生不能上车.现有下列四个方程：

①40m＋10=43m－1；②

；③

；④40m＋10=43m＋1.

其中正确的是（请填写相应的序号）

某超市举办促销活动，全场商品一律打八折，小强买了一件商品比标价少付了22元，那么他购买这件商品花了元．

如果关x的方程

与

的解相同，那么m的值是．

三、解答题:

解方程：

=

.解方程：

某商场在节日期间举行促销活动，规定：

（1）若所购商品标价不超过200元，则不给予优惠；

（2）若所购商品标价超过200元但不超过500元，则超过200元的部分给予9折优惠；

（3）若所购商品标价超过500元，其中500元内（含500元）的部分按第

（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠.某人来该商场购买一件家用电器共节省330元，则该件家电在商场标

价是多少元？

为了落实水资源管理制度，大力促进水资源节约，某地实行居民用水阶梯水价，收费标准如下表：

居民用水阶梯水价表单位：

元/立方米

分档

户每月分档用水量x（立方米）

水价

第一阶梯

0≤x≤15

5.00

第二阶梯

15＜x≤21

7.00

第三阶梯

x＞21

9.00

（1）小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为_______元；

（2）小明家6月份缴纳水费110元，在这个月，小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为_______立方米；

（3）随着夏天的到来，用水量将会有所增加，为了节省开支，小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水多少立方米？

某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费。

（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72

元，求a．

（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦时？

应交电费是多少元？

某大型超市元旦假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300时，按该次购物全额9折优惠；超过300元的其中300元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠.小美两次购物分别用了94.5元和282.8元，现小丽决定一次购买小美分两次购买的同样的物品，则小丽应该付款多少元？

一般情况下

不成立，但有些数可以使得它成立.例如：

m=n=0时，我们称使得

成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为（m，n）。

（1）若（m，1）是“相伴数对”，则m=；

（2）（m,n）是“相伴数对”,则代数式

的值为。

公园门票价格规定如下表：

某校初一

（1）、

（2）两个班共104人去游公园，其中

（1）班人数较少，不足50人．经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问：

①两班各有多少学生？

②如果初一

（1）班单独组织去游公园，作为组织

者的你将如何购票才最省钱？

参考答案

CDCACDCBBBBA

答案为：

2；  答案为：

0或6；答案为：

.答案为：

③④；答案为：

88；

答案为±2．答案为：

x=－3.4.

原方程可化为:

去分母,得40x+60=5（18－18x）－3（15－30x）,去括号得40x+60=90－90x－45+90x,移项,合并得40x=－15,系数化为1,得x=

解：

由题意知，若该家电大于200元但不超过500元，优惠的钱数为300-300×0.9=30元，因为该家电优惠330元，所以该家电一定超过500元，设该家电在商场的标价为x元，则优惠钱数为（300-300×0.9）+（x-500）×（1-0.8）=330.解得：

x=2000.所以，若某人来该商场购买一件家用电器共

节省330元，则该件

家电在商场标价为2000元.

解：

（1）由表格中数据可得：

0≤x≤15时，水价为：

5元/立方米，

故小明家5月份用水量为14立方米，在这个月，小明家需缴纳的水费为：

14×5=70（元）；

（2）∵15×5=75＜110，75+6×7=117＞110，∴小明家6月份使用水量超过15立方米但小于21立方米，

设小明家6月份使用水量为x立方米，∴75+（x﹣15）×7=110，解得：

x=20，

故小明家缴纳第二阶梯水价的用水量为：

20﹣15=5（立方米），故答案为：

5；

（3）设小明家能用水a立方米，根据题意可得：

117+（a﹣21）×9≤180，解得：

a≤28．

答：

小明家计划7月份的水费不超过180元，在这个月，小明家最多能用水28立方米．

解：

因为100×0.9=90＜94.5＜100，300×0.9=270＜282.8，

设小美第二次购物的原价为x元，则（x-300）×0.8+300×0.9=282.8

解得，x=316，所以有两种情况.

情况1：

小美第一次购物没有优惠，第二次购物原价超过300元，则小丽应付（316+94.5-300）×0.8+300×0.9=358.4（元），

情况2：

小美第一次购物原价超过100元，第二次购物原价超过300元；则第一次购物原价为：

94.5÷0.9=105（元），所以小丽应付（316+105

300）×0.8+300×0.9=366.8（元）.因此，小丽应该付款358.4元或366.8元.

（1）m=-

；

（2）-3；m=-

n，代入得-3；

解：

①设初一

（1）班有x人，则有13x+11（104-x）=1240，解得：

x=48．即初一

（1）班48人，初一

（2）班56人；

②解：

要想享受优惠，由

（1）可知初一

（1）班48人，只需多买3张，51×11=561，48×13=624＞561，∴48人买51人的票可以更省钱．