初一数学列方程解应用题竞赛教程含例题练习及答案.docx

1、初一数学列方程解应用题竞赛教程含例题练习及答案初一数学列方程解应用题竞赛教程含例题练习及答案 初一数学竞赛讲座列方程解应用题 在小学数学中介绍了应用题的算术解法及常见的典型应用题。然而算术解法往往局限于从已知条件出发推出结论,不允许未知数参加计算,这样,对于较复杂的应用题,使用算术方法常常比较困难。而用列方程的方法,未知数与已知数同样都是运算的对象,通过找出“未知”与“已知”之间的相等关系,即列出方程(或方程组),使问题得以解决。所以对于应用题,列方程的方法往往比算术解法易于思考,易于求解。 列方程解应用题的一般步骤是:审题,设未知数,找出相等关系,列方程,解方程,检验作答。其中列方程是关键的

2、一步,其实质是将同一个量或等量用两种方式表达出来,而要建立这种相等关系必须对题目作细致分析,有些相等关系比较隐蔽,必要时要应用图表或图形进行直观分析。一、列简易方程解应用题 分析:欲求这个六位数,只要求出五位数就可以了。按题意,这个六位数的3倍等于。 解:设五位数,则六位数,六位数,从而有 3(105+x)10x+1, x=42857。 答:这个六位数为142857。 说明:这一解法的关键有两点:抓住相等关系:六位数的3倍等于六位数;设未知数:将六位数与六位数用含的数学式子表示出来,这里根据题目的特点,采用“整体”设元的方法很有特色。 (1)是善于分析问题中的已知数与未知数之间的数量关系;(2

3、)是一般语言与数学的形式语言之间的相互关系转化。因此,要提高列方程解应用题的能力,就应在这两方面下功夫。 例2 有一队伍以1.4米/秒的速度行军,末尾有一通讯员因事要通知排头,于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾,共用了10分50秒。问:队伍有多长? 分析:这是一道“追及又相遇”的问题,通讯员从末尾到排头是追及问题,他与排头所行路程差为队伍长;通讯员从排头返回排尾是相遇问题,他与排尾所行路程和为队伍长。如果设通讯员从末尾到排头用了x秒,那么通讯员从排头返回排尾用了(650-x)秒,于是不难列方程。 解:设通讯员从末尾赶到排头用了x秒,依题意得 2.6x-1.4x2.6(650-

4、x)+1.4(650-x)。 解得x=500。推知队伍长为:(2.6-1.4)500600(米)。 答:队伍长为600米。 说明:在设未知数时,有两种办法:一种是设直接未知数,求什么、设什么;另一种设间接未知数,当直接设未知数不易列出方程时,就设与要求相关的间接未知数。对于较难的应用题,恰当选择未知数,往往可以使列方程变得容易些。 例3 铁路旁的一条与铁路平行的小路上,有一行人与骑车人同时向南行进,行人速度为3.6千米/时,骑车人速度为10.8千米/时,这时有一列火车从他们背后开过来,火车通过行人用22秒,通过骑车人用26秒,这列火车的车身总长是多少? 分析:本题属于追及问题,行人的速度为3.

5、6千米/时1米/秒,骑车人的速度为10.8千米/时3米/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差,也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为x米/秒,那么火车的车身长度可表示为(x-1)22或(x-3)26,由此不难列出方程。 解:设这列火车的速度是x米/秒,依题意列方程,得 (x-1)22(x-3)26。 解得x14。所以火车的车身长为:(14-1)22286(米)。 答:这列火车的车身总长为286米。 例4 如图,沿着边长为90米的正方形,按逆时针方向,甲从A出发,每分钟走65米,乙从B出发,每分钟走72米。当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上? 分析:这是环形追及问题,这

6、类问题可以先看成“直线”追及问题,求出乙追上甲所需要的时间,再回到“环行”追及问题,根据乙在这段时间内所走路程,推算出乙应在正方形哪一条边上。 解:设追上甲时乙走了x分,则甲在乙前方390270(米)。依题意 故有:72x=65x+270 解得: 在这段时间内乙走了:(米) 由于正方形边长为90米,共四条边,故由 可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA边上。 答:当乙第一次追上甲时在正方形的DA边上。 例5 一条船往返于甲、乙两港之间,由甲至乙是顺水行驶,由乙至甲是逆水行驶。已知船在静水中的速度为8千米/时,平时逆行与顺行所用的时间比为21。某天恰逢暴雨,水流速度为原来的2倍,这条船往返共用9时

7、。问:甲、乙两港相距多少千米? 分析:这是流水中的行程问题: 顺水速度静水速度+水流速度,逆水速度静水速度-水流速度。 解答本题的关键是要先求出水流速度。 解:设甲、乙两港相距x千米,原来水流速度为a千米/时根据题意可知,逆水速度与顺水速度的比为21,即(8-a)(8+a)=12, 再根据暴雨天水流速度变为2a千米/时,则有 解得x20。 答:甲、乙两港相距20千米。 例6 某校组织150名师生到外地旅游,这些人5时才能出发,为了赶火车,6时55分必须到火车站。他们仅有一辆可乘50人的客车,车速为36千米/时,学校离火车站21千米,显然全部路程都乘车,因需客车多次往返,故时间来不及,只能乘车与

8、步行同时进行。如果步行每小时能走4千米,那么应如何安排,才能使所有人都按时赶到火车站? 分析:把150人分三批,每批50人,均要在115分钟即(时)内赶到火车站,每人步行时间应该相同,乘车时间也相同。设每人步行x时,乘车时。列出方程,解出,便容易安排了,不过要计算一下客车能否在115分钟完成。 解:把150人分三批,每批50人,步行速度为4千米/时,车速为36千米/时。设每批师生步行用时,则 解得x=1.5(时),即每人步行90分,乘车25分。三批人5时同时出发,第一批人乘25分钟车到达A点,下车步行;客车从A立即返回,在B点遇上步行的第二批人,乘25分钟车,第二批人下车步行,客车再立即返回,

9、又在C点遇到步行而来的第三批人,然后把他们直接送到火车站。 如此安排第一、二批人按时到火车站是没问题的,第三批人是否正巧可乘25分钟车呢?必须计算。 第一批人到A点,客车已行(千米),第二批人已步行4(千米),这时客车返回与第二批人步行共同行完(千米),需(时),客车与第二批人相遇,就是说客车第一次返回的时间是20分,同样可计算客车第二次返回的时间也应是20分,所以当客车与第三批人相遇时,客车已用252+20290(分),还有115-9025(分),正好可把第三批人按时送到。 因此可以按上述方法安排。 说明:列方程,解出需步行90分、乘车25分后,可以安排了,但验算不能省掉,因为这关系到第三批

10、人是否可以按时到车站的问题。通过计算知第三批人正巧可乘车25分,按时到达。但如果人数增加,或者车速减慢,虽然方程可以类似地列出,却不能保证人员都按时到达目的地。二、引入参数列方程解应用题 对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题,列方程时,除了应设的未知数外,还需要增设一些“设而不求”的参数,便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言,以便沟通数量关系,为列方程创造条件。 例7 某人在公路上行走,往返公共汽车每隔4分就有一辆与此人迎面相遇,每隔6分就有一辆从背后超过此人。如果人与汽车均为匀速运动,那么汽车站每隔几分发一班车? 分析:此题看起来似乎不易找到相等关系,注意到某人在公路上行走与迎

11、面开来的车相遇,是相遇问题,人与汽车4分所行的路程之和恰是两辆相继同向行驶的公共汽车的距离;每隔6分就有一辆车从背后超过此人是追及问题,车与人6分所行的路程差恰是两车的距离,再引进速度这一未知常量作参数,问题就解决了。 解:设汽车站每隔x分发一班车,某人的速度是v1,汽车的速度为v2,依题意得 由,得将代入,得 说明:此题引入v1,v2两个未知量作参数,计算时这两个参数被消去,即问题的答案与参数的选择无关。本题的解法很多,可参考本丛书五年级数学活动课第26讲。 例8 整片牧场上的草长得一样密,一样地快。已知70头牛在24天里把草吃完,而30头牛就得60天。如果要在96天内把牧场的草吃完,那么有

12、多少头牛? 分析:本题中牧场原有草量是多少?每天能生长草量多少?每头牛一天吃草量多少?若这三个量用参数a,b,c表示,再设所求牛的头数为x,则可列出三个方程。若能消去a,b,c,便可解决问题。 解:设整片牧场的原有草量为a,每天生长的草量为b,每头牛一天吃草量为c,x头牛在96天内能把牧场上的草吃完,则有-,得 36b120C。 -,得 96xc1800c+36b。 将代入,得 96xc=1800c+120c。 解得x20。 答:有20头牛。 例9 从甲地到乙地的公路,只有上坡路和下坡路,没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米,下坡时每小时行驶35千米。车从甲地开往乙地需9时,从乙地到甲地

13、需时。问:甲、乙两地间的公路有多少千米?从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路? 解:从甲地到乙地的上坡路,就是从乙地到甲地的下坡路;从甲地到乙地下坡路,就是从乙地到甲地的上坡路。设从甲地到乙地的上坡路为x千米,下坡路为y千米,依题意得+,得 将y210-x代入式,得 解得x=140。 答:甲、乙两地间的公路有210千米,从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。三、列不定方程解应用题 有些应用题,用代数方程求解,有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数,这种情况下的方程称为不定方程。这时方程的解有多个,即解不是唯一确定的。但注意到题目对解的要求,有时,只需要其中一些或个别解。 例10 六(1)班

14、举行一次数学测验,采用5级计分制(5分最高,4分次之,以此类推)。男生的平均成绩为4分,女生的平均成绩为3.25分,而全班的平均成绩为3.6分。如果该班的人数多于30人,少于50人,那么有多少男生和多少女生参加了测验? 解:设该班有x个男生和y个女生,于是有:4x+3.25y3.6(x+y) 化简后得8x7y。从而全班共有学生: 在大于30小于50的自然数中,只有45可被15整除,所以 推知x=21,y24。 答:该班有21个男生和24个女生。 例11 小明玩套圈游戏,套中小鸡一次得9分,套中小猴得5分,套中小狗得2分。小明共套了10次,每次都套中了,每个小玩具都至少被套中一次,小明套10次共

15、得61分。问:小明至多套中小鸡几次? 解:设套中小鸡x次,套中小猴y次,则套中小狗(10-x-y)次。根据得61分可列方程:9x+5y+2(10-x-y)61, 化简后得7x41-3y。 显然y越小,x越大。将y1代入得7x38,无整数解;若y2,7x35,解得x5。 答:小明至多套中小鸡5次。 例12 某缝纫社有甲、乙、丙、丁4个小组,甲组每天能缝制8件上衣或10条裤子;乙组每天能缝制9件上衣或12条裤子;丙组每天能缝制7件上衣或11条裤子;丁组每天能缝制6件上衣或7条裤子。现在上衣和裤子要配套缝制(每套为一件上衣和一条裤子)。问:7天中这4个小组最多可缝制多少套衣服? 分析:不能仅按生产上

16、衣或裤子的数量来安排生产,应该考虑各组生产上衣、裤子的效率高低,在配套下安排生产。 我们首先要说明安排做上衣效率高的多做上衣,做裤子效率高的多做裤子,才能使所做衣服套数最多。 一般情况,设A组每天能缝制a1件上衣或b1条裤子,它们的比为;类似的,B组每天缝制上衣与裤子数量的比为。若,则应在安排A组尽量多做上衣、B组尽量多做裤子的情况下,安排配套生产。这是因为,若安排A组做条裤子,则在这段时间内可做件上衣;这些上衣若安排B组做,要用天时间。在这段时间内B组可做条裤子,由于,因此A组尽量多做上衣,B组尽量多做裤子。 解:甲、乙、丙、丁4组每天缝制上衣或裤子数量之比分别为,由于,所以丁组生产上衣和丙

17、组生产裤子的效率高,故这7天全安排这两组生产单一产品。 设甲组生产上衣x天,生产裤子(7-x)天,乙组生产上衣y天,生产裤子(7-y)天,则4个组分别共生产上衣、裤子各为67+8x+9y(件)和117+10(7-x)+12(7-y)(条)。依题意,得 42+8x+9y=77+70-10x+84-12y, 令u=42+8x+9y,则 显然x越大,u越大。故当x7时,u取最大值125,此时y的值为3。 答:安排甲、丁组7天都生产上衣,丙组7天全做裤子,乙组3天做上衣,4天做裤子,这样生产的套数最多,共计125套。 说明:本题仍为两个未知数,一个方程,不能有确定解。本题求套数最多,实质上是化为“一元

18、函数”在一定范围内的最值,注意说明取得最值的理由。练习8 1.甲用40秒可绕一环形跑道跑一圈,乙反方向跑,每隔15秒与甲相遇一次。问:乙跑完一圈用多少秒? 2.小明在360米长的环形跑道上跑了一圈,已知他前一半时间每秒跑5米,后一半时间每秒跑4米,那么小明后一半路程跑多少秒? 3.如右图,甲、乙两人分别位于周长为400米的正方形水池相邻的两个顶点上,同时开始沿逆时针方向沿池边行走。甲每分钟走50米,乙每分钟走44米,求甲、乙两人出发后几分钟才能第一次走在正方形的同一条边上(不含甲、乙两人在正方形相邻顶点的情形)。 4.农忙假,一组学生下乡帮郊区农民收割水稻,他们被分配到甲、乙两块稻田去,甲稻田

19、面积是乙稻田面积的2倍。前半小时,全队在甲田;后半小时一半人在甲田,一半人在乙田。割了1时,割完了甲田的水稻,乙田还剩下一小块未割,剩下的这一小块需要一个人割1时才能割完。问:这组学生有几人? 5.若货价降低8%,而售出价不变,则利润(按进货价而定)可由目前的P%增加到(P+10)%,求P。 6.甲、乙二人做同一个数的带余除法,甲将其除以8,乙将其除以9,甲所得的商数与乙所得的余数之和为13。试求甲所得的余数。 7.某公共汽车线路中间有10个站。车有快车及慢车两种,快车的车速是慢车车速的1.2倍。慢车每站都停,快车则只停靠中间1个站。每站停留时间都是3分钟。当某次慢车发出40分钟后,快车从同一

20、始发站开出,两车恰好同时到达终点。问:快车从起点到终点共需用多少时间? 8.甲车以160千米/时的速度,乙车以20千米/时的速度,在长为210千米的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追上乙车1次,甲车减速而乙车则增速。问:在两车的速度恰好相等的时刻,它们分别行驶了多少千米?练习8答案 1.24秒。 2.44秒。 推知小明前40秒跑了540200(米),后40秒跑了440160(米)。因为小明后180米中有20米是以5米/秒的速度行进的,其余160米是以4米/秒的速度行进的,所以,小明后一半路程共用205+1604=44(秒)。 3.34分。提示:仿例4。 4.8人。 解:设学生共x人,甲

21、田面积为2a,乙田面积为a,则 解出x8。 5.15。 解:设原进货价为x,则下降8%后的进价为0.92x,依题意有 x(1+0.01P)=0.92x1+0.01(P+10), 解得P=15。 6.4。 解:设甲所得的商和余数分别为x和y,乙所得的商为z,则乙所得的余数为13-x。依题意得8x+y9z+(13-x),即9(x-z)13-y,推知13-y是9的倍数。因为y是被8除的余数,所以只能在0至7之间,所以y4。 7.68分。 解:设起点到终点的路程为S,慢车车速为V,则慢车行驶的时间为,快车行驶的时间为。依题意得:共需65+368(分)。 8.940km,310km。 解:在甲车第一次追上乙车的那一时刻,甲车的速度为160(1-),乙车的速度为20(1+)。仿此推理可知,设甲车在第次追上乙车的时刻,两车速度相等,则应有 所以n3。 设甲车第1次追上乙车用了t1时。因为甲比乙车多跑1圈,所以有: 设甲车从第1次追上乙车到第2次追上乙车用了t2时,仿上可知: 设甲车从第2次追上乙车到第3次追上乙车用了时,仿上可知时。 从而甲行驶了: 乙车行驶了: