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代数与几何思想的相互渗透
摘要.........................................................................IABSTRACT....................................................................II
第一章绪论..................................................................1
1.1
1.2引言...............................................................1什么是代数与几何思想的相互渗透？
...................................2
第二章代数与几何思想的相互渗透的理解、应用..................................3
2.1对“数形结合”概念的理解............................................3
2.2利用“几何思想解决代数问题”的应用..................................3
2.2.1函数与图像的对应关系............................................3
2.2.3数形结合在函数问题中的应用......................................5
2.2.4“统计与概率”中的数形结合......................................6
2.3利用“代数解几何图形问题”的应用....................................7
2.3.1解析几何........................................................8
2.3.2“空间与图形”中的数形结合.....................................10
2.4合理应用，深化数学思想.............................................13
第三章结论.................................................................14参考文献....................................................................15致谢........................................................................16
代数与几何思想的相互渗透
学生：
许俊指导老师：
张斌儒
摘要数、形是数学中两大基本概念，可以说全部数学大体上都是围绕这两个基本概念的提炼、演变、发展而展开的。
数形结合是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起。
代数与几何思想的相互渗透是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
本文就以这两个方面为基础，通过解析初高中数学中出现的例题（包括“以形助数”中“函数与图像的对应关系”“方程中的应用”“函数中的应用”“统计与概率中的应用”的四个方面和“以数辅形”中“解析几何”“空间与图像中的应用”两个方面共计六个类型的例题）借此来阐述代数与几何思想的相互渗透。
最后，提出数与形是紧密联系、相辅相成，不可分割的。
而且数形结合的确是一个非常好，也非常实用而且重要的思想方法，应用性强。
通过本文让我们明白揭示问题的本质，用“数”准确澄清“形”的模糊，用“形”直观启迪“数”的运算，解题过程使形和数各展其长，相辅相成，达到完美的统一。
关键词：
数形结合；代数与几何；相互渗透
MUTUALPENETRATIONOFTHEALGEBRAICAND
GEOMETICTHINKING
Student:
XuJunInstructor:
ZhangBinru
ABSTRACTNumberandshapearethetwobasicconceptsinmathematics.Itcanbesaidthatallofmathematicsaregenerallysurroundingthetwofundamentalconceptsofrefiningevolution,developmentanddeployment.NumberandShapeisbasedonthemathematicalproblemoftheintrinsiclinkbetweenconditionsandconclusions,notonlyanalysisthemeaningofalgebra,andrevealthequantitativerelationshipbetweenthegeometricintuition,sothattheaccuratedepictionoftheformandspacevisualimagecleverly,harmoniouscombination.Algebraandgeometryofmutualpenetrationisamathematicalwayofthinking,including”throughtheshapetohelpsolvealgebraquestions”and”throughthealgebraictohelpsolvegeometryproblem”twoaspects.Inthispaper,takingthetwoaspectsasthebasis,throughtheanalysisofexamplesofhighschoolmathematics（Include"throughtheshapetosolvealgebraquestions"infouraspects:
"Functionandthecorrespondencebetweenimage”,“Equations”,“Function””StatisticsandProbability”and”throughthealgebraictohelpsolvegeometryproblem”intwoaspects:
”Analyticgeometry””Theapplicationinthespaceandimage”,Takethistoillustratethemutualpenetrationofthealgebraicandgeometricthinking.Putforwardthenumberandtheshapeiscloselyrelatedandmutuallyreinforcing,integral.AndNumberandShapeisindeedaverygood,verypracticalandimportantthoughtmethod,applicationofstrong.ButtheproblemsthatneedattentionintheNumberandShapeandhowtomastertheNumberandShapemethod.Letusunderstandthatrevealstheessenceoftheproblem,with"number"accuratetoclarifythe"shape"ofthefuzzy,with"shape"intuitiveenlightenment"number"operation,solvingprocesscausestheshapeandnumberofeachshowitslong,complementeachother,toachievetheperfectunity.Keywords:
NumberandShape,algebraandgeometry,themutualpenetration.
第一章绪论
1.1引言
“数”和“形”是数学中两个最基本的概念,它们既是对立的,又是统一的,每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状,大小,位置密切相关的数量关系;反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路;或者在研究图形时,利用代数的性质,解决几何的问题.实现抽象概念与具体形象的联系和转化,化难为易,化抽象为直观[1].
“数”与“形”是数学中两个最古老而又最基本的对象，数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学,数和形是数学研究的两个重要方面,在研究过程中,数形结合既是一个重要的数学思想,又是一种常用的数学方法。
正如华罗庚先生曾指出：
“数缺形时少直观，形少数时难入微。
数形结合百般好,隔裂分家万事休。
”，某些代数问题、三角问题，往往隐藏着丰富的几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些原本复杂的数量关系、抽象的概念，显得直观，从而实现顺利破解问题、化难为易、找到问题的解题思路。
而且，通过代数与几何思想的相互渗透，我们能够快捷的解决复杂多变的代数问题，也可以使抽象的图像问题转化为明显的代数，用数字符号来表示图像，用图像来化简数字符号。
这就是数形结合。
“数”与“形”是数学中两大基本概念，可以说全部数学大体上都是围绕这两个基本概念的提炼、演变、发展而展开的。
数形结合是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起。
数形结合是贯穿中小学数学教学始终的基本思想，同时在高等数学教学中它也有很大的益处。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：
或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质[2]。
1.2什么是代数与几何思想的相互渗透？
代数与几何思想的相互渗透:
数学是研究数与形的一门科学，人们把代数称为“数”而把几何称为“形”，数与形表面看是相互独立，其实在一定条件下它们可以相互转化，数量问题可以转化为图形问题，图形问题也可以转化为数量问题。
这也是我们常说的“数形结合”，其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。
这在初中新课程数学课本中被广泛运用。
在教学实践中，应特别注意将数形结合思想的培养与数学知识的教学融为一体，有意识地在教学过程中不断地渗透数形结合思想。
利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法。
而在代数与几何思想的相互渗透的方法中，有着下面的几种情况：
以形助数常用的有借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法以数助形常用的有借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合
在数学教学中，数形结合思想偏重于将某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，这样就有助于把握数学问题本质。
另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解且解法简洁。
数形结合的思想方法应用广泛，常见的如求函数的值域、最值问题，解方程及解不等式，或是求复数和三角函数方面。
运用数形结合思想，不仅容易直观地发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，很大程度上简化了解题过程，这在解选择、填空题时更显其优越。
因此，教师要帮助学生逐步树立起数形结合的观点，将这一观点扎根到学生的认知结构中去，成为运用自如的思维工具。
第二章代数与几何思想的相互渗透的理解、应用
2.1对“数形结合”概念的理解
中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是代数（即数），一部分是几何（即形），但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合，就是本文所讨论的代数与几何思想的相互渗透。
我国著名数学家华罗庚曾说过：
“数形结合百般好，隔裂分家万事非。
”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。
我们认为，形和数这两个基本概念,是数学的两块基石,在数学教学中，全部教学大体上都围绕着这两个概念的提炼、演变、发展而展开的,在数学教学发展的过程中,形和数常结合在一起,在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定条件下互相转化。
代数与几何思想的相互渗透就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
数形结合的思想，就是将复杂或抽象的数量关系与直观形象的图形在方法上相互渗透，并在一定条件下相互补充、转化的思想。
恩格斯曾说过：
“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，‘数’和‘形’是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形作出直观的反映和描述。
”数形结合的实质就是将抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数性质解决几何问题。
因此，数形结合思想应用分为两种情况：
一是借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数论形”，比如给出一个三角形三边为3、4、5，则我们要想到这个三角形是直角三角形；二是借助于形的几何直观性来表示数之间的某些关系，即“以形促数”，这样的例子数不胜数。
2.2利用“几何思想解决代数问题”的应用
2.2.1函数与图像的对应关系
函数与图像，是我们初2就开始接触的内容，包括了一元一次函数，一元二次函数，反函数，三角函数等等，以及其所对应的图像。
其考察的内容却是五花八门，让人眼花缭乱，应接不暇。
下面我们就来分析一道关于三角函数的例题。
例1、已知acosa+bsina=c，acosβ+bsinβ=c（ab≠0,α-β≠kπ,k∈Z求证
cos
2
α-β2
=
2
命题意图知识依托进而由A、B两点坐标特
点知其在单位圆上技巧与方法善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，
这样才能巧用数形结合方法完成解题
证明:
在平面直角坐标系中，点A（cosα,sina与点B（cosβ,sinβ是直线l:
ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图故AB
2
=（cosα-cosβ+（sinα-sinβ=2-2cos（α-β
22
又∵单位圆的圆心到直线l的距离d=
2
|c|a+b
2
2
由平面几何知识知OA即1-
2-2cos（α-β
4
=d
-（
12
AB
2
=d
2
2
=
c
2
2
2
a+b
故原命题：
cos
2
α-β2
=
c
2
2
2
a+b
可证
这是一个标准的将三角函数转化为函数的图像的例题，将复杂的函数关系式通过函数图像清晰的表现出来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数性质解决几何问题[3]。
2.2.2数形结合在方程中的应用
例2已知A（1,1为椭圆
x
2
9
+
y
2
5
=1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点
求PF1+PA的最大值和最小值命题意图这题主要考察方程在图形中的应用。
知识依托解决此题关键在于椭圆在直角坐标系中的图像，和位置关系的理解和应用。
技巧与方法椭圆图像的理解可以应用。
善于发现图像给出的信息，善于利用，分析几何
图形来解决方程。
解由
x
2
9
+
y
2
5
=1可知a=3,b=
5,c=2，左焦点F1（-2,0,右焦点F2（2,0由椭圆
定义，PF1=2a-PF2=6-PF2
∴PF1+PA=6-PF2+PA=6+PA-PF2
如图
2
2
由PA-PF2≤AF2=-
2≤PA-PF2≤
（2-1+
（0-1=2知
当P在AF2延长线上的P2处时，取右“=”号；
即PA-PF2的最大、最小值分别为2，-于是PA+PF1的最大值是6+此题可解。
2
2。
2，最小值是6-
这是我们圆一章中最常见的数形结合的例子，但是充分的表现了很多数学问题可以通过图形来简单的求解出来，比用单一的代数去求解简洁。
而且，节约了时间。
而且更加准确。
2.2.3数形结合在函数问题中的应用
函数对我们而言，是复杂的，是难以明了的代数符号，无论是一次函数，二次函数，是
其他的每次我们遇到了都会感觉头大，感觉一片茫然。
但是，函数问题却是我们中考，高考，甚至到了大学也不会不学的东西，那么，我们如何去学习它。
掌握它？
那就必须掌握数形结合。
那我们来讨论下面几个实例。
例3已知关于x的方程（x-4x+3值范围。
命题意图：
明显的方程问题，但是无法通过方程来求解这道题目，而是需要转化为函数求解
知识依托：
方程就是y值相同的函数的解。
技巧与方法将方程转化成函数，用图像表示函数，方程的解就是两个函数图像的焦点。
22
=px，有4个不同的实根,求实数p的取
分析:
设y=（x-4x+3=x2-4x+3与y=px这两个函数在同一坐标系内,画出这两个函数的图像,如图4。
可知：
22
图4
（1直线y=px与y=-（x2-4x+3,x∈[1,3]相切时原方程有3个根。
（2y=px与x轴重合时,原方程有两个解,故满足条件的直线y=px应介于这两者⎧y=-（x2-4x+3之间,由:
⎨得
y=px⎩
x2+（p-4x+3=0,再由△=0得,p=4±23,当p=4+23时,x=-3∉[1,3]舍去,所以实数p的取值范围是02.2.4“统计与概率”中的数形结合
数形结合，“形”并不能作为证明的依据，遇到证明题时，在几何直观分析的同时，还要进行代数抽象的探索，并用严谨的数学语言写出证明过程的理论依据，这样才算做好证明题。
应用数形结合时，“形”只是一种手段，一个工具，而不是理论依据。
不论是怎么样的题目，“形”只是我们思考问题的种方式，为解题提供一些帮助，但我们都要写出我们做这道题的理论依据，这样才会让人知道你不是直接从图像中看出来的或者是猜测得到的，这样才有说服力，有是有效的。
而且，统计学，是数形结合的另一大亮点。
用图像来表明统计的结果，用概率来说服图形给出的准确信息。
而统计概率更是数形结合的重点难点问题的表现。
今天我们在这里也通过一道例题来说明这些问题吧[4]。
例4、一布袋中方有黄、白两种球，其中一个黄球，两个白球，它们除颜色外其它都
一样，小亮从布袋中摸出一个球后放回去摇匀，再摸出一个球，求两次都摸到白球的概率。
命题意图：
简单的问题，求摸球的概率，但却为了简单而应用图形解决。
知识依托：
图形的直观性
技巧与方法利用图形的直观，形象解决问题，更简单快捷。
解：
由于数形结合具有形象直观、易于接受的优点，它对于沟通中知识间的联系，活跃课
堂气氛，开阔学生的思路，发展学生的潜能，提高学生的创造思维能力和开拓精神，使学生充分张扬个性，充分发挥潜能，真正实现个体的最优化发展都有很大帮助。
把方程不等式转化为函数,利用函数图像解决问题是数形结合的一种重要渠道。
也是代数思想转化为几何思想的实例表现。
黄白白
黄
白白
黄白白
2.3利用“代数解几何图形问题”的应用
上述都是将复杂的函数表达式转化为明显的数学图像进行简单的解答，清晰明了的解决函数复杂的公式代换，而且浅显易懂，更加节约了同学们的考试时间。
但是，在很多问题上，
我们更加需要用简单的数学符号表示复杂的图形，让其明确的表现在我们面前的是简单明了，准确的数字答案，而不是复杂的图形，毫无感觉的空间图像。
下面，我们将通过代数在解几何图形的实例应用中更加明确的展现出代数符号的无处不在和准确性。
2.3.1解析几何
说起代数解几何图形，不得不说的就是我们从高中就分离出来的一本书。
《几何》，现在的教材，早已经将几何与代数归纳在了一起，但是想起我们高中生活，就会想起当初的数学书有着《代数》，《几何》两本。
而《几何》在我们大学，给了更多的定义，而关于数形结合最多的书就是我们刚刚上大学就接触的《解析几何》。
而这本书中的很多内容都让我们看见了数学中代数和几何思想相互渗透的真谛。
那我们现在来用一道例题来分析解析几何中的数形结合。
例5
（1）：
如图,矩形ABCD，AD=α，DC=b,在AB上找一点E,使E点与C，D的连线将矩形分成的3个三角形相似。
设AE=x，问:
这样的E点是否存在,若存在,这样的点E有几个?
请说明理由。
命题意图：
将图形转化成三角函数关系进行细致的讲解。
知识依托：
图形的相似问题，判断一元二次方程根的存在问题。
技巧与方法图形的模糊需要数字符号的准确表达。
而图形和函数的联系在于三角函数，圆的方程，等来联系。
而点的存在问题将转化为方程解的存在问题。
解：
假设在AB上存在点E，使得3个三角形相似,所以∆ECD一定是直角三角形。
∴Rt∆ADE∽Rt∆CDE∽Rt∆CBE.
∵AD=a,DC=b,AE=x,
∴BE=b-x，
8
于是AD
BE=AE
BC,得a
b-x=x
a，即x-bx+a22=0
∴∆=b2-4a2=（b+2a（b-2a
∵（b+2a>0,b>0,a>0
∴①当（b-2a<0,即b<2a时,∆<0,方程无实数解,E点不存在；
②当（b-2a=0,即b=2a时,∆=0,方程有两个相等的正实数根,E点只有一个；
③当（b-2a>0,即b>2a时,∆>0,方程有两个不相等的正实数根,
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