高等数学第二章习题doc.docx
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高等数学第二章习题doc
第二章极限与连续
第一节数列的极限
一、观察下列数列｛%„｝的变化趋势，判断是否有极限？
若有极限，写出其极限
（-1）〃
1、
2、3^xz/=lnn
4、心=1+（_1）“丄
n
二、利用数列极限的定义证明:
、v3n+l3
Klim=—；
n*2/7+12
2.lim0.999_9=l
三、设数列｛xI满足lim兀=01
〃T8n
证明:
lim£
H—>oo
第二节函数的极限
一、填空题
1、当x->2吋,y“T4,问当5取_时，只要Ov|兀-2|v5,必有卜-4|<0.001.
丫2_1
2^当兀T8时，y=—1,问当z取时，只要\x\>z,必有|y-l|<0.01.
”+3
二、用函数极限的沱义证明：
三、试证:
函数/（兀）当jvtx。
时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.
四、讨论：
函数0（兀）二包在兀T0时的极限是否存在?
第三节极限的性质
填空题
r..4x4-2x2+x
7^lim；
z）32+2x
二、求下列各极限
第四节无穷大、无穷小
一、填空题
1、凡无穷小量皆以为极限
2、lim/（兀）=A是/（x）=A+Q条件，（其中limo=0）
XT々）尤-»心
3、在同一过程中，若/（兀）是无穷大，则是无穷小.
4^当xtO时，无穷小l-cosx与mxn等价，贝ijm=,n.
i_L?
r
二、根据定义证明:
当xtO时,函数丁=匸2是无穷大，问兀应满足什么条件,
x
能使卜|〉104・
三、证明函数y=-sin丄在区间（0,1］上无界，但当xt（）+时，这个函数不是无穷大.XX
四、证明:
当兀->0时，兀'一1与3兀2-兀一2是同阶无穷小
第五节极限的存在准则
一、填空题
-…sin2x
“sincox
1、
lim=
2、
.hm=
gosin3x
3、
cotx
lim=
4、
limx・cot3x=
xtO%
xtO
5、
sinxlim=
6>
1
lim（l+兀）*=
XT82x
大TO
1+x八
]r
7、
lim（）2r-
8、
lim（l——Y=
XToo%
28X
二、
求下列各极限
1—cos2x
1、
lim
2、
lim（tanx）,an2x
goxsmx
4
三、利用极限存在准则证明数列V2J2+V2J2+V2+V2,……的极限存在，并求出该极限.
第六节：
连续函数及其性质
填空题
2
1、指出尸xj在x=l是第类间断点；在x=2是第类间断点.
兀2—3x+2
2、指出•J在x=0是第类间断点；在x=l是第类间断点；在
x|（x2-1）
x=-1是第类间断点
4.
3、limln（2cos2x）=.
6
1-®
二、讨论函数/（x）=lim——的连续性，若有间断点，判断其类型.
三、指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些间断点的类型，如果是可去间断点则补充或改变函数的定义使它连续.
X
2、/（%）=——在XGR上
tanx
四.
五、
六、
使
x<0
设f（x）=<1,X=（）已知/（%）在x=0处连续，试确定G和b
ln（b+x+x）,x>0
设Q>0，b>0,证明方程x=asinx+b，至少有一个不超过a^b正根
若/（%）在［d,b］上连续，a的值.
复习题二
一、选择题：
X
1、函数/（X）=—在定义域为（）
1+JT
（A）有上界无下界；（B）有下界无上界；
（C）有界，且^
L1+厂
2、当XTO时，下列函数哪一•个是其它三个的高阶无穷小（）
（A）x2；（B）1-cosx；（C）x-tanx；（D）ln（l+x）
3、设认冲则当（）时有卿甞:
當:
二篇遗
（A）m>/7；（B）m-n；（C）m5、
xX
5、当xHO吋，limcos—cos—cos—；
宀242n
2•丄
xsin—
6、lim/*
f如2—i
1
xarctan
四、讨论函数/（x）=的连续性，并判断其间断点的类型.
•71
sin—x
2
五、证明奇次多项式:
P（兀）=兔兀2“+1+坷兀2”+..・+夠出（勺北0）至少存在一个实根.
六、若/（x）在|0,2°］上连续，/（0）=/（2g）,证明在|0卫］上至少存在一点g,使
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