离散数学课后题答案.docx
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离散数学课后题答案离散数学课后题答案1-1，1-2
（1）解：
a）是命题，真值为T。
b）不是命题。
c）是命题，真值要根据具体情况确定。
d）不是命题。
e）是命题，真值为T。
f）是命题，真值为T。
g）是命题，真值为F。
h）不是命题。
i）不是命题。
（2）解：
原子命题：
我爱北京天安门。
复合命题：
如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：
a）（PR）Qb）QRc）Pd）PQ（4）解：
a）设Q:
我将去参加舞会。
R:
我有时间。
P:
天下雨。
Q（RP）:
我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b）设R:
我在看电视。
Q:
我在吃苹果。
RQ:
我在看电视边吃苹果。
c）设Q:
一个数是奇数。
R:
一个数不能被2除。
（QR）（RQ）:
一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
（5）解：
a）设P：
王强身体很好。
Q：
王强成绩很好。
PQb）设P：
小李看书。
Q：
小李听音乐。
PQc）设P：
气候很好。
Q：
气候很热。
PQd）设P：
a和b是偶数。
Q：
a+b是偶数。
PQe）设P：
四边形ABCD是平行四边形。
Q：
四边形ABCD的对边平行。
PQf）设P：
语法错误。
Q：
程序错误。
R：
停机。
（PQ）R（6）解：
a）P:
天气炎热。
Q:
正在下雨。
PQb）P:
天气炎热。
R:
湿度较低。
PRc）R:
天正在下雨。
S:
湿度很高。
RSd）A:
刘英上山。
B:
李进上山。
ABe）M:
老王是革新者。
N:
小李是革新者。
MNf）L:
你看电影。
M:
我看电影。
LMg）P:
我不看电视。
Q:
我不外出。
R:
我在睡觉。
PQRh）P:
控制台打字机作输入设备。
Q:
控制台打字机作输出设备。
PQ1-3
（1）解：
a）不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b）是合式公式c）不是合式公式（括弧不配对）d）不是合式公式（R和S之间缺少联结词）e）是合式公式。
（2）解：
a）A是合式公式，（AB）是合式公式，（A（AB）是合式公式。
这个过程可以简记为：
A；（AB）；（A（AB）同理可记b）A；A；（AB）；（AB）A）c）A；A；B；（AB）；（BA）；（AB）（BA）d）A；B；（AB）；（BA）；（AB）（BA）（3）解：
a）（AC）（BC）A）（BC）A）（AC）b）（BA）（AB）。
（4）解：
a）是由c）式进行代换得到，在c）中用Q代换P,（PP）代换Q.d）是由a）式进行代换得到，在a）中用P（QP）代换Q.e）是由b）式进行代换得到，用R代换P,S代换Q,Q代换R,P代换S.（5）解：
a）P:
你没有给我写信。
R:
信在途中丢失了。
PQb）P:
张三不去。
Q:
李四不去。
R:
他就去。
（PQ）Rc）P:
我们能划船。
Q:
我们能跑步。
（PQ）d）P:
你来了。
Q:
他唱歌。
R:
你伴奏。
P（QR）（6）解：
P:
它占据空间。
Q:
它有质量。
R:
它不断变化。
S:
它是物质。
这个人起初主张：
（PQR）S后来主张：
（PQS）（SR）这个人开头主张与后来主张的不同点在于：
后来认为有PQ必同时有R，开头时没有这样的主张。
（7）解：
a）P:
上午下雨。
Q:
我去看电影。
R:
我在家里读书。
S:
我在家里看报。
（PQ）（P（RS）b）P:
我今天进城。
Q:
天下雨。
QPc）P:
你走了。
Q:
我留下。
QP1-4（4）解：
a）PQRQRP（QR）PQ（PQ）RTTTTTFTFTTFFFTTFTFFFTFFFTFFFTFFFTFFFFFFFTTFFFFFFTFFFFFFF所以，P（QR）（PQ）Rb）PQRQRP（QR）PQ（PQ）RTTTTTFTFTTFFFTTFTFFFTFFF所以，P（QR）（PQ）R）（）（）（）所以，P（QR）（PQ）（PR））PQPQPQ（PQ）PQ（PQ）TTTFFTFFFFTTFTFTFTTTFTTTFFFTFFFT所以，（PQ）PQ,（PQ）PQ（5）解：
如表，对问好所填的地方，可得公式F1F6，可表达为PQRF1F2F3F4F5F6TTTTFTTFFTTFFFTFFFTFTTFFTTFTFFFTFTTFFTTTFFTTFFTFTFFFTFFFTTFTTTFFFFFTFTTTF1:
（QP）RF2:
（PQR）（PQR）F3:
（PQ）（QR）F4:
（PQR）（PQR）F5:
（PQR）（PQR）F6:
（PQR）（6）PQ12345678910111213141516FFFTFTFTFTFTFTFTFTFTFFTTFFTTFFTTFFTTTFFFFFTTTTFFFFTTTTTTFFFFFFFFTTTTTTTT解：
由上表可得有关公式为1.F2.（PQ）3.（QP）4.P5.（PQ）6.Q7.（PQ）8.（PQ）9.PQ10.PQ11.Q12.PQ13.P14.QP15.PQ16.T（7）证明：
a）A（BA）A（BA）A（AB）A（AB）1A（AB）b）（AB）（AB）（AB）（AB）（AB）（AB）（AB）或（AB）（AB）（BA）（AB）（BA）（AB）（AA）（BB）（BA）（AB）（BA）（AB）（AB）（AB）（AB）c）（AB）（AB）ABd）（AB）（AB）（BA）（AB）（BA）（AB）（AB）e）（ABC）D）（C（ABD）（ABC）D）（C（ABD）（ABC）D）（ABC）D）（ABC）（ABC）D（ABC）（ABC）D（AB）（AB）C）D（C（AB）D）f）A（BC）A（BC）（AB）C（AB）C（AB）Cg）（AD）（BD）（AD）（BD）（AB）D（AB）D（AB）Dh）（AB）C）（B（DC）（AB）C）（B（DC）（AB）（BD）C（AB）（DB）C（AB）（DB）C（AD）B）C（B（DA）C（8）解：
a）（AB）（BA）C（AB）（BA）C（AB）（AB）CTCCb）A（A（BB）（AA）（BB）TFTc）（ABC）（ABC）（AA）（BC）T（BC）BC（9）解：
1）设C为T，A为T，B为F，则满足ACBC，但AB不成立。
2）设C为F，A为T，B为F，则满足ACBC，但AB不成立。
3）由题意知A和B的真值相同，所以A和B的真值也相同。
习题1-5
（1）证明：
a）（P（PQ）Q（P（PQ）Q（PP）（PQ）Q（PQ）Q（PQ）QPQQPTTb）P（PQ）P（PQ）（PP）QTQTc）（PQ）（QR）（PR）因为（PQ）（QR）（PR）所以（PQ）（QR）为重言式。
d）（ab）（bc）（ca）（ab）（bc）（ca）因为（ab）（bc）（ca）（ac）b）（ca）（ac）（ca）（b（ca）（ac）（bc）（ba）所以（ab）（bc）（ca）（ab）（bc）（ca）为重言式。
（2）证明：
a）（PQ）P（PQ）解法1：
设PQ为T
（1）若P为T，则Q为T，所以PQ为T，故P（PQ）为T
（2）若P为F，则Q为F，所以PQ为F，P（PQ）为T命题得证解法2：
设P（PQ）为F，则P为T，（PQ）为F，故必有P为T，Q为F，所以PQ为F。
解法3：
（PQ）（P（PQ）（PQ）（P（PQ）（PQ）（PP）（PQ）T所以（PQ）P（PQ）b）（PQ）QPQ设PQ为F，则P为F，且Q为F，故PQ为T，（PQ）Q为F，所以（PQ）QPQ。
c）（Q（PP）（R（R（PP）RQ设RQ为F，则R为T，且Q为F，又PP为F所以Q（PP）为T，R（PP）为F所以R（R（PP）为F，所以（Q（PP）（R（R（PP）为F即（Q（PP）（R（R（PP）RQ成立。
（3）解：
a）PQ表示命题“如果8是偶数，那么糖果是甜的”。
b）a）的逆换式QP表示命题“如果糖果是甜的，那么8是偶数”。
c）a）的反换式PQ表示命题“如果8不是偶数，那么糖果不是甜的”。
d）a）的逆反式QP表示命题“如果糖果不是甜的，那么8不是偶数”。
（4）解：
a）如果天下雨，我不去。
设P：
天下雨。
Q：
我不去。
PQ逆换式QP表示命题:
如果我不去，则天下雨。
逆反式QP表示命题:
如果我去，则天不下雨b）仅当你走我将留下。
设S：
你走了。
R：
我将留下。
RS逆换式SR表示命题：
如果你走了则我将留下。
逆反式SR表示命题：
如果你不走，则我不留下。
c）如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。
设E：
我不能获得更多帮助。
H：
我不能完成这个任务。
EH逆换式HE表示命题：
我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。
逆反式HE表示命题：
我完成这个任务，则我能获得更多帮助（5）试证明PQ，Q逻辑蕴含P。
证明：
解法1：
本题要求证明（PQ）QP,设（PQ）Q为T，则（PQ）为T，Q为T，故由的定义，必有P为T。
所以（PQ）QP解法2：
由体题可知，即证（PQ）Q）P是永真式。
（PQ）Q）P（PQ）（PQ）Q）P（PQ）（PQ）Q）P（PQ）（PQ）Q）P（QPQ）（QPQ）P（QP）T）PQPPQTT（6）解：
P：
我学习Q：
我数学不及格R：
我热衷于玩扑克。
如果我学习，那么我数学不会不及格：
PQ如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习:
RP但我数学不及格:
Q因此我热衷于玩扑克。
R即本题符号化为：
（PQ）（RP）QR证：
证法1：
（PQ）（RP）Q）R（PQ）（RP）Q）R（PQ）（RP）QR（QP）（QQ）（RR）（RP）QPRPT所以，论证有效。
证法2：
设（PQ）（RP）Q为T，则因Q为T，（PQ）为T，可得P为F，由（RP）为T，得到R为T。
故本题论证有效。
（7）解：
P：
6是偶数Q：
7被2除尽R：
5是素数如果6是偶数，则7被2除不尽PQ或5不是素数，或7被2除尽RQ5是素数R所以6是奇数P即本题符号化为：
（PQ）（RQ）RP证：
证法1：
（PQ）（RQ）R）P（PQ）（RQ）R）P（PQ）（RQ）R）P（PP）（PQ）（RR）（RQ）（PQ）（RQ）T所以，论证有效，但实际上他不符合实际意义。
证法2：
（PQ）（RQ）R为T，则有R为T，且RQ为T，故Q为T，再由PQ为T，得到P为T。
（8）证明：
a）P（PQ）设P为T，则P为F，故PQ为Tb）ABCC假定ABC为T，则C为T。
c）CABB因为ABB为永真，所以CABB成立。
d）（AB）AB设（AB）为T，则AB为F。
若A为T，B为F，则A为F，B为T，故AB为T。
若A为F，B为T，则A为T，B为F，故AB为T。
若A为F，B为F，则A为T，B为T，故AB为T。
命题得证。
e）A（BC），DE，（DE）ABC设A（BC），DE，（DE）A为T，则DE为T，（DE）A为T，所以A为T又A（BC）为T，所以BC为T。
命题得证。
f）（AB）C，D，CDAB设（AB）C，D，CD为T，则D为T，CD为T，所以C为F又（AB）C为T，所以AB为F，所以AB为T。
命题得证。
（9）解：
a）如果他有勇气，他将得胜。
P：
他有勇气Q：
他将得胜原命题：
PQ逆反式：
QP表示：
如果他失败了，说明他没勇气。
b）仅当他不累他将得胜。
P：
他不累Q：
他得胜原命题：
QP逆反式：
PQ表示：
如果他累，他将失败。
习题1-6
（1）解：
a）（PQ）P（PP）Q（TQ）b）（P（QR）PQ（P（QR）PQ（PPQ）（QPQ）（RPQ）（PQ）（PQ）（PRQ）PQ（PQ）c）PQ（RP）PQ（RP）（PQR）（PQP）（PQR）FPQR（PQR）
（2）解：
a）PPPb）PQ（PQ）（PQ）（PQ）c）PQPQ（PP）（QQ）（3）解：
P（PQ）P（PQ）TPP（PP）（PP）P（PP）P（PQ）P（PQ）TPP（PP）（PP）P）（PP）P）（PP）P）（4）解：
PQ（PQ）（PP）（QQ）（PP）（QQ）（PP）（QQ）（5）证明：
（BC）（BC）BC（BC）（BC）BC（6）解：
联结词“”和“”不满足结合律。
举例如下：
a）给出一组指派：
P为T，Q为F，R为F，则（PQ）R为T，P（QR）为F故（PQ）RP（QR）.b）给出一组指派：
P为T，Q为F，R为F，则（PQ）R为T，P（QR）为F故（PQ）RP（QR）.（7）证明：
设变元P，Q，用连结词,作用于P，Q得到：
P，Q，P，Q，PQ，PP，QQ，QP。
但PQQP，PPQQ，故实际有：
P，Q，P，Q，PQ，PP（T）（A）用作用于（A）类，得到扩大的公式类（包括原公式类）：
P，Q，P，Q，（PQ），T，F，PQ（B）用作用于（A）类，得到：
PQ，PPF，PQ（PQ），P（PQ）Q，P（PP）P，QP（PQ），QQF，Q（PQ）P，QTQ,PQPQ，P（PQ）Q，PTP,Q（PQ）P，QTQ,（PQ）（PQ）PQ.因此，（A）类使用运算后，仍在（B）类中。
对（B）类使用运算得：
P，Q，P，Q，PQ，F，T，（PQ），仍在（B）类中。
对（B）类使用运算得：
PQ，PPF，PQ（PQ），P（PQ）Q，PTP，PFP，P（PQ）Q，QP（PQ），QQF，Q（PQ）P，QTQ,QFQ，Q（PQ）P，PQPQ，P（PQ）Q，PTP,PFP,P（PQ）Q，Q（PQ）P，QTQ,QTQ,Q（PQ）P，（PQ）T（PQ），（PQ）FPQ，（PQ）（PQ）FTFF，T（PQ）PQF（PQ）（PQ）（PQ）（PQ）PQ.故由（B）类使用运算后，结果仍在（B）中。
由上证明：
用,两个连结词，反复作用在两个变元的公式中，结果只能产生（B）类中的公式，总共仅八个不同的公式，故,不是功能完备的，更不能是最小联结词组。
已证,不是最小联结词组，又因为PQ（PQ），故任何命题公式中的联结词，如仅用,表达，则必可用,表达，其逆亦真。
故,也必不是最小联结词组。
（8）证明，和不是最小联结词组。
证明：
若，和是最小联结词，则P（PP）P（PP）PP（P（P）对所有命题变元指派T，则等价式左边为F，右边为T，与等价表达式矛盾。
所以，和不是最小联结词。
（9）证明,和,是最小联结词组。
证明：
因为,为最小联结词组，且PQPQ所以,是功能完备的联结词组，又,都不是功能完备的联结词组。
所以,是最小联结词组。
又因为PQ（PQ），所以,是功能完备的联结词组，又,不是功能完备的联结词组，所以,是最小联结词组。
习题1-7
（1）解：
P（PQ）P（PQ）（PP）（PQ）P（PQ）（P（QQ）（PQ）（PQ）（PQ）（PQ）
（2）解：
a）（PQ）R（PQ）RPQR（PQ）（PQ）（QR）（QR）（RP）（RP）b）P（QR）S）P（QR）S）PQRS（PQ）（PQ）（QR）（QR）（RS）（RS）（SP）（SP）c）（PQ）（ST）（PQ）（ST）（PQS）（PQT）d）（PQ）R（PQ）R（PQ）R（PR）（QR）e）（PQ）（PQ）（PQ）（PQ）（PP）（PQ）（QP）（QQ）（PQ）（QP）（3）解：
a）P（PQR）（PP）（PQ）（PR）（PQ）（PR）b）（PQ）（PQ）（PQ）（PQ）（PQ）（PQ）（PPQ）（QPQ）c）（PQ）（PQ）PQ（PQ）（PQ）（QP）d）（PQ）R（PQ）R（PQ）R（PR）（QR）e）（PQ）（PQ）（PP）（PQ）（QP）（QQ）（PQ）（QP）（4）解：
a）（PQ）（PQ）（PQ）（PQ）（PQ）（PQ）（PQ）1，2，3PQ=0b）Q（PQ）（PQ）（QQ）PQ=30，1，2（PQ）（PQ）（PQ）c）P（P（Q（QR）P（P（Q（QR）PQR=01，2，3,4,5,6,7=（PQR）（PQR）（PQR）（PQR）（PQR）（PQR）（PQR）d）（P（QR）（P（QR）（P（QR）（P（QR）（PP）（P（QR）（QR）P）（QR）（QR）（PQR）（PQR）=0,71，2，3,4,5,6（PQR）（PQR）（PQR）（PQR）（PQR）（PQR）e）P（P（QP）P（P（QP）（PP）（PQP）T（TQ）T0,1,2,3=（PQ）（PQ）（PQ）（PQ）f）（QP）（PQ）（QP）PQ（QP）（PQ）F0,1，2，3=（PQ）（PQ）（PQ）（PQ）（5）证明：
a）（AB）（AC）（AB）（AC）A（BC）A（BC）（AB）（AC）b）（AB）（AB）（AB）（AB）（AB）（AB）A（BB）ATA（AB）（BA）（AB）（BA）A（BB）AFAc）AB（AB）（AA）（AB）BABBFAB（AB）（AA）（AB）BABBFd）A（A（AB）AA（AB）TAB（AB）（AB）（AB）T（6）解：
AR（Q（RP）,则A*R（Q（RP）AR（Q（RP）（R（Q（RP）RQ（RP）（RQ）（RP）A*R（Q（RP）（R（Q（RP）RQ（RP）（RQ）（RP）（7）解：
设A：
A去出差。
B：
B去出差。
C：
C去出差。
D：
D去出差。
若A去则C和D中要去一个。
A（CD）B和C不能都去。
（BC）C去则D要留下。
CD按题意应有：
A（CD），（BC），CD必须同时成立。
因为CD（CD）（DC）故（A（CD）（BC）（CD）（A（CD）（DC）（BC）（CD）（A（CD）（DC）（BC）（CD）（A（CD）（DC）（BC）（BD）（CD）C）（ABC）（ABD）（ACD）（AC）（BCD）（CDBD）（CDCD）（CDC）（DCBC）（DCBD）（DCCD）（DCC）在上述的析取范式中，有些（画线的）不符合题意，舍弃，得（AC）（BCD）（CD）（DCB）故分派的方法为：
BD,或DA,或CA。
（8）解：
设P：
A是第一。
Q：
B是第二。
R：
C是第二。
S：
D是第四。
E：
A是第二。
由题意得（PQ）（RS）（ES）（PQ）（PQ）（RS）（RS）（ES）（ES）（PQRS）（PQRS）（PQRS）（PQRS）（ES）（ES）因为（PQRS）与（PQRS）不合题意，所以原式可化为（PQRS）（PQRS）（ES）（ES）（PQRSES）（PQRSES）（PQRSES）（PQRSES）（PQRSE）（PQRSE）因R与E矛盾，故PQRSE为真，即A不是第一，B是第二，C不是第二，D为第四，A不是第二。
于是得：
A是第三B是第二C是第一D是第四。
习题1-8
（1）证明：
a）（PQ），QR，RP
（1）RP
（2）QRP（3）Q
（1）
（2）T,I（4）（PQ）P（5）PQ（4）T,E（6）P（3）（5）T,Ib）J（MN），（HG）J，HGMN
（1）（HG）JP
（2）（HG）P（3）J
（1）
（2）T,I（4）J（MN）P（5）MN（3）（4）T,Ic）BC，（BC）（HG）GH
（1）BCP
（2）B
（1）T,I（3）C
（1）T,I（4）BC
（2）T,I（5）CB（3）T,I（6）CB（4）T,E（7）BC（5）T,E（8）BC（6）（7）T,E（9）（BC）（HG）P（10）HG（8）（9）T,Id）PQ，（QR）R，（PS）S
（1）（QR）R
（2）QR
（1）T,I（3）R
（1）T,I（4）Q
（2）（3）T,I（5）PQP（6）P（4）（5）T,I（7）（PS）P（8）PS（7）T,E（9）S（6）（8）T,I
（2）证明：
a）AB，CBAC
（1）（AC）P
（2）A
（1）T,I（3）C
（1）T,I（4）ABP（5）B
（2）（4）T,I（6）CBP（7）B（3）（6）T,I（8）BB矛盾。
（5）,（7）b）A（BC），（CD）E，F（DE）A（BF）
（1）（A（BF）P
（2）A
（1）T,I（3）（BF）
（1）T,I（4）B（3）T,I（5）F（3）T,（6）A（BC）P（7）BC
（2）（6）T,I（8）C（4）（7）T,I（9）F（DE）P（10）DE（5）（9）T,I（11）D（10）T,I（12）CD（8）（11）T,I（13）（CD）EP（14）E（12）（13）T,I（15）E（10）T,I（16）EE矛盾。
（14）,（15）c）ABCD，DEFAF
（1）（AF）P
（2）A
（1）T,I（3）F
（1）T,I（4）AB
（2）T,I（5）（AB）CDP（6）CD（4）（5）T,I（7）C（6）T,I（8）D（6）T,I（9）DE（8）T,I（10）DEFP（11）F（9）（10）T,I（12）FF矛盾。
（3）,（11）d）A（BC），BD，（EF）D，B（AE）BE
（1）（BE）P
（2）B
（1）T,I（3）E
（1）T,I（4）BDP（5）D
（2）（4）T,I（6）（EF）DP（7）（EF）（5）（6）T,I（8）E（7）T,I（9）EE矛盾e）（AB）（CD），（BE）（DF），（EF），ACA
（1）（AB）（CD）P
（2）AB
（1）T,I（3）（BE）（DF）P（4）BE（3）T,I（5）AE
（2）（4）T,I（6）（EF）P（7）EF（6）T,E（8）EF（7）T,E（9）AF（5）（8）T,I（10）CD
（1）T,I（11）DF（3）T,I（12）CF（10）（10）T,I（13）ACP（14）AF（13）（12）T,I（15）FA（14）T,E（16）AA（9）（15）T,I（17）AA（16）T,E（18）A（17）T,E（3）证明：
a）AB，CBAC
（1）AP
（2）ABP（3）B
（1）
（2）T,I（4）CBP（5）C（3）（4）T,I（6）ACCPb）A（BC），（CD）E，F（DE）A（BF）
（1）AP
（2）A（BC）P（3）BC
（1）
（2）T,I（4）BP（5）C（3）（4）T,I（6）（CD）EP（7）C（DE）（6）T,E（8）DE（5）（7）T,I（9）DE（8）T,E（10）（DE）（9）T,E（11）F（DE）P（12）F（10）（11）T,I（13）BFCP（14）A（BF）CPc）ABCD，DEFAF
（1）AP
（2）AB
（1）T,I（3）ABCDP（4）CD
（2）（3）T,I（5）D（4）T,I（6）DE（5）T,I（7）DEFP（8）F（6）（7）T,I（9）AFCPd）A（BC），BD，（EF）D，B（AE）BE
（1）BP（附加前提）
（2）BDP（3）D
（1）
（2）T,I（4）（EF）DP（5）（EF）（3）（4）T,I（6）E（5）T,I（7）BECP（4）证明：
a）RQ，RS，SQ，PQP
（1）RQP
（2）RSP（3）SQP（4）Q
（1）
（2）（3）T,I（5）PQP（6）P（4）（5）T,Ib）SQ，SR，R，PQP
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