奥数中的巧数图形讲义及习题修正版.docx

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奥数中的巧数图形讲义及习题修正版

数学竞赛中常遇到数图形问题。

这类问题一般都要先寻求规律，而后按照这个规律去数图形。

数图形时要有次序、有条理，才能不遗漏、不重复。

　　因此，一般步骤应是：

仔细观察、发现规律、应用规津。

运用规律常能使解法简便。

例1下面两根线段中各有多少条线段？

解

（1）由一条基本线段构成的线段有：

　　AB、BC、CD、DE，共4条；

　　由两条基本线段构成的线段有：

　　AC、BD、CE，共3条；

　　由三条基本线段构成的线段有：

　　AD、BE，共2条；

　　由四条基本线段构成的线段只有AE1条。

　　因此共有线段：

　　　　4+3+2+1

　　=（4+1）×4÷2

　　=10（条）

（2）可以采用

（1）同样的解法：

　　由一条基本线段组成的线段有6条，

　　由两条基本线段组成的线段有5条，

　　由三条基本线段组成的线段有4条，

　　由四条基本线段组成的线段有3条，

　　由五条基本线段组成的线段有2条，

　　由六条基本线段组成的线段有1条，

　　共有线段：

　　　6+5+4+3+2+1

　　=（6+1）×6÷2

　　=21（条）

答

（1）中有10条线段。

（2）中有21条线段。

　　这种先分类再排序的方法称为分类排序法。

这样排序，不易遗漏和重复。

　　由以上例子可以推知，如果线段上有五个点，就构成了四条基本线段，总线段数为四个连续自然数的和：

4+3+2+1。

如果有n个点，线段总数为（n-1）+（n-2）+…+3+2+1=n×（n-1）÷2（条）。

找到了这个规律，我们就可以运用这个公式来解答这类问题。

例2在∠AOB（图6－2）内有8条从O点引出的射线，可组成各种大小不同的角一共有多少个？

解这问题类似于例1，

　　10×9÷2=45（个）

答图中有45个角。

解3数一数，图6－3一共有几个长方形？

分析可以按照顺序去数长方形的个数，也可以通过分析研究，找出数长方形的规律。

长方形是由长和宽组成的，

　　图中共有3个长（横向线段）、3个宽（竖向线段），

解

　　3×3＝9（个）

答图中共有9个长方形。

　　这一类型的问题在后面还要专门讨论。

例4如图6－4。

（1）如上图这样的形状，如果最底层有11个三角形，那么这堆小三角形共有多少个？

（2）现在共有169个小三角形，按上图排列，那么最底层三角形有几个？

分析根据图示可以得到规律，底层与总数有“2→4，3→9，4→16”的关系。

而22＝4，33=9，44＝16，就是：

“底层的个数的平方正好等于总数”。

所以可得：

（1）下层有11个小三角形，共有

　　11×11=121（个）

（2）因为13×13＝169，所以169个小三角形如上图排列，底层有13个小三角形。

练    习

　　1．线段AB上除两端外有49个点，问这条线段上共有多少条线段？

　　2．下图中共有多少个三角形？

　　3．把长2厘米、宽1厘米的长方形硬纸片按照下图一层层叠起来。

（1）如果叠5层，周长是（）厘米。

（2）如果周长是120厘米，共有（）层。

知识要点：

数图形时我们要按照一定的顺序、有条理、有计划、有方法的去解答题目，可由单个图形数起，再数两个图形合成的图形，依此规律一个一个往下数。

 ｛例1｝数一数图中共有几条线段？

                      D

         A

B

           C

这样想：

数之前，先将每条线段写上字母，写好后，先数AB这条线段上有4条小线段，再数两条合并成的有3条，再数三条合并成的有2条，最后数四条合并成的有1条，4+3+2+1=10条。

同样CD这条线段上也有10条，和起来一共有20条。

｛例2｝数一数图中共有几个小长方体？

这样想：

从上面先数，第一排有2个小长方体，再数第二排有4个小长方体，最后数第三排有6个小长方体，所以2+4+6=12，有12个小长方体。

｛例3｝数一数图中共有几个三角形？

这样想：

数之前，先将每个图形编号，编好后，先数单个三角形共10个。

再数两个图形合成的三角形，按顺序两个两个合并，共8个三角形。

所以10+8=18，共18个三角形。

｛例4｝数一数图中共有几个三角形？

这样想：

先数单个三角形共4个。

再数两个三角形合成的三角形，按顺序两个两个合并，共2个三角形。

最后数由3个小三角形组成的大三角形，有1个。

所以4+2+1=7，共7个三角形。

｛例5｝数一数图中共有几个三角形？

这样想：

先数每个角上三角形共5个，再数由两个不靠着的角和中间五边形合成的三角形，按顺序数共3个三角形，所以5+3=8，共8个三角形。

知识要点：

同学们，在数图形时，一定要按顺序仔细数，如果给图形编个号，这样数起来就更方便，不会重复，也不会遗漏。

｛例1｝数一数图中共有几个三角形？

这样想：

数之前，先将每个图形编号，编好后，先数单个三角形1、4、3号，共3个。

再数两个图形合成的三角形，1+2号，2+3号，3+4号，4+1号，按顺序两个两个合并，共4个三角形。

最后数由1+2+3+4号组成的大三角形，有1个。

所以3+4+1=8，共8个三角形。

｛例2｝数一数图中有西红柿的正方形有几个？

这样想：

先数单个正方形，有西红柿的正方形有1个。

再数四个正方形合成的大正方形，有西红柿的大正方形有4个。

最后数由9个小正方形组成的大正方形，有1个。

所以1+4+1=6，有西红柿的正方形共6个。

｛例3｝数一数图中共有几个正方形？

这样想：

先数单个正方形1、2、3、4、5、6号，共6个。

再数四个正方形合成的大正方形，1+2+4+5号，2+3+5+6号，按顺序四个四个合并，共2个正方形。

所以6+2=8，共8个正方形。

｛例4｝数一数图中共有几个正方形？

这样想：

先数小正方形，共4个。

再数稍大的正方形，共5个。

最后数大正方形，有1个。

4+5+1=10，所以图中共有10个正方形。

｛例5｝数一数图中共有几个圆形？

这样想：

先数小圆，共5个。

再数大圆有1个。

图中共有6个圆。

题目1：

数一数图中共有几个三角形？

图1

A.6

B.5

窗体顶部

·题目2：

数一数图中共有几个三角形？

图1

A.9

B.8

窗体顶部

·题目3：

数一数图中共有几个三角形？

图1

A.10

B.12

窗体顶部

·题目4：

数一数图中共有几个正方形？

图1

A.8

B.7

窗体顶部

·题目5：

数一数图中有青蛙的正方形有几个？

图1

A.3

B.6