初一数学列方程解应用题竞赛教程含例题练习及答案.docx
《初一数学列方程解应用题竞赛教程含例题练习及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初一数学列方程解应用题竞赛教程含例题练习及答案.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
初一数学列方程解应用题竞赛教程含例题练习及答案
初一数学列方程解应用题竞赛教程含例题练习及答案
初一数学竞赛讲座
列方程解应用题
在小学数学中介绍了应用题的算术解法及常见的典型应用题。
然而算术解法往往局限于从已知条件出发推出结论,不允许未知数参加计算,这样,对于较复杂的应用题,使用算术方法常常比较困难。
而用列方程的方法,未知数与已知数同样都是运算的对象,通过找出“未知”与“已知”之间的相等关系,即列出方程（或方程组）,使问题得以解决。
所以对于应用题,列方程的方法往往比算术解法易于思考,易于求解。
列方程解应用题的一般步骤是:
审题,设未知数,找出相等关系,列方程,解方程,检验作答。
其中列方程是关键的一步,其实质是将同一个量或等量用两种方式表达出来,而要建立这种相等关系必须对题目作细致分析,有些相等关系比较隐蔽,必要时要应用图表或图形进行直观分析。
一、列简易方程解应用题
分析:
欲求这个六位数,只要求出五位数就可以了。
按题意,这个六位数的3倍等于。
解:
设五位数,则六位数,六位数,
从而有
3（105+x）10x+1,
x=42857。
答:
这个六位数为142857。
说明:
这一解法的关键有两点:
⑴抓住相等关系:
六位数的3倍等于六位数;
⑵设未知数:
将六位数与六位数用含的数学式子表示出来,这里根据题目的特点,采用“整体”设元的方法很有特色。
（1）是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系;
（2）是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化。
因此,要提高列方程解应用题的能力,就应在这两方面下功夫。
例2有一队伍以1.4米/秒的速度行军,末尾有一通讯员因事要通知排头,于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾,共用了10分50秒。
问:
队伍有多长?
分析:
这是一道“追及又相遇”的问题,通讯员从末尾到排头是追及问题,他与排头所行路程差为队伍长;通讯员从排头返回排尾是相遇问题,他与排尾所行路程和为队伍长。
如果设通讯员从末尾到排头用了x秒,那么通讯员从排头返回排尾用了（650-x）秒,于是不难列方程。
解:
设通讯员从末尾赶到排头用了x秒,依题意得
2.6x-1.4x2.6（650-x）+1.4（650-x）。
解得x=500。
推知队伍长为:
（2.6-1.4）×500600（米）。
答:
队伍长为600米。
说明:
在设未知数时,有两种办法:
一种是设直接未知数,求什么、设什么;另一种设间接未知数,当直接设未知数不易列出方程时,就设与要求相关的间接未知数。
对于较难的应用题,恰当选择未知数,往往可以使列方程变得容易些。
例3铁路旁的一条与铁路平行的小路上,有一行人与骑车人同时向南行进,行人速度为3.6千米/时,骑车人速度为10.8千米/时,这时有一列火车从他们背后开过来,火车通过行人用22秒,通过骑车人用26秒,这列火车的车身总长是多少?
分析:
本题属于追及问题,行人的速度为3.6千米/时1米/秒,骑车人的速度为10.8千米/时3米/秒。
火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差,也等于火车车尾与骑车人的路程差。
如果设火车的速度为x米/秒,那么火车的车身长度可表示为（x-1）×22或（x-3）×26,由此不难列出方程。
解:
设这列火车的速度是x米/秒,依题意列方程,得
（x-1）×22（x-3）×26。
解得x14。
所以火车的车身长为:
（14-1）×22286（米）。
答:
这列火车的车身总长为286米。
例4如图,沿着边长为90米的正方形,按逆时针方向,甲
从A出发,每分钟走65米,乙从B出发,每分钟走72米。
当乙
第一次追上甲时在正方形的哪一条边上?
分析:
这是环形追及问题,这类问题可以先看成“直线”追
及问题,求出乙追上甲所需要的时间,再回到“环行”追及问题,
根据乙在这段时间内所走路程,推算出乙应在正方形哪一条边上。
解:
设追上甲时乙走了x分,则甲在乙前方3×90270（米）。
依题意
故有:
72x=65x+270
解得:
在这段时间内乙走了:
（米）
由于正方形边长为90米,共四条边,故由
可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA边上。
答:
当乙第一次追上甲时在正方形的DA边上。
例5一条船往返于甲、乙两港之间,由甲至乙是顺水行驶,由乙至甲是逆水行驶。
已知船在静水中的速度为8千米/时,平时逆行与顺行所用的时间比为2∶1。
某天恰逢暴雨,水流速度为原来的2倍,这条船往返共用9时。
问:
甲、乙两港相距多少千米?
分析:
这是流水中的行程问题:
顺水速度静水速度+水流速度,逆水速度静水速度-水流速度。
解答本题的关键是要先求出水流速度。
解:
设甲、乙两港相距x千米,原来水流速度为a千米/时根据题意可知,逆水速度与顺水速度的比为2∶1,即（8-a）∶（8+a）=1∶2,
再根据暴雨天水流速度变为2a千米/时,则有
解得x20。
答:
甲、乙两港相距20千米。
例6某校组织150名师生到外地旅游,这些人5时才能出发,为了赶火车,6时55分必须到火车站。
他们仅有一辆可乘50人的客车,车速为36千米/时,学校离火车站21千米,显然全部路程都乘车,因需客车多次往返,故时间来不及,只能乘车与步行同时进行。
如果步行每小时能走4千米,那么应如何安排,才能使所有人都按时赶到火车站?
分析:
把150人分三批,每批50人,均要在115分钟即（时）内赶到火车站,每人步行时间应该相同,乘车时间也相同。
设每人步行x时,乘车时。
列出方程,解出,便容易安排了,不过要计算一下客车能否在115分钟完成。
解:
把150人分三批,每批50人,步行速度为4千米/时,车速为36千米/时。
设每批师生步行用时,则
解得x=1.5（时）,即每人步行90分,乘车25分。
三批人5时同时出发,第一批人乘25分钟车到达A点,下车步行;客车从A立即返回,在B点遇上步行的第二批人,乘25分钟车,第二批人下车步行,客车再立即返回,又在C点遇到步行而来的第三批人,然后把他们直接送到火车站。
如此安排第一、二批人按时到火车站是没问题的,第三批人是否正巧可乘25分钟车呢?
必须计算。
第一批人到A点,客车已行（千米）,第二批人已步行4×（千米）,这时客车返回与第二批人步行共同行完（千米）,需（时）,客车与第二批人相遇,就是说客车第一次返回的时间是20分,同样可计算客车第二次返回的时间也应是20分,所以当客车与第三批人相遇时,客车已用25×2+20×290（分）,还有115-9025（分）,正好可把第三批人按时送到。
因此可以按上述方法安排。
说明:
列方程,解出需步行90分、乘车25分后,可以安排了,但验算不能省掉,因为这关系到第三批人是否可以按时到车站的问题。
通过计算知第三批人正巧可乘车25分,按时到达。
但如果人数增加,或者车速减慢,虽然方程可以类似地列出,却不能保证人员都按时到达目的地。
二、引入参数列方程解应用题
对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题,列方程时,除了应设的未知数外,还需要增设一些“设而不求”的参数,便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言,以便沟通数量关系,为列方程创造条件。
例7某人在公路上行走,往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇,每隔6分就有一辆从背后超过此人。
如果人与汽车均为匀速运动,那么汽车站每隔几分发一班车?
分析:
此题看起来似乎不易找到相等关系,注意到某人在公路上行走与迎面开来的车相遇,是相遇问题,人与汽车4分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离;每隔6分就有一辆车从背后超过此人是追及问题,车与人6分所行的路程差恰是两车的距离,再引进速度这一未知常量作参数,问题就解决了。
解:
设汽车站每隔x分发一班车,某人的速度是v1,汽车的速度为v2,依题意得
由①②,得
将③代入①,得
说明:
此题引入v1,v2两个未知量作参数,计算时这两个参数被消去,即问题的答案与参数的选择无关。
本题的解法很多,可参考本丛书《五年级数学活动课》第26讲。
例8整片牧场上的草长得一样密,一样地快。
已知70头牛在24天里把草吃完,而30头牛就得60天。
如果要在96天内把牧场的草吃完,那么有多少头牛?
分析:
本题中牧场原有草量是多少?
每天能生长草量多少?
每头牛一天吃草量多少?
若这三个量用参数a,b,c表示,再设所求牛的头数为x,则可列出三个方程。
若能消去a,b,c,便可解决问题。
解:
设整片牧场的原有草量为a,每天生长的草量为b,每头牛一天吃草量为c,x头牛在96天内能把牧场上的草吃完,则有
②-①,得
36b120C。
④
③-②,得
96xc1800c+36b。
⑤
将④代入⑤,得
96xc=1800c+120c。
解得x20。
答:
有20头牛。
例9从甲地到乙地的公路,只有上坡路和下坡路,没有平路。
一辆汽车上坡时每小时行驶20千米,下坡时每小时行驶35千米。
车从甲地开往乙地需9时,从乙地到甲地需时。
问:
甲、乙两地间的公路有多少千米?
从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路?
解:
从甲地到乙地的上坡路,就是从乙地到甲地的下坡路;从甲地到乙地下坡路,就是从乙地到甲地的上坡路。
设从甲地到乙地的上坡路为x千米,下坡路为y千米,依题意得
①+②,得
将y210-x代入①式,得
解得x=140。
答:
甲、乙两地间的公路有210千米,从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。
三、列不定方程解应用题
有些应用题,用代数方程求解,有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数,这种情况下的方程称为不定方程。
这时方程的解有多个,即解不是唯一确定的。
但注意到题目对解的要求,有时,只需要其中一些或个别解。
例10六
（1）班举行一次数学测验,采用5级计分制（5分最高,4分次之,以此类推）。
男生的平均成绩为4分,女生的平均成绩为3.25分,而全班的平均成绩为3.6分。
如果该班的人数多于30人,少于50人,那么有多少男生和多少女生参加了测验?
解:
设该班有x个男生和y个女生,于是有:
4x+3.25y3.6（x+y）
化简后得8x7y。
从而全班共有学生:
在大于30小于50的自然数中,只有45可被15整除,所以
推知x=21,y24。
答:
该班有21个男生和24个女生。
例11小明玩套圈游戏,套中小鸡一次得9分,套中小猴得5分,套中小狗得2分。
小明共套了10次,每次都套中了,每个小玩具都至少被套中一次,小明套10次共得61分。
问:
小明至多套中小鸡几次?
解:
设套中小鸡x次,套中小猴y次,则套中小狗（10-x-y）次。
根据得61分可列方程:
9x+5y+2（10-x-y）61,
化简后得7x41-3y。
显然y越小,x越大。
将y1代入得7x38,无整数解;若y2,7x35,解得x5。
答:
小明至多套中小鸡5次。
例12某缝纫社有甲、乙、丙、丁4个小组,甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子;乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子;丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子;丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子。
现在上衣和裤子要配套缝制（每套为一件上衣和一条裤子）。
问:
7天中这4个小组最多可缝制多少套衣服?
分析:
不能仅按生产上衣或裤子的数量来安排生产,应该考虑各组生产上衣、裤子的效率高低,在配套下安排生产。
我们首先要说明安排做上衣效率高的多做上衣,做裤子效率高的多做裤子,才能使所做衣服套数最多。
一般情况,设A组每天能缝制a1件上衣或b1条裤子,它们的比为;类似的,B组每天缝制上衣与裤子数量的比为。
若>,则应在安排A组尽量多做上衣、B组尽量多做裤子的情况下,安排配套生产。
这是因为,若安排A组做条裤子,则在这段时间内可做件上衣;这些上衣若安排B组做,要用天时间。
在这段时间内B组可做条裤子,由于,因此A组尽量多做上衣,B组尽量多做裤子。
解:
甲、乙、丙、丁4组每天缝制上衣或裤子数量之比分别为,,,,由于>>>,所以丁组生产上衣和丙组生产裤子的效率高,故这7天全安排这两组生产单一产品。
设甲组生产上衣x天,生产裤子（7-x）天,乙组生产上衣y天,生产裤子（7-y）天,则4个组分别共生产上衣、裤子各为6×7+8x+9y（件）和11×7+10（7-x）+12（7-y）（条）。
依题意,得
42+8x+9y=77+70-10x+84-12y,
令u=42+8x+9y,则
显然x越大,u越大。
故当x7时,u取最大值125,此时y的值为3。
答:
安排甲、丁组7天都生产上衣,丙组7天全做裤子,乙组3天做上衣,4天做裤子,这样生产的套数最多,共计125套。
说明:
本题仍为两个未知数,一个方程,不能有确定解。
本题求套数最多,实质上是化为“一元函数”在一定范围内的最值,注意说明取得最值的理由。
练习8
1.甲用40秒可绕一环形跑道跑一圈,乙反方向跑,每隔15秒与甲相遇一次。
问:
乙跑完一圈用多少秒?
2.小明在360米长的环形跑道上跑了一圈,已知他前一半时间每秒跑5米,后一半时间每秒跑4米,那么小明后一半路程跑多少秒?
3.如右图,甲、乙两人分别位于周长为400米的正方形水池相
邻的两个顶点上,同时开始沿逆时针方向沿池边行走。
甲每分钟走
50米,乙每分钟走44米,求甲、乙两人出发后几分钟才能第一次
走在正方形的同一条边上（不含甲、乙两人在正方形相邻顶点的情
形）。
4.农忙假,一组学生下乡帮郊区农民收割水稻,他们被分配到甲、乙两块稻田去,甲稻田面积是乙稻田面积的2倍。
前半小时,全队在甲田;后半小时一半人在甲田,一半人在乙田。
割了1时,割完了甲田的水稻,乙田还剩下一小块未割,剩下的这一小块需要一个人割1时才能割完。
问:
这组学生有几人?
5.若货价降低8%,而售出价不变,则利润（按进货价而定）可由目前的P%增加到（P+10）%,求P。
6.甲、乙二人做同一个数的带余除法,甲将其除以8,乙将其除以9,甲所得的商数与乙所得的余数之和为13。
试求甲所得的余数。
7.某公共汽车线路中间有10个站。
车有快车及慢车两种,快车的车速是慢车车速的1.2倍。
慢车每站都停,快车则只停靠中间1个站。
每站停留时间都是3分钟。
当某次慢车发出40分钟后,快车从同一始发站开出,两车恰好同时到达终点。
问:
快车从起点到终点共需用多少时间?
8.甲车以160千米/时的速度,乙车以20千米/时的速度,在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发。
每当甲车追上乙车1次,甲车减速而乙车则增速。
问:
在两车的速度恰好相等的时刻,它们分别行驶了多少千米?
练习8答案
1.24秒。
2.44秒。
推知小明前40秒跑了5×40200（米）,后40秒跑了4×40160（米）。
因为小明后180米中有20米是以5米/秒的速度行进的,其余160米是以4米/秒的速度行进的,所以,小明后一半路程共用20÷5+160÷4=44（秒）。
3.34分。
提示:
仿例4。
4.8人。
解:
设学生共x人,甲田面积为2a,乙田面积为a,则
解出x8。
5.15。
解:
设原进货价为x,则下降8%后的进价为0.92x,依题意有
x（1+0.01P）=0.92x[1+0.01（P+10）],
解得P=15。
6.4。
解:
设甲所得的商和余数分别为x和y,乙所得的商为z,则乙所得的余数为13-x。
依题意得8x+y9z+（13-x）,即9（x-z）13-y,推知13-y是9的倍数。
因为y是被
8除的余数,所以只能在0至7之间,所以y4。
7.68分。
解:
设起点到终点的路程为S,慢车车速为V,则慢车行驶的时间为,快车行驶的时间为。
依题意得:
共需65+368（分）。
8.940km,310km。
解:
在甲车第一次追上乙车的那一时刻,甲车的速度为160（1-）,乙车的速度为20（1+）。
仿此推理可知,设甲车在第次追上乙车的时刻,两车速度相等,则应有
所以n3。
设甲车第1次追上乙车用了t1时。
因为甲比乙车多跑1圈,所以有:
设甲车从第1次追上乙车到第2次追上乙车用了t2时,仿上可知:
设甲车从第2次追上乙车到第3次追上乙车用了时,仿上可知时。
从而甲行驶了:
乙车行驶了:
升级会员 